9.1.1 正弦定理（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第九章解三角形 第九章 解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1 正孩定理 课程标准 素养解读 1.探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理。 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养.通过 2.能用正弦定理解决简单的实际问题. 运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P1 [情境引入] 、6 在雷达兵的训练中，有一个项目 (2)simA=录sinB=杂sinC=2求(R为△ABC 叫“捉鬼（战士语）”，即准确地发现敌 外接圆的半径) 台的位置.在该项目的训练中，追寻 (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a: 方的安排是以两个小组作为一个基 b:c=sin A:sin B:sin C. 本单位去执行任务，用战士的话说就 a+b+c a b 是两条线（即用两台探测器分别探出敌台的方向）一 sinA十sinB+sinC-sinA-sinB一sinC, (4 交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没 (5)asin B=bsin A,asin C=csin A.bsin C=csin B. 有.其实这里面不仅仅是两线交又确定交点的问题， [知识点四]对三角形解的个数的判断 还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一 置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明 角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和 了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角 其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现 通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了. 一解、两解或无解的情况，三角形未必被唯一确定， 问题在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比有 例如，已知a,b和A解三角形为例，从两个角度予 什么关系？ 以说明： 提示相等. (1)代数角度 [知识梳理] [知识点一]三角形面积公式 由正弦定理得sinB=bsinA」 a 任意三角形的面积公式为： ①若bsin A>1,则满足条件的三角形个数为0.即 I)SAar=26 sin A=ocsin B=-7 -absin C,即任 a 无解 意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦 ②若snA=1,则满足条件的三角形个数为1.即 的乘积的一半. a (2)Sa=子h,其中a为△ABC的一边长，而A为 一解。 该边上的高的长。 ③若sinA<1,则满足条件的三角形个数为1 a [知识点二]正弦定理 或2. 在一个三角形中.各边和它所对角的正弦的比 ?思考已知两边和其中一边的对角解三角形时一 相等. 定是一解吗？ 'sin A sin Bsin C=2R.(R为△ABC外接圆 即.a b [提示]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角 的半径) 解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角的 [知识点三]正弦定理的常见变形 正弦值，此时解的个数不确定，应注意讨论：(1)其正 (1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ABC 弦值大于1，无解.(2)其正弦值等于1，一解，(3)其 外接圆的半径). 正弦值小于1，①对应边小于或等于已知角的对边， 一解.②对应边大于已知角的对边，两解. 数学B版·必修第四册 (2)几何角度 2.在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b. 图形 关系式 解的 若2 asin B=√3b,则角A等于 ( 个数 是 B哥 ①a=bsin A: 一解 c D. ②a≥b 解析：D [2 asin B=√3b,asin B-5 b 2, 又由正弦定理可得：a b sin A sin B 为锐角 bsin A<a<b 两解 ∴.sinA=asin B_5 b 2 又△ABC为锐角三角形.A=于，故选D.] 3.在△ABC中，若BC=√5，sinC=2sinA,则AB= a<bsin A 无解 A.25B.3√5C.4√5D.5√5 解析：A[利用正弦定理化简sinC=2sinA,得 AB=2BC,BC=√5，.AB=2W5.] 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA a>b 一解 A 专0sC-品a=1.则6 5 为钝角或市 解析：由条件可裕s血A-号血C一是从而有如B sin[x-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+ 角 a≤b 无解 coAsin C--器由正孩定理AB可知力 b =asin B 1 sin A [预习自测] 13 1.在△ABC中，A=60°，a=√3，b=√2，则B=( 答案得 A.45°或135° B.60° 5.在△ABC中，c+b=12,A=60°，B=30°，则c= C.45 D.135 ,b= 解析：C 2A [由正弦定理a sinB,得sinB= b 解析：因为A=60°，B=30°，所以C=90°，由正弦定 b bsin A 2sin60°= 理Bc得6= 20.又c十b=12,所以c= 2 .b,..A>B,.B a 8,b=4. =45.] 答案：84 课堂 互动学案 对应学生用书P2 题型一 已知两角及一边解三角形 ∴.b=csin B _10×sin75°_203 [例1]已知在△ABC中，c=10,A=45°，C=60°，求 sin C sin 60 3 a,b和B. 20E×6+2_5(32+6) 汇思路点拨](1)由内角和定理求角B. 3 4 3 (2)由正弦定理计算出另两边a,b: 规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 [解] “sc (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求 ∴a=csinA_10×sin45°_10W6 另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第 sin C sin60° 3 三个角，最后由正弦定理求出第三边. B=180°-(A+C)=180°-(45°+60°)=75. (2)若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形 又b 内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外 sin B sin C' 两边 ·2· 第九章解三角形 ⊙[变式训练] 题型利用正弦定理判断三角形的形状 1.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3√2，则AC [例3] 在△ABC中，已知b+4 sin B a sinB-sinA且 2 sin Asin B=2sin2C,试判断该三角形的形状. A.43 B.2√5 C.5 n号 汇思路点拨]本题给出的已知条件中含有边角关 解析：B[由正孩定理BC AC 、SinA=s元，得sin60。 系，首先需进一步明确边角关系，其次利用正弦定 理和逆用二倍角的正弦公式确定三角形中角的关 乐5，所以AC-3×-2,故选B.] AC 3 2 2 [解] 由已知b十a」 sin B b a sin B-sin A b-a 题型二芭知两边及一边的对角解三角形 .b2-a2=ab, (① [例2]已知一三角形中a=2√5，b=6,A=30°，判 又2 sin Asin B=2sinC,由正弦定理得2ab=2c2. ② 断三角形是否有解，若有解，解该三角形 汇思路点拔了先利用正弦定理求另一边对角的正 由①②，得b=a+c2. 该三角形是以B为直角的直角三角形 弦值，再利用三角形中大边对大角考虑解的情况， 规律方法… 然后解三角形。 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 [解]，bsin A<a<b,∴.△ABC有两解. (1)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定 b 理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因 sin A sin B' 式、配方等)得到边的关系，如a=b,a十b2=c sinB=.sinA=6X1- a 2√52=2， 等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA .B=60°或120. 2R,sinB=2R,sinC=2录 (1)当B=60°时，C=180°-30°-60°=90°， (2)化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定 c=√a2+6=43, 理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三 (2)当B=120°时，C=30°，：A=C=30°， 个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公 .c=a=2√3. 式为：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C 规律方法 ◇[变式训练] 己知两边和其中一边的对角解三角形时的方法 3.在△ABC中，已知atan B=btan A,则△ABC的 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. 形状为 (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中 A.等腰三角形 大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所 B.直角三角形 对的角为锐角，由正弦值可求出该锐角，满足条件 C.等边三角形 的三角形唯一 D.等腰三角形或直角三角形 (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断 解析：D[,在△ABC中，a2tanB=btan A, 另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个 ·由正弦定理，得sin2 Asin B-sin2 Bsin A 角，需要分类讨论，满足条件的三角形有两个。 cos B cos A ⊙[变式训练] 又sinA≠0，sinB≠0，sinA=sinB cos B cos A" 2.在△ABC中，A=60°，a=4√3，b=4√2，则B= .sin Acos A=sin Bcos B, A.45°或1359 B.135 sin 2A-sin2B,sin 2A-sin 2B, C.45 D.以上答案都不对 ∴.A=B或2A=π-2B,即A=B或A十B= 2 解析：C sin Asin BA=60°，a=4VB, [,a △ABC为等腰三角形或直角三角形.] b=4√2， 题型四正弦定理的综合应用 sinB=b·sinA 42X [例4]如图所示，D是Rt△ABC的 2 斜边BC上一点，AB=AD,记 a 4√3 ∠CAD=a,∠ABC=B. D :0°<B<180°， (1)求证：sina十cos23=0; .B=45°或135°. (2)若AC=√3DC,求3的值.（注：cos23=1-2sin3) 又.45>4√2，B=45°.] 3 数学B版·必修第四册 汇思路点拨]根据正弦定理，实现边角互化。 (2)判断三角形形状的常用方法有：①化边为角. (1)证明在Rt△ABC中，，AB=AD,∠ADB 将题目中的条件利用正弦定理化边为角（若sin2A =∠ABC=B. =sim2B,则A=B或A十B=受)，再根据三角函 :a=受-∠BAD=受-(x-20=2B-受 数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三 ÷sina=sin(2g-受，即sina=-sin(受 角形的形状；②化角为边.将题目中的所有条件， -23). 利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得 ∴.sina=-cos23,∴.sina+cos2β=0. 到边的关系（如a=b,a2十b=c2),进而确定三角 (2)[解]在△ADC中，根据正弦定理得 形的形状： AC DC sin∠ADC sin a ◇[变式训练] 又AC=√3DC,∠ADC=π-B, 4.在△ABC中，已知3b=2√3 sin B,且cosB=cosC, 角A是锐角，则△ABC的形状是 ( 小。mg A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 由(1)知sina=-cos23,∴.sin3=-√3cos23. ∴.2W3sin23-sin3-√3=0， 解标：D[由3=26n么得品后2， 根据正弦定理得sin B sin A' b a 0<K受sin9 之9= 3 所以，Q sin A 2,单nA号 2 规律方法 又角A是锐角，所以A=60 (1)在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或 又cosB=cosC,且B,C都为三角形的内角， 求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公 所以B=C. 式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧： 故△ABC为等边三角形，故选D.] 随堂。步步夯实 对应学生用书P3 1.在△ABC中，若sinA>sinB,则角A与角B的大 小关系为 解析：由正弦定理，得sinB=bsin C_ 6xv3 2 A.A>B 3 B.A<B ,结合b<c可得B=45,则A=180°B C.A≥B =75°. D.A,B的大小关系不能确定 答案：759 解析：A[由sinA>sinB台2 Rsin A>2 Rsin B(R 4.在△ABC中，若A=105°，B=45°，b=2√2，则c等 为△ABC外接圆的半径)台a>b台A>B.] 于 2.在△ABC中，AC=√6，BC=2,B=60°，则角C的 解析：A=105°，B=45°，.C=30°. 值为 由正孩定理得c=0simC-2 2sin30°=2. sin B sin 45 A.45 B.30° C.75 D.90 答案：2 解析：C[由正孩定理，得2 √6 5.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b, sin A sin 60 c,且A=30°，C=105°，a=10,求b,c. sin A=2 解：因为A=30°，C=105°，所以B=180°-(A+C) 2 =45°， ,BC=2<AC=√6，.A为锐角. 国为品B所以= b sin A ∴A=45°，.C=75°.] 10sin 45 3.在△ABC中，若C=60°，b=√6，c=3,则A= sin 30 =102,c=asin C=10sin105°=52+ sin A sin 30 5√6. 第九章解三角形 课后。素养提升 对应学生课时P1 基础过关 6.(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是A,B,C, JI CHU GUO GUAN 1.在△ABC中，a=3,b=5,sinA= },则s如月 且A>B,则下列说法正确的是 A.sin Asin B B.cos A<cos B ( C.sin A>cos B D.sin B<cos A . B. 6 C.⑤ D.1 3 解析：ABC[A>B台a>b台sinA>sinB,故A成 解析：B[由a sin Asin2B:知-5 b sinB,即sinB 立 3 函数y=cosx在区间[0，π]上是减函数， =号递B] A>B,.cosA<cosB,故B成立. 2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所 在锐角三角形中，：A十B>受A>受-B, 对的边，若A=60°，c=6,a=6,则此三角形有 ( 函教y=simx在区间[0，受]上是增函数， A.两解 B.一解C.无解 D.无穷多解 解析：B[由等边对等角可得C=A=60°，由三角 则有sinA>sin(受-B),即sinA>cosB,故C成 形的内角和可得B=60°，所以此三角形为正三角 立，同理sinB>cosA,故D不成立.] 形，有唯一解.] 3.在△ABC中，a=bsin A,则△ABC一定是( 7在△ABC中，若a=3,0sA=一号，则△ABC的 A.锐角三角形 B.直角三角形 外接圆的半径为 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：B[由题意有品入b品则n月=1，即 b 解析：由cosA=-,得sinA=-cosA=, 2 角B为直角，故△ABC是直角三角形.] 设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理，有2R 4.在△AC中，若c=,C-60,则nA十mBnC atb+c sinA=25,即△ABC的外接圆的半径为5. ( 答案：√3 A.6 B.2√5 C.2 D.3 8.在△ABC中，若B=于，b=a,则C= 解析：C[利用正弦定理的推论，得 解折：在△ABC中，由正获定理AB得 b a+b+c sin A+sin B-+sin Csin C-sin 602.] a 5.(多选题)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 sin A 2-2=2a,所以sinA=号，所以A sin 为a,b,c.若a=1,b=√5，A=30°，则角B等于 4 2 A.30° B.150 =晋或号，因为b=Ea>a,所以B>A,即A< C.60° D.120° 至，所以A=吾，所以C=-A-B=x一晋-晋 解析：CD[由正弦定理 sin A sin B可得sinB= b 7 6sinA=8sin30=5,所以B=60°或B=120 12元. a 1 答案：2 7 故选CD.] ·5· 数学B版·必修第四册 9.在△ABC中，B=,BC边上的高AD等于号BC, (2)由正孩定理，得sinB=sinA-5.所以B a 2 且AD=1,则AC= ,sin A= 解析：如图，由AD=1,B=子，知 ①当B=号时，由A=吾，得C=受，所以c=2: BD=1,又AD=3BC=BD, @当B-要时，由A=吾得C-吾 3 ∴.DC=2,AC=/+2=5. 所以c=a=1. 综上可得c=1或2. 由正孩定理可知，sin∠BAC=sinB:BC=三X3 AC 哈 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E, =310 10 使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=() 答案：53V0 10 10.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,c=10,A=45°，C=30°，求a,b和B. A.30 解：因为c=10,A=45°，C=30°，所以B=180° 10 a细 (A+C)=105. c需 n瓷 sinA=snC,得a=sim4= 由 10×sin45 sin C sin30° 解析：B[由题意得EB=EA+AB=2,则在 10√反.由sinB b =snC,得b=sD是 Rt△EBC中，EC=√EB+BC=√4+I=√5.在 sin C △EDC中，∠EDC=∠EDA+∠ADC=F+罗 10xsin105°-20sin75°=20×6+E=56+ sin 30 4 -平由正孩定退得m二肥瓷-人5。 5√2 sin /EDC EC5 5' 11.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 所以sin∠CED= 且sC+复。-6 1 (1)求角A的大小； cosB=&=,求a,6 13.在△ABC中，已知c=10,cosA=b=4 (2)若a=1,b=√3，求c的值. 及△ABC的内切圆半径. 解，1)向amsC+9:=,得sin Acos十 能：由正#交理如品背子小器合部景 'cos B sin A' sin C-sin B. 3 即sin Acos A=sin Bcos B,.∴sin2A=sin2B. 又：a≠b,2A=元-2B,即A+B=受 因为sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C,所 .△ABC是直角三角形，且C=90°， 以③ 2sin C=cos Asin C. 「a2+b2=102, 得a=6,b=8. 因为sinC≠0，所以cosA=9.因为0<A<,所 故内切圆的半径为r=0+bC=6十810=2. 以A 2. 2 ·6