第六章 课时分层评价13 平面几何中的向量方法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价13　平面几何中的向量方法 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.在四边形ABCD中，若＝－，则四边形ABCD为(　　 ) A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 答案：B 解析：在四边形ABCD中，若＝－，则AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD是梯形.故选B. 2.在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为(　　 ) A. B.2 C.5 D.10 答案：D 解析：因为·＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝10.故选D. 3.已知点A，B在单位圆O上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，则｜｜2的最小值是(　　) A.2 B.3 C.5－2 D.4 答案：A 解析：｜｜2＝(2 ＋x)2＝4＋x2＋4x｜｜｜｜cos ＝x2－2x＋4＝(x－)2＋2≥2，当x＝时，｜｜2取得最小值，因此｜｜2的最小值为2.故选A. 4.已知△ABC所在平面内一点D满足＋＋＝0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 答案：A 解析：设AB的中点为M，因为＋＋＝0，所以＝2(＋)，所以＝4，所以点D是线段CM的五等分点，所以＝＝5，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.故选A. 5.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 答案：B 解析：因为＝＝－，所以－＝－)，所以＝，点P在线段AB的反向延长线上.故选B. 6.(多选)已知点O为△ABC外接圆的圆心，｜｜＝6，∠OAC＝30°，则(　　) A.OC＝ B.OC＝2 C.·＝6 D.·＝－6 答案：BD 解析：令OC＝2t(t＞0)，则由勾股定理易得(2t)2＝t2＋，所以t＝－(舍去)或t＝，所以OC＝2，所以·＝｜｜｜｜cos ∠AOC＝2×2×cos (180°－60°)＝－6.故选BD. 7.在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是　　　　. 答案：30 解析：由已知得＝－＝(3，6)＝，所以BC＝AD，BC ∥AD.又因为·＝(4，－2)·(3，6)＝0，即AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形.又｜｜＝＝2，｜｜＝＝3，所以四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝2×3＝30. 8.在△ABC中，M是BC的中点，且｜｜＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝　　　　. 答案： 解析：据题意及向量的加法，知＋＝2，所以(＋)·(＋)＝·(＋)＝2·＝2｜｜｜｜cos 0°＝2×××1＝. 9.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝　　　　. 答案：－ 解析：因为＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝－＝－1＝－. 10.(13分)如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由条件知a2－b2＝c2－d2， 所以2e·c－2e·d＝0，即e·(c－d)＝0， 即·＝0， 所以AD⊥BC. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点A(，0)，B(0，1)，E.＝，＝，cos ∠AEB＝＝＝.故选D. 12.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的(　　) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 答案：C 解析：假设BC的中点是O，则－＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心.故选C. 13.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为　　　　. 答案：1∶3 解析：如图所示，设D为BC边的中点， 则＝＋).因为3－－＝0，所以3＝＋＝2，所以＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.所以△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. 14.(15分)如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG 上，连接AG，CE，AG交DC于H. (1)证明：AG⊥CE； (2)请说明当点C在BG的什么位置时，·最小？ 解：(1)证明：以B为原点，BE所在直线为x轴，BG所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设AB＝a，BE＝b，且a＜b，所以A(－a，0)，E(b，0)，G(0，b)，C(0，a)， 所以＝(a，b)，＝(b，－a)， 所以·＝ab－ab＝0，所以⊥，即AG⊥CE. (2)易知H，＝，所以·＝－a(b－a)≥－()2＝－，当且仅当a＝b时取等号. 所以当点C在BG的中点时，·最小. 15.(5分)(双空题)如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3是全等的等腰直角三角形(OB1＝，Bi处为直角顶点)，且O，A1，A2，A3四点共线.若点P1，P2，P3分别是边A1B1，A2B2，A3B3上的动点(包含端点)， 则·＝　　　　，·的取值范围为　　　. 答案：6　 解析：如图所示，以O为原点，以OA1所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 则O，A1，A2，A3，B1，B2，B3，直线A1B1的方程为y＝－x＋2，设P1，且x1∈. 直线A2B2的方程为y＝－x＋4，设P2，且x2∈. 直线A3B3的方程为y＝－x＋6，设P3，且x3∈，所以＝，＝，·＝x3＋6－x3＝6，＝，＝，所以·＝3x2＋4－x2＝4＋2x2∈. 16.(17分)如图，在△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°. (1)求角B； (2)已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ，是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)在△ABC中，＝－，·＝2×1×cos 60°＝1，所以＝(－)2＝＋－2·＝22＋12－2×1＝3， 则｜｜2＋｜｜2＝4＝｜｜2，所以∠BAC＝90°，B＝90°－∠ACB＝30°. (2)假设存在非零实数λ，使得⊥. 由＝λ，得＝λ(－)，则＝＋＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ). 又＝λ，则＝＋＝(－)＋λ(－)＝(1－λ)－， 所以·＝λ(1－λ)－λ·＋(1－λ)2·－(1－λ)＝4λ(1－λ)－λ＋(1－λ)2－(1－λ)＝－3λ2＋2λ＝0. 又λ≠0，所以λ＝，所以存在非零实数λ＝，使得⊥. 学科网（北京）股份有限公司 $