1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握用”五点法”和”诱导公式转化法”绘制余弦函数图象的方法。。。 返回主页 1 掌握用”五点法”和”诱导公式转化法”绘制余弦函数图象的方法理解余弦函数 y=cosx 的周期性、奇偶性、单调性、最值等基本性质能够熟练进行正弦函数与余弦函数之间的转化，并解决相关问题 2 通过与正弦函数的类比，培养知识迁移能力 经历从诱导公式到图象变换的探究过程，体会转化与化归思想 情 境 引 入 【情境一：温故知新】 返回主页 【情境二：物理应用】 【情境三：数学之美】 【情境一：温故知新】 复习正弦函数的”五点法”作图，提问：正弦曲线与余弦曲线有何关系？ 诱导公式告诉我们 ，这说明了什么？ 能否利用正弦函数的图象得到余弦函数的图象？ 【情境二：物理应用】 展示简谐振动中位移-时间图象：弹簧振子的运动可以用正弦或余弦函数描述，取决于初始时刻的选择。 思考： 如果正弦函数描述的是”从平衡位置开始”的振动，那么余弦函数描述的是什么样的初始状态？ 【情境三：数学之美】 展示正弦曲线与余弦曲线叠加的动画，引出”利萨如图形”等优美曲线。 设问： 余弦曲线与正弦曲线形状相同，只是位置有所错开，这种”错位”的数学本质是什么？ 互 动 设 计 【活动1：类比回顾】 返回主页 【活动2：图象探究】 【活动3：性质对比探究】 【活动1：类比回顾】 小组竞赛： 快速填写下表，回顾正弦函数，为学习余弦函数做准备 性质 正弦函数 预测：余弦函数 定义域 ? 值域 ? 周期 ? 奇偶性 奇函数 ? 时的值 0 ? 五个关键点 ? 【活动2：图象探究】 探究任务1：诱导公式法 - 利用 ， 思考： 正弦曲线 向左平移 个单位，得到什么？ 这验证了余弦曲线的形状特征 探究任务2：五点法作图 找出 [0,2π] 上的五个关键点： 0 ? ? ? ? ? 学生计算填表： 五点法口诀： “高、平、低、平、高” （与正弦函数的”起、高、平、低、终”对比） 【活动3：性质对比探究】 分组任务： 各组分别研究余弦函数的一项性质，并与正弦函数对比 小组 研究内容 研究方法 第1组 周期性 验证 ，找最小正周期 第2组 奇偶性 验证 与 关系，观察图象对称性 第3组 单调性 观察图象升降，结合单位圆中余弦线变化 第4组 对称性 找对称轴和对称中心，与正弦函数对比 探 求 新 知 【知识点1：余弦函数的图象】 返回主页 【知识点2：正弦函数与余弦函数的对比】 【知识点3：余弦函数的性质详解】 【知识点4：记忆技巧】 【知识点1：余弦函数的图象】 1. 余弦曲线 y=cosx, x∈R 图象画法 方法一：诱导公式法（图象变换） 将正弦曲线 向左平移 个单位，即得余弦曲线 方法二：五点法作图,再扩展 0   1 0 -1 0 1   2. 图象特征 - 形状：与正弦曲线相同（全等），只是位置向左平移了 , 过点：(0,1)——y轴截距为1（与正弦函数的重要区别） 范围：在 y=1 和 y=-1 之间波动 【知识点2：正弦函数与余弦函数的对比】 性质 正弦函数 余弦函数 联系 定义域 相同 值域 相同 周期 相同 奇偶性 奇函数关于原点对称 偶函数关于y轴对称 相反 时 不同 单调性（一个周期内） 递增 递减 递增 递减 相位差 最大值点 相差 最小值点 相差 零点 相差 对称轴 相差 对称中心 相差 【知识点3：余弦函数的性质详解】 性质 具体内容 定义域 （全体实数） 值域 ，即 周期性 周期 ，最小正周期为 奇偶性 偶函数，满足 ，图象关于 y轴对称 单调性 增区间：（）减区间：（） 最值 最大值 ，当 （）最小值 ，当 （） 对称性 对称轴：（）——过最值点对称中心：（）——过零点 【知识点4：记忆技巧】 1. 奇偶性记忆 : “正奇余偶”——正弦是奇函数，余弦是偶函数 ,正弦：（奇） ,余弦：（偶） 2. 单调性记忆口诀 : “一四象限余弦增，二三象限余弦减” , 第一、四象限（ 到 ）：余弦递增 ,第二、三象限（ 到 ）：余弦递减或者： 余弦函数在 y轴右侧先减后增（从1降到-1再升到1） 3. 图象位置记忆 : “正弦起点在原点，余弦起点在顶端” , 过 , 过 典 例 铺 路 【例题1】五点法作图与性质 【例题2】利用诱导公式转化 【例题3】比较大小 【例题4】求单调区间 【例题5】综合应用 【例题1】五点法作图与性质 用”五点法”画出函数 y=cosx 在 [0,2π] 上的简图，并指出在该区间内函数取得最大值、最小值的点，以及单调区间。 步骤1：列表 0 1 0 -1 0 1 步骤2：描点并连线 描出 , , , , ，用光滑曲线连接 步骤3：指出性质 - 最大值点： 和 ， - 最小值点：， - 单调递增区间：（或写成 ） - 单调递减区间： 【例题2】利用诱导公式转化 不画图，说明如何由 y=sinx 的图象得到 y=cosx 的图象，并指出两者图象的关系。 方法： 利用诱导公式 根据函数图象平移规律： 的图象向左平移 个单位长度，即可得到 的图象 结论： 余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左平移 个单位得到的，两条曲线形状完全相同（全等），只是位置不同。 【例题3】比较大小 比较下列各组数的大小： (1) 与 (2) 与 解答： (1) 因为 且 在 上单调递减 - 所以 (2) -先利用偶函数性质：， -利用周期性化简： - - 因为 ，且 在 递减 - 所以 - 即 【例题4】求单调区间 求函数 在区间 上的单调递增区间和单调递减区间。 分析： 结合余弦函数图象和性质 步骤1：确定关键点 - 在 范围内，余弦函数在 取最大值1，在 取最小值-1 步骤2：划分单调区间 在 上： - 递增区间： 和 （函数值从0→1，和从-1→0） - 递减区间：（函数值从1→-1） 答案： - 单调递增区间：， - 单调递减区间： 【例题5】综合应用 已知函数 ，若 的最大值与最小值之和为 2，求 的值，并写出取得最大值和最小值时 的取值集合。 解答： 因为 所以 最大值 ，最小值 由题意：，解得 ，所以 当 时： - 最大值 ，当 即 （）时取得 - 最小值 ，当 即 （）时取得 答案： ；最大值点集 ；最小值点集 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 用五点法画出 y=cosx 在 [-π,π] 上的简图。 答案： 关键点：, , , , 【基础训练】 2. 填空： (1) 余弦函数是 ______ 函数（填”奇”或”偶”），其图象关于 ______ 对称； (2) 函数 在 上是 ______ 函数（填”增”或”减”）； (3) ______。 答案： (1) 偶；y轴 (2) 减 (3) （因为余弦是偶函数，） 【基础训练】 3. 比较大小： ______ （填”>“、”<“或”=“） 解析：因为 ，且 在 上单调递减，所以 4. 函数 的最大值为 ______，最小值为 ______。 解析： 当 时， ,当 时， 【能力提升】 5. 求函数 的定义域。 答案： 由 ，得 ， 定义域为 ， 6. 判断函数 的奇偶性。 答案： 定义域为 ，关于原点对称 - - 所以 是偶函数 7. 求函数 的最大值和最小值。 答案： 令 ，则 ， 这是关于 的二次函数，开口向上，对称轴 - 在 上单调递减 - 当 时， - 当 时， 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 函数 在区间 上的值域是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 解析： - 在 递增，在 递减 - - （最大值） - （最小值） - 值域为 2. 下列不等式成立的是（　） A. 　　　B. C. 　　　D. 解析： ，， 都在 区间内，且 , 在 单调递减 , 所以 【填空题】（每题5分） 3. 函数 的图象与直线 在 上的交点有 ______ 个。 解析：在 上， 的解为 或 ，共2个交点。 4 是奇函数，则 ；若是偶函数，则 。 【解答题】（10分） 5. 已知函数 ，当 时， 取得最大值 2；当 时， 取得最小值 0。求 、 的值，并写出函数的单调递增区间。 由题意： - 当 时，， …① - 当 时，， …② 联立①②： ①+②：，得 代入②：，得 验证：，最大值为 （当 ），最小值为 （当 ），符合题意。 单调递增区间： 因为 的增区间为 （） 所以 的增区间也是 （） 答： ，；单调递增区间为 （） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 易错点 正确理解 混淆单调区间 余弦在 递减，在 递增（与正弦相反） 奇偶性判断错误 余弦是偶函数，，不是 平移方向错误 是向左平移，不是向右 忽略周期性 解不等式或求最值时要考虑周期，加 56 2. 方法小结 1. 图象画法 - 五点法：高(0,1)→平(π/2,0)→低(π,-1)→平(3π/2,0)→高(2π,1) - 变换法：正弦曲线左移 个单位 2. 性质记忆口诀 > “正奇余偶，正零余一” , 正弦奇函数，余弦偶函,正弦过原点，余弦过(0,1) 3. 解题策略 - 比较大小：先化到同一单调区间，注意余弦在 递减，在 递增 - 求最值：利用 ，注意符号 - 判断奇偶性：先看定义域，再验证 与 关系 3. 思想方法 类比思想：通过与正弦函数对比学习余弦函数 转化思想：利用诱导公式实现正弦与余弦的互化 数形结合：利用图象理解性质，利用性质指导解题 分类讨论：按角的范围分类讨论单调性和符号 Lavf58.76.100 $