第9章 解三角形 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

参考答案 参芳答案 第九章解三角形 于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2 (A卷) -2 ACXBCXcos C=-52+13-2X5X1X(音)） 1.A[由余孩定理得c0S∠BAC=AB+AC-BC 2AB·AC 32,所以AB=4√2.故选A.] 52+32-72 -合：0<∠BMC<,∠BAC 9.BD[由正弦定理a 2×5×3 sin A sin B得a=sinA b sin B 又0<sinB≤1，a≥bsin A,B正确：由b sin B 2.c[:s=2kc·imA=2分×2×3sinA= 3 -sin C' 2 得bsin C=csin B,D正确.] sin A=I 2,又0°<A<180,…A=30或150.] 10.AC[由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)→(a2+b2-c2)2 3.D [acos B+bcos A=2R(sin Acos B+sin Bcos A) =2a2,msC=2+=士竖，C=45 2ab =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c.] 或135°.] 4.C[设边长分别为4,2的两边夹角为日，另一条边 为x, 1.ABC[A中，周入B 则2=4+2-2X4X2×7 所以sinB=16Xin30°=1， 8 ∴.B=90°，即只有一解： .x2=16,.x=24. 由cos0= 3,得sin0=22 B中，sinC=20sin60=5Y3,且cb, 18 3 ∴C>B,故有两解： 4 4 ∴2R=sim02 =3√2.] C中，A=90°，a=5,c=2, 3 ∴.b=√a2-c2=25-4=√21，即有解： 5.C[由cos Acos B>sin Asin B,得cosA·cosB 故A、BC都不正确.] sin Asin B=cos(A+B)>0,所以A+B<90°，所以C 12.BD (a2+c2-62)tan B=3ac, >90°，C为钝角.] 2+c2-6 ·tanB= 6.D[在△BCD中，∠CBD=180°-15°-30°=135°. 2ac 2 由正赛定里得部郎所以C-15E 即cosB·tanB=sinB= 2 在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15√2X√5= :0<B<角B的值为答或经] 15√6.故选D.] 1B,解析：由C=2R=4,得BC=4·m0=2,E 7.A[a2<b2+c2,.b2+c2-a2>0,∴.c0sA>0,A 答案：2√3 <受：a是最大的边，A是最大的角，A>号： 14.解析：因为a2+<2,所以cosC=Q2+C<0, 2ab <A<] 所以三角形△ABC是镜角三角形，且C>受.又因为 &A[因为0s号-5所以c0sC-2o9号-1=2X mC9,所以c-经 3 答案： ·41· 数学B版·必修第四册 15.解析：甲楼的高为20tan60°=20×√3=20√5(m); (2)由余弦定理可得c0sC= a2+b2-c2 2ab 乙接的高为：205-20tan30°=205-20× 3 8+2-4=3, 2X2V2X241 403(m. 3 (3)cos C-sin c-coC 4 答案：205E ÷sin2C=2 sin Ceos C=2xF×3-37, 16.解析：在△ABC中，c0sA=>0snA=号 448,Cos2C= 2os2C-1=2×6-1=3 1 碳程音>0m月是 所以sin(2C-晋)=sin2Ccos吾-cos2Csin 6 .'sin C=sin[-(A+B)]=sin(A+B) =in Acos B+i B=号×是+号×号-器 16. b 由正弦定理知 sin B sin C' 答案：12：（②2：33 16 56 20.解：如图所示，设用t小时甲船能追上乙 A ∴c=bsin C 3× 65_14 45 sin B 12 51 船，且在C处相遇. 13 在△ABC中，AC=28t,BC=20t, B 答案号 AB=9, 159 ∠ABC=180°-45°-15=120°. 17.解：(1)，bsin A=√5 acos B, 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB ∴.由正弦定理可得sin Bsin A=√3 sin Acos B. ·BCcos∠ABC, sinA≠0，∴.tanB=√5， 即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t× ()化简 又0<B<B=景 得128t2-60t-27=0, (2),sinC=2sinA,.由正弦定理得c=2a, 1=子减1=品（含去， 4 .由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 得9=a2+4a2-2a·2ac0s号， ·甲船月子小时能最追上乙据 21.解：(1)由a2-b2-c2+√3bc=0, 解得a=√（负值舍去）， 得b2+c2-a2=√3bc, ∴.c=2a=2√5. 18.解：(1)由题意知∠BCD=90°+60°=150°，CB=AC 所以sA-士4-号又AE0 2bc =CD,所以∠CBE=15°，所以cos∠CBE=cos(45 所以A=吾 -30)=6+2 4 由2hsnA=a,得2 2sin BsinA=sinA,sinB=7, (2)在△ABE中，AB=2,由正弦定理得 sn45-155m(90°+15故AE-2sin30 AE 2 又Be(（0,)故B=晋 cos15°1 (2)由1得C=吾吾-径，所以0osC=是 =√6-√2 6+√2 设AC=BC=x, 4 得AMr=+号-2x··（）=(m, 19.解析：(1)因为sinA:sinB:sinC=2:1:√2，由正弦 解得x=2√2（负值舍去）， 定理可得a:b:c=2:1:√2， .b=√2，.a=2√2，c=2; 故Sae=号×2EX2Ex9=25. ·42· 参考答案 22.解：(1)cosC=cos[180°-(A+B)] 8.B[设BC=a,则BM=MC=号.在△ABM中，AB2 =-cos(A+B)=-2 =BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72= 又因为C∈(0°，180)，所以C=120° &2+4P-2X号×4·cos∠AMB. ① (2)因为a,b是方程x2-2√5x十2=0的两个根， 在△ACM中，AC2=AM+CM-2AM·CM· 所以+b=2尽， cos∠AMC, （ab=2. 即62=+a2+2X4X号·cos∠AMB. ② 所以AB2=a2+b2-2 abcos120°=(a+b)2-ab =10, ①+®得：72+62=42+4+7a3,a=106.] 所以AB=√10. 第九章 解三角形 g.CD[S=2 esin A=号×2X2×simA=5, (B卷) saA-号A=012.】 1.C[因为Sae=?absin C,所以Q+-c 10.AD[A中，由a2>b2+c2,得cosA<0,故△ABC 为钝角三角形：在B中，得A=120°：C中，a2+b2> 2smC即d2+8-2=2 abinC.又由余饺定现， c2,只能得∠C为锐角；D中，在△ABC中，A>B,所 得a2+b2-c2=2 abcos C,故2 abcos C=2 absin C,即 以a>b,所以sinA>sinB.] cosC=sinC,所以在△ABC中，C=于，故选C.] 1.BD[因为S=2 esin A=多，所以号×3X5sinA 2.B[原式可化为asin A=bsin B,由正弦定理知a2= b2,a=b,∴△ABC为等腰三角形.] =号所以snA=9周为0<A<180,所以A D[“cA号e= 60°或120°.故选BD.] 3sinC,又0<sinC 12.ACD[A中，由sinA=sinB,得A=B,故为等腰三 ≤10K<9 角形；B中，由sin2B=sin2A+sinC,得b2=a2+c2, 故为直角三角形：C中，由sinA=2 cos Bsin C,可化 4.C[由余弦定理得c2-b2=a2-2 abcos C=a2-ab, 为sin(B+C)=2 cos Bsin C,即sin(B-C)=0, 又c2-b2=ab,所以a2-ab=ab,所以a=2b,所以由 .B=C,故为等腰三角形；D中，由c0s2A=cos2B 正弦定理得出合号-2] 可得2A=2B,即A=B,故为等腰三角形.] 13.解析：在△ABC中，A+B十C=π，A+C= 5.C[设另一条边为x,则x2=22+32-2X2×3× 3 2B.B=于 六r=9r=3设cos0=3则n0=22 3 由正孩定理知，nA-B-子又a山， b 2R=3.39E,R=9故选C.] sin 0 22 4 8 A=吾，C=受sinC=1 3 答案：1 6.A[由b2-bc-2c2=0可得(b+c)(b-2c)=0. 14.解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB .b=2c,在△ABC中，a2=+c2-2 bccos A,即.6=4c2 AC2+BC-AB2=152+102-(59)2=-1 +2-42,写c=2,从而64Sa度=2smA 2AC·BC 2×15×10 21 所以∠ACB=120°，∠ACD=180°-120°=60°. =专X4x2x√-（合）-要故选A] 然后由正弦定理 AD AC sin∠ACD sinZADC,可得 7.C[sinA-cos B,'acos B=bsin A.2R sin A b AD=ACsin60°=15E( 2(m). cos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A0..'cos B=sin B, .B=45°.同理C=45°，故A=90°.故C选项正确.] 答案：155m 2 ·43·数 新高考 第九章 解三角形 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 7.在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2十 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 c2,则角A的取值范围为 合题目要求的.) 1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC A(5) B(年别 警 的大小为 c(o,) n(受 B.5x 8.在△ABC中，cos C c 5 2,BC=1,AC=5,则 D. AB= 如 2.已知△ABC的面积为 8,且b=2,c=3,则 A.4V2 B.√30 C.√29 D.2√5 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 A.A=30° B.A=60° 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 C.A=30°或150 D.A=60°或1201 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 3.△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则 0分.) acos B+bcos A等于 9.在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A.2cos C B.2sin C A.absin A B.a≥bsin A C.4tb 2 D.c C.a=bsin A D.bsin C=csin B 4.△ABC的两边长分别为4,2，其夹角的余弦值 10.在△ABC中，已知a+b+c=2c2(a2+b2), 则角C等于 ) 为子，侧其外接圆的直径为 A.45° B.60 A. C.135° D.120 2 B.9 4 11.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错 C.3√2 D.9√2 误的是 5.在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B,则 A.a=8,b=16,A=30°，有两解 △ABC是 B.b=18,c=20,B=60°，有一解 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.a=5,c=2,A=90°，无解 D.a=30,b=25,A=150°，有一解 会 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.如图所示，测量河对岸的塔 12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 高AB时可以选与塔底B 若(a2+c2一b2)tanB=√3ac,则角B的值为 在同一水平面内的两个测 ( 量点C与D,测得∠BCD= B. 15°，∠BDC=30°，CD=30, 并在点C测得塔顶A的仰 c 角为60°，则塔高AB等于 题号 2 3 6 1011 12 A.5√6 B.15√5 C.5√2 D.15√6 答案 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 18.(本小题满分12分)如图所D 20分.) 示，△ACD是等边三角形， 13.已知△ABC外接圆半径为2cm,A=60°，则 △ABC是等腰直角三角形， BC= cm. ∠ACB=90°，BD交AC于 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, E,AB=2. (1)求cos∠CBE的值； b,c,若a2+B<c2,且sinC=,则C=☐ (2)求AE. 15.甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角 为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙 两楼的高分别是 m, m. 16.在△ABC中，已知DsA-号asB=是b 3,则c= 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A =√3 acos B. (1)求角B的大小： (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的长. ·2· 19.(本小题满分12分)(2021·天津卷)在△ABC 20.(本小题满分12分)甲船在A处，乙船在A的 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 南偏东45°方向距A9海里的B处，并以20海 sinA:sinB:sinC=2:1:√2，b=√2. 里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以 (1)求a的值： 28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追 (2)求cosC的值； 上乙船？ 3)求sin2C-吾)的值。 ·3· 21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C的 22.(本小题满分12分)在△ABC中，BC=a, 对边分别为a,b,c,且满足a2-b-c2+√5bc AC=b,且a,b是方程x2-2√5x十2=0的两 0,2 bsin A=a,BC边上中线AM的长为√I4. 个根，2cos(A+B)=1. (1)求角A和角B的大小； (1)求角C的度数； (2)求△ABC的面积. (2)求AB的长. 4·