单元检测卷(五) 概率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

单元检测卷(五)　概率 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.甲乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是(　　) A.两人都做对的概率是0.72 B.恰好有一人做对的概率是0.26 C.两人都做错的概率是0.15 D.至少有一人做对的概率是0.98 答案：C 解：由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是0.8×0.9＝0.72，故A正确；恰好有一人做对的概率是0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.26，故B正确；两人都做错的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，故C错误；至少有一人做对的概率是1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98，故D正确.故选C. 2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药.结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人.如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解：由题意可知：体重减轻的频率为，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.故选A. 3.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343　432　341　134　234　132　243　331　112 342　241　244　342　142　431　233　214　344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解：18组随机数中，满足条件的有132，112，241，142，共4组数据，所以估计恰好抽取三次就停止的概率P＝＝.故选C. 4.箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双)，有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解：分别设3双手套为：a1a2，b1b2，c1c2，a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n＝6×6＝36，共有36个基本事件；事件A包含(a1，b2)，(b2，a1)，(a1，c2)，(c2，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)，(a2，c1)，(c1，a2)，(b1，c2)，(c2，b1)，(b2，c1)，(c1，b2)一共12个基本事件，故事件A的概率为P(A)＝＝.故选B. 5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：恰有一人获得一等奖，即甲获得乙没获得或甲没获得乙获得，则所求事件的概率P＝×＋×＝.故选A. 6.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天，若这三天都下雨，则推迟至下一周.已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设这周能进行决赛为事件A，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件A3，A4，A5，则A＝A3∪A4∪A5，又事件A3，A4，A5两两互斥，故P＝P＋P＋P＝(1－)＋×＋××(1－)＝.故选D. 7.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A.0.504 B.0.964 C.0.994 D.0.996 答案：D 解析：A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为P＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝0.996.故选D. 8.从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解：因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1，2，3，4这四个数字中依次取两个数字的样本空间Ω＝{(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(3，4)，(4，3)}，共12个样本点，符合条件3a≥4b的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，共6个，所以所求概率为.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则(　　) A.S⊆R B.R∩G＝M C.R∪G＝M D.M＝ 答案：CD 解析：对于A，因为S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，则R⊆S，故A不正确；对于B，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，R∩G＝⌀，故B不正确；对于C，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即R∪G＝M，故C正确；对于D，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事件的定义知M＝，故D正确.故选CD. 10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是(　　) A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C.事件A＝“两个球同色”，则P(A)＝ D.事件B＝“至少有一个红球”，则P(B)＝ 答案：ACD 解：对于A，两球同为红球和同为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，试验还会发生一个事件，即两球一黑一红，所以两球同为红球和同为黑球的事件为互斥而不对立事件，故A正确；对于B，至多有一个黑球包括一黑一红和两个红球，其对立事件为两个黑球，故B错误；对于C，记3个红球为a，b，c，2个黑球为d，e，则任取2个球的结果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，事件A发生的结果有ab，ac，bc，de，共4个，所以P(A)＝＝，故C正确；对于D，事件B的对立事件的结果有de，共1个，所以P()＝，所以P(B)＝，故D正确.故选ACD. 11.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则下列结论正确的是(　　) A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为 C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为 答案：BD 解析：使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率P＝＝；三位数为奇数的有165，561，615，651，共4个，相应的概率P＝＝；大于400的三位数的个数为4，所以相应的概率P＝＝.故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上) 12.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是　　　　. 答案： 解析：组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有24个，而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423，共8个，所以这个三位数为“凹数”的概率为＝. 13.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n＝　　　　. 答案： 解析：因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意， 得 即 解得m＋n＝. 14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是　　　　. 答案：0.79 解析：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则可得1－(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.3)≥a，解得a≤0.79.所以a的最大值是0.79. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周熬夜学习的总时间(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周熬夜学习的总时间的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周熬夜学习的总时间超过26小时，则称为“过度熬夜”. (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周熬夜学习时间的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率. 解：(1)甲班样本数据的平均值为(8＋13＋28＋32＋39)＝24，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为24小时； 乙班样本数据的平均值为(12＋25＋26＋28＋31)＝24.4，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为24.4小时. (2)由题意知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为a，b，c，乙班“过度熬夜”的有2人，记为d，e，从中任取2人，有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种可能，其中都来自甲班的有ab，ac，bc，共3种可能，所以所求概率为. 16.(15分)某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； (2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率. 解：(1)成绩落在[70，80)的频率为1－(0.15＋0.30＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图： 这800名学生的平均成绩约为：55×0.15＋65×0.30＋75×0.40＋85×0.10＋95×0.05＝71(分). (2)抽取的40名学生中，成绩在[80，90)内的有800×0.1×＝4(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，成绩在[90，100]内的有800×0.05×＝2(人)，分别记为b1，b2， 从这6人中随机抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共有15种. 记事件A＝“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件A包含的基本事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共9种， 所以所求概率为P(A)＝＝. 17.(15分)甲、乙两人组成“九章队”参加某中学数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 解：(1)设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F， P＝2××＋＝＋＝. (2)设事件A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝“九章队”猜对三个数学名词”， 所以P＝P＝，P＝P＝，P＝P＝，P＝P＝，则E＝BCD∪A CD∪AB D∪ABC . 由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(BCD)＋P(A CD)＋P(AB D)＋P(ABC )＝P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋×××＋×××＋×××＝， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为. 18.(17分)在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 解：(1)依题意记甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为2分为事件B， 则P＝××＋××＋××＝， P＝××＋××＋××＝，所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为. (2)依题意甲队总得分为0分的概率为××＝，得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为××＝；乙队总得分为0分的概率为＝，得1分的概率为××3＝，得2分的概率为××3＝，得3分的概率为＝； 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率P＝×＋×＋×＝. 19.(17分)国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单位”)分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C：古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 E：古遗址 1 昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 F：古墓葬 1 (1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为p1，抽不到海淀区的概率为p2，试判断p1和p2的大小(直接写出结论). 解：(1)设选中参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”为事件C，由题意知总共有17个，“C：古建筑及历史纪念建筑物”有11个，所以P(C)＝. (2)设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区， 所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，所以P(B)＝×＝. (3)当抽到的2个都是海淀区的概率为×＝，当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为××2＝， 所以p1＝＋＝，p2＝1－＝，所以p1＜p2. 学科网（北京）股份有限公司 $