9.1.2余弦定理（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 9.1.2 余弦定理 课程标准 素养解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余 通过推导归纳余弦定理.提升逻辑推理，数学运 弦定理。 算，数学抽象素养 2.能用余弦定理解决简单的实际问题， 课前。预习学案 [情境引入] 我们遇到这么一个问题，“遥不 cos A= 可及的月亮离地球究竟有多远 呢？”，在古代，天文学家没有先进的 余弦 推论 cos B= 定理 cos C= 仪器就已经估算出了两者的距离， 那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的 呢？我们知道，对于未知的距离、高度等.存在着许多 作用 实现三角形边与角的互化 可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相 2思考 在△ABC中，若a2=b2+c2,a2>b2十c2, 似三角形的方法，或借助直角三角形的方法.阿基米 德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球.”但实际情 a2<b十c2,能否说△ABC分别是直角三角形，钝 况是根本找不到这样的支点.全等三角形法有时就像 角三角形，锐角三角形？ 这样.你根本没有足够的空间去构造出全等三角形. 所以每种方法都有它的局限性.其实上面介绍的问题 是用以前的方法所不能解决的.从本节我们开始学习 余弦定理、正弦定理以及它们在科学实践中的应用 这两个定理能解决上述问题 问题1.在△ABC中，设BC1=a,1AC1=b.|AB [预习自测] 1.在△ABC中，符合余弦定理的是 =c.这三边与角A之间有什么关系呢？ A.c2=a2+62-2abcos C 2.你能用边b,c和角A来表示△ABC的面积吗？ B.c2=a2-b2-2bccos A C.62=a2-c2-26ccos A D.cos C=+c 2ab 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b=3c=2,c0sA=子则a () A.5 B.√7 C.4 D.3 [知识梳理] 3.在△ABC中，c0sC-子，AC=4,BC=3,则cosB () [知识点]余弦定理 A. B号 三角形任何一边的平方等于其他两 语言 边平方的和减去这两边与它们夹角 c n 表述 余弦 余弦的积的两倍 4.在△ABC中，若a=3,b=8,C=60°，则cosA=_ 定理 a 符号 b2= 表示 5.在△ABC中，若a=7,6=8,60sC=是则最大角 的余弦值是 第九章解三角形 课堂。互动学案 题型一已知两边和它们的夹角解三角形 规律方法 [例1]在△ABC中，已知a=2,b=2√2，C=15°，求 根据三角形的三边关系求角的基本方法是先用余 A,B和c. 弦定理求出一个角，再用余弦定理求出另一个角， 汇思路点拨]已知两边和它们的夹角，用余弦定 最后用三角形内角和定理求出第三个角、 理求出边c,再由余弦定理的推论求出A或B,最 ⊙[变式训练] 后用三角形内角和定理求出第三个角 2.在△ABC中，已知a=2√6，b=6+2√5，c=4√5， [尝试解答 求A,B,C. 题型三 判断三角形的形状 规律方法 [例3] 在△ABC中，若acos A+bcosB=ccos C,试 已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本 判断△ABC的形状. 方法是先用余弦定理求出第三边，再由余弦定理 的推论求出另外一外角，最后用三角形内角和定 思路点拨]根据余弦定理把角化为边，利用边 理求出第三个角. 的关系判断 ⊙[变式训练] [尝试解答] 1.在△ABC中，a=2√3，c=√6+√2，B=45°，解三 角形. 规律方法 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时， 需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这 类问题，一般有两条思考路线：(1)化边为角，再 进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余 弦值符号；(2)化角为边，再进行代数恒等变换， 题型二 岂知三边解三角 求出三条边之间的关系式. 2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论： [例2]在△ABC中，已知a:b:c=2:√6：（√5 (1)△ABC为直角三角形台a2=b2+c2或b2= 1),求各角度数 a2十c2或c2=a2+b2: [思路点拨]1，由三边之比表达出三边，用余弦 (2)△ABC为锐角三角形台a2+b2>c2且b2+ 定理求解 c2>a2且c2+a2>b2: 2.由三边之比表达出三边，用余弦定理求出最大 角，再用正弦定理求第二个角，最后利用三角形内 (3)△ABC为钝角三角形台a2+b2<c2或2+ 角和定理求出第三个内角。 c2<a2或c2+a2<b2 [尝试解答】 ◇[变式训练] 3.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 c2-a2=b>0,则△ABC 2ab A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 ·5· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 ---● 1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ( (a+b+c).(b+c-a)=3bc,sin A=2sin Bcos C. A.能组成直角三角形 试判断△ABC的形状. B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3,则 cosC的值为 ( A. B.-号C D.- 3.在△ABC中，a=7,b=4√5，c=√3，则△ABC的 最小角为 ⊙温攀提 4.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余 学习至此，请完成配套训练 弦值是一号则三角形的另一边长为 9.1.3正、余弦的综合运用 课程标准 素养解读 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题， 理，数学运算素养」 课前。预习学案 [情境引入] (2)S= 我国南宋数学家秦九韶（约1202~1261）独立地 absin C-esinA 2acsin B: 发现了求三角形面积的方法.他把三角形的三边分别 (3)S=之·r·(a十b+c)(r为内切圆半径). 叫作大斜、中斜、小钭（如图），他在著作《数书九章》卷 五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 [知识点二]几个重要结论 在△ABC中， 乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之.为实；一 为从隅，开平方得积.”用今天的符号来表示即 (1)若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=受： (2)若cosA=cosB,则 ； (3)若a>b+c2,则△ABC为 (4)若a2=b2+c2,则△ABC为 小斜 b中斜 (5)若a2<b2+c2且2<a2+c2且c2<a2+b2,则 大斜 △ABC为 问题你能用所学的知识证明这个结论吗？ 2思考解三角形问题需注意哪些？ [知识梳理] [知识点一]三角形的面积公式 (1DS=a·h.(h:为a边上的高)： 1 ·6·数学B版·必修第四册 由(1)知sina=-cos23,∴.sin3=-√3cos2g. .2√3sin23-sinB-√5=0， 郎得如号我 3 0<g受m9g吾 变式训练 4.D[由3b=2V3 asin B,得b。=23e sin B 3 根据正弦定理得 a sin B sin A' 所以品2，即nA=号 21 又角A是锐角，所以A=60°， 又cosB=cosC,且B,C都为三角形的内角， 所以B=C. 故△ABC为等边三角形，故选D.] 随堂步步夯实 1.A[由sinA>sinB=2 Rsin A.>2 Rsin B(R为△ABC外 接圆的半径)台a>b曰A>B.] √6 2.C[由正孩定理，得60 sinA 2 ,BC=2<AC=√6，∴.A为锐角. .A=45°，.C=75°.] 3,解析：由正弦定理，得sinB=bsin Cv6X3 区，结合 3 b<c可得B=45°，则A=180°-B-C=75°. 答案：75 4.解析：：A=105,B=45°，.C=30°. 由正孩定理得-bsin C=2y2sin30=2. sin B sin 45 答案：2 5.解：因为A=30°，C=105°，所以B=180°-(A+C)=45°. sin1 sin B-sin C,所以b=asin=10sin45° 因为0 b sin A sin30° 102,c=asin C_10sin 105 sin A sin30° =5√2+5√6. 9.1.2余弦定理 课前预习学案 情境引入 提示1.根据向量的数量积，可得 a2=BC.BC =(AC-AB)·(AC-AB) =|AC2-2AC·AB+|AB12 B =ACI2-21ACI.ABI cos A+1ABI2 =b2-2bccos A+c2, 即a2=b2+c2-2 bccos A. 2.在△ABC中，设AB边上的高为h,S△AC=2ch 2cbsin A. ·9 知识梳理 知识点、b2+c2-2 bccos A a2+c2-2 aceos B a2+b2- 2abcos C b2+c2-a2 a2+c2-b2a2+b2-c3 2bc 2ac 2ab [思考] [提示]若a2=b2十c2,则△ABC是直角三角形： 若a2>b2十c2,则△ABC是钝角三角形； 若a2<b2十c2,则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不 一定是最大边. 预习自测 1.A[注意余弦定理形式，特别是正负号问题.] 2.D[由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=9十4-2×3 ×2×3=9,解得a=3.] 3.A[如图，由余弦定理可知： sC-号-BC2ACAE-3+AB 2BC·AC 2×3×4 B 3 可得AB=3,又由余弦定理可知： 0sB=AB2+BC-AC-32+32-42-1 2AB·BC 2X3X3=9故选A.] 4.解析：由余弦定理得c2=a2十b2-2 abcos C, 即2=9+64-2×3X8×2=40, 又c>0,所以c=7. 所以cosA=b2+c2-a2_64+49-9=13 2bc 2X8×714 答案昌 5.解析：c2=a2+b2-2 abcos C=9,c=3,B为最大角，cosB =2+c2-b2=49+9-64=-1 2ac 2×7×3 答案：-日 课堂互动学案 [例1][解]由余弦定理，得 c2=a2+b-2 abcos C=4+8-2×2×2V2cos15°. cos15°=c0s(45-30)=cos45°c0s30°+ sin45sin30°=6+2 4 .c2=8-2√12=(6-√2)2，∴.c=√6-√2 又'cos A=2+c2-a25 2bc 2 .A=30°，B=180°-(A+C)=135°. .A=30°，B=135°，c=√6-√2. 变式训练 1.解：根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =(25)2+(√6+√2)2-2X2√5X(√6+√2)×cos45°= 8,所以b=2√2. 因为cosA=2+c2-a2 2bc =8+(W6+2)2-(2VB)2=1 2X22X(6+2)=2,因为0<A<元， 所以A=60°，C=180°-(A+B)=75°」 [例2][解]已知a:b:c=2:√6：(5+1)， 令a=2k,b=√6k,c=(3+1)k(k>0). 由余弦定理，得 cosA=2+c2-a2_6k2+(5+1D2k-42区 2bc 2×√6k×(√3+1)k 2 cosB=2+2-B2-42+(5+1)k2-6k21 2ac 2X2kX(√3+1)k 21 ..A=45°，B=60° .C=180°-A-B=180°-45°-60°=75 变式训练 2.解：根据余弦定理，cosA=2+c2-a 2bc =(6+25)2+(43)2-(26)25 2×(6+2W5)×(4√5) 2 A∈(0A=g,csC=2+22 2ab =(26)2+(6+23)2-(45)22 2×2√6×(6+2√5) 2 Ce0C=至 8B-A-C吾-受-品 A=合，B=7x,C- 7 [例3][解]由余弦定理可得 a.+22+6.2+e2- 2bc 2ac =c.2+b-c2 2ab 等式两边同乘以2abc得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-2), 整理化简得a+b4-2a2b2=c4, 所以(a2-b2)2=c4. 因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2. 即a2=b2+c2或b2=a2+c2, 故△ABC为直角三角形， 变式训练 3.c[:2-a2-2>0. 2ab c2-a2-b2>0,∴.a2+b2<c2, ∴△ABC为钝角三角形，故选C.] 随堂步步夯实 1.B[因5十6>7，故能组成三角形，又因三角形最大边对 应的角的余孩值c0-表-号>0，所以领大月 为锐角，所以能组成锐角三角形.] 2.A[根据正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC 3:2:3,设a=3k,b=2k, c=3k(k>0). 明有cC-支能2-J 3.解析：，a>b>c,.C为最小角， 由余孩定理得c0sC=2+2-一c 2ab 2+4-9C-吾 2×7×4W3 答案：晋 参考答案 4.解析：设另一边长为x,则x2=52+32一2×5×3× (号）=52x=2E 答案：2√13 5.解：因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以a2=b2+c2-bc. 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A,所以cosA=7.又 因为0°A<180°，所以A=60. 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 且sinA=2 sin Bcos C, 所以sin Bcos C=cos Bsin C,则sin(B-C)=0. 因为-180°<B-C<180°，所以B-C=0°， 即B=C. 又因为A=60°，所以B+C=180°一A=120°， 即B=C=60°，故△ABC为等边三角形 9.1.3正、余弦的综合运用 课前预习学案 情境引入 提示 1 S-2acsin B-2ac1-cos B- 2ac/1 a2+c2-b2 2ac 2 知识梳理 知识点二、(2)A=B(3)钝角三角形 (4)直角三角形 (5)锐角三角形 [思考] [提示]1.解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个 趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理 和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定 理、三角函数的公式和性质是解题的关键！ 2解几何计算问题的注意点 ()几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、角度、 面积等，解题时要充分挖掘几何图形的性质 (2)分析图形中涉及的三角形或多边形，将所求问题归结到 尽可能少的三角形中 (3)合理利用正、余弦定理，选用恰当的计算公式。 预习自测 1kB[:s2csnA5-7×2m1w c=2,a=√P+c2-2 bccos A=√4+4-2X2X2(-z)】 =23,设△ABC外接圆的半径为R,∴2R=a, sin A 25=4, 2 R=2.] 2.C[.c2=(a-b)2+6 ∴a2+b2-c2=2ab-6 'a2+62-c2=2ab cos C=ab .2ab-6=ab,.ab=6 s=himC=×6x号-3，选c] 2 3B[由三角移的面积公式可得，SAANC=ainC= 99·()-得，当且收当a=6时取=”令 得=9，解得=12，选且] 91·