上分专题08 立体几何中的轨迹问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题课堂 上分专题08 立体几何中的轨迹问题 命题密钥 动，点、轨迹问题本质上考查的还是空间位置关系以及空间角和空间距离的内容，但是在 此基础上融入了动态的点、线、面等元素，题目难度大幅提升，解决此类问题，对于立体几何中 的动，点，我们往往利用立体几何的相关知识“升维”或“降维”，建立空间图形与平面图形之间 的桥梁，使得它们之间灵活转化，从而求出动点的轨迹 在高考中，动点轨迹问题多以解答题形式出现，难度较高，如2021年全国甲卷第19题！ 考点觉醒 ●题型分类 轨迹形状判断 动点轨迹问题 轨迹的周长、形成图形的面积 轨迹相关的最值或取值范围问题 ●轨迹问题的解题策略 与平行有关 已知动点P,对于给定点A和平面a,都有PA/∥α=过点A作平面B∥ax 的轨迹问题 则点P∈B 与垂直有关 已知动点P,对于给定点A和平面x中的直线L,都有PA⊥l→过点A作 的轨迹问题 平面B⊥L,则点P∈B 与距离有关 已知动点P,对于给定点A,都有PA=d→点P在以点A为球心、d为半 的轨迹问题 径的球面上 已知动点P∈，对于给定点A,都有PA与平面a所成角为0→过点A 与角度有关 的轨迹问题 作AA'⊥a于A',A'P= AA' tanθ ●最值或取值范围问题的解题策略 利用题目信息中的定值，将其转化为基本不等式 基本不等式 求最值问题 求最值或取值 函数 构造函数，利用函数单调性求最值 范围的方法 根据同角三角函数关系，将所求表达式用三角函数 三角换元 换元后，利用三角函数求解 20数学1必修第二册·RJ 实战演练 1.*如图，已知正六棱锥P-ABCDEF的侧棱 点M为线段D,B上一动点，则MP+ME的最 长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点， 小值为 PQ≤4√2，则点Q所形成区域的面积为 A./10-22 B.√W/10-4√2 ( C.√/12-22 D.√/12-42 A.4π B.5π C.6m D.7m D P 5.禁(2025·河南新乡高一期中)如图，在直 三棱柱ABC-AB,C,中，△ABC是边长为4 的正三角形，AA1=2,N为棱AB1的中点，M 为棱CC,上的动点，过点N作平面ABM的 垂线段，垂足为点O,当点M从点C运动到 (第1题) (第2题) 点C,时，点O的轨迹长度为 () 2.(2025·湖南长沙高一期中)如图，在长 方体ABCD-AB,C,D1中，AB=1,AA1= A.m T B. C. D.T 6 4 3 2,AD=√2，E,F分别为棱A41,BB1的中点. 0 动点P在长方体的表面上，且EP⊥CF,则点 P的轨迹的长度为 ( A.2+√6 B.2 C.1+6 D.24V6 (第5题) (第8题) 2 6.#正三棱柱ABC-A,B,C1的各棱长均为1， 3.熱(2025·河南驻马店高一月考)如图，在 点D是上底面ABC1上的一个动点，且直 棱长为6的正方体ABCD-A1B,C,D1中，点P 是平面A,BC,内的一个动点，当PB,+ 线BD与BB,所成的角为石，则点D的轨迹 PD=2+√10时，点P的轨迹长度是（ 长度为 7.整(2025·湖北十堰高一期末)在正四棱 锥P-ABCD中，AB=PA=3,PE=2EC,点F在 四棱锥P-ABCD的侧面PBC上运动， 且AF∥平面BDE,则动点F的轨迹长度 A.6T B.4m 为 C.23π D.2√2m 8.禁(2025·广东深圳高一期中)如图，在棱 4.熱(2025·湖南邵阳高一期末)已知正方 长为6的正方体ABCD-A1B,C1D1中，E,F分 体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，P为底 别是AD,AA,的中点，点P在侧面ADD,A,上 面ABCD内一动点，直线D,P与平面ABCD (包括边界)，且满足三棱锥P-BEF的体积 所成角为牙，E为正方形AAD,的中心， 等于9，则PC,的长度的取值范围 黑白题·上分秘籍2116.(1)证明：如图①，连接BD交AC于点O.AD∥BC,∠0AD= ∠0CB,∠0DA=∠0BC,△A0Dn△COB,OB OCCB2 OD OA AD 1 在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD,AB=2V2,BC=2AD=4,由 勾股定理可得BD=√AB2+AD2=√8+4=2√5，AC=√AB2+BC2= √8+16=2W6. w 在△AOD中，OD= 3 BD= 3,0A= 34C26 ,0D2+042= 4=AD2,.0D⊥OA,即BD⊥AC. C1Q⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.C1Q⊥BD,又，C1Q∩AC= Q,C1Q,ACC平面ACC1A1,BD⊥平面ACC1A1· (2)解：(i)如图②③，过点Q在平面ABCD内作EQ⊥BC,交BC 于点E,连接C1E. 0 0 C E ② ③ CQ⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,BC⊥C,Q. EQ⊥BC,EQnC1Q=Q,EQ,C1QC平面C1EQ,.BC⊥平面C1EQ. ,C1EC平面C1EQ,∴，C1E⊥BC,则∠C1EQ为二面角B1-BC-A的 3,且LC,CQ为直线CC,与平面ABCD所成 平面角，即∠C1EQ= 的角 CiQ CQ ,'tan∠C,EQ= =√3，即C1Q=√5EQ.,tan∠C1CQ= EQ √3E EQAB√3 CO ,而在△0BC中，0AC-3,amLG,cQ=10< LC0<号∠G,c0=牙，直线cC,与平面ABcD所成角 为好 (i)在等腰梯形4AC,中，CC=5,∠C,C0=年，AC=26, 则c0= .6 1 2cG,=2,即cQ=4AC 如图④，过点Q作1∥AB,则I∥AB1,过点A1在平面A1AC内 作A1H⊥AC,垂足为点H,在平面AA1CC内，，C1Q⊥AC A1H⊥AC,.A1H∥C1Q. C1Q⊥平面ABCD,A1H⊥平面ABCD. 0 、× M 0 E ④ 4 6 参考答案 过点H在平面ABCD内作HM⊥L,交I于点M,连接A1M, ,'AH⊥平面ABCD,lC平面ABCD,∴.I⊥A1H. l⊥HM,AH∩HM=H,AH,HMC平面AHM,∴，l⊥平面A1HM. ,AMC平面AHM,l⊥A1M,则∠A1MH为平面QA1B1与平 面ABCD所成二面角的平面角. 四边形AA1C1C为等腰梯形，.A41=CC1,∠C1CQ=∠A1AH ∠C0C=∠A,M=90,△GC0≌△4AH,AH=CQ=AC= 4a=G0=v-网-(：5w 6 24G=6 如图⑤，在平面ABCD内，：CE⊥ME,HM⊥ME,.HM∥CE, H_巴=2，即HM=2CE. CE CO 在平面A0D.肉QELC,Ap8c.QE/Ab.既器子 故HW=2CB=2xBC=78C-=2 如图⑥，在Rt△A1MH中，tan ZA MH=M=2×2=故平面■ 、Q4,B,与平面ABCD所成二面角的正切值为名 上分专题08立体几何中的轨迹问题 1.B解析：因为六棱锥P-ABCDEF为正六棱锥，所以顶点P在底面的 投影为底面中心0，如图①②， ① 又因为底面边长为3，所以0C=3,可得P0=√PC2-0C=33, 且P0≤42，则00=√P02-0P2≤√5，可知点0所形成区域为以点 0为圆心，半径长为√5的圆面，其面积为π×(5)2=5π.故选B. 2.A解析：连接EF,过点F作FG⊥CF交B1C,于点G,过点G作 GH∥A1B1交A1D1于点H,连接HE,如图所示： D 为 因为E,F分别为AA1,BB1的中点，所以EF∥AB, 又因为AB⊥平面BCC1B1,所以EF⊥平面BCC,B1,所以EF⊥CF, 又因为FG⊥CF,且EF∩FG=F,EF,FGC平面EFGH,所以CF⊥平 面EFGH,所以P的轨迹为EF,FG,GH,HE. 因为∠GB1F=∠CBF=90°，所以可知△BCF∽△B1FG, 所股g所以6号所以G属8G 又因为GH∥AB,GH=AB,所以四边形EFGH为平行四边形，所以 GH=F=1,所以P的航注长度为(1）2=24,6 黑白题107 3.D解析：连接B1D,设B1D∩平面A1BC1= D E,连接PE,BE,B1D1,BD 因为A1B=BC1=A1C1=23,A1B1=BB1= P B1C1,所以三棱锥B1-A1BC1为正三棱锥.因 E 为DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1C平面 D A1B1C1D1,所以DD1⊥A1C1. 因为A1C1⊥B1D1,DD1∩BD1=D1,所 以A1C1⊥平面BDD1B1, 又因为B1DC平面BDD1B1,所以B1D⊥A1C1 同理可证B1D⊥A1B,又A1C∩A1B=A1,A1C1,A1BC平面A1BC1,所 以B1D⊥平面ABC1,则E为正三角形A1BC1的中心，则BE=2,所 以B1E=√BB-BE2=√2. 因为B1D=32,所以DE=B1D-B1E=2W2. 因为B1D⊥平面A1BC1,PEC平面A1BC1,所以PE⊥B1D,即B1E⊥ PE,DE⊥PE. 因为PB1+PD=2+√10，即√PE2+2+√/PE2+8=2+√10， 因为PE>0,解得PE=√2，所以点P的轨迹是半径为√2的圆，所以点 P的轨迹长度是2W2π. 4B解析：因为直线D,P与平面ABCD所成角为牙，DD,1平面 ABCD,所以∠DPD1为直线D1P与平面ABCD所形成的角，即 ∠DPD1=45°，又因为DD1=2,所以DP=2,所以点P的轨迹为以D 为圆心，2为半径长的圆落在正方形ABCD内的部分，即四分之一 圆弧. 分析可知，点P为BD和圆弧的交点时，MP最小 此时可将平面D,AB沿着D1B翻折到平面BB,D,D所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中O1,0,分别为正方体 上、下底面的中心， E'(O)A'(B) M D 0 当E',M,P三点共线时，MP+ME最小.因为02P=2-√2,0102=2，所 以最小值为√22+(2-2)2=√10-42. 5.C解析：取AB的中点P,连接PC,CN,NP,取NP的中点Q,如图. P是AB的中点，△ABC是等边三角形，PC⊥AB,又：N为 棱AB1上的中点，由直三棱柱性质知PN⊥AB,又，PC∩PN=P, PC,PNC平面PCC,N,,AB⊥平面PCC,N,又，·ABC平面ABM, ∴.平面ABM⊥平面PCC1N. 过点N作NO⊥PM,O为垂足，又平面ABM∩平面PCCN= PM,NOC平面PCC,N,.NO⊥平面ABM,所以点O的轨迹是在四边 形PCC,N内且以PW为直径的圆弧. 当点M在点C时，点O位于点P,当点M到点C1时，点O到最高点， 此时PC=23,CC=2,tanLCPC23气=3，所以在Rt△GCP中、 LCPG,=石L0P0=于，从而L00P=牙，弧长1=号×1= 必修第二册·RJ 号，当点M从点C运动到点C时，点0的轨迹长度为号 6③ 解析：由题可知，点D的轨迹是以BB,为轴（其中B为顶，点）， 9 母线与轴所成角为：的圆锥的底面圆周与正三棱柱ABC-A,B,G 的上底面的文线所品■舌，所以A0=所以点D在上底 面AB,C上运动时，其轨迹是以B,为圆心，3为半径长，圆心角为 号的圆弧，放点D的镜迹长度为号× 339 2 :解析：如图，分别取线段PB,PE的中 点M,N,连接AM,AN,MN 连接AC,交BD于点O,连接OE. 因为四边形ABCD是正方形，所以O为线A丝 段AC的中点 因为PE=2EC,所以EC=EN,即E为线段CN的中点，所以OE∥AN 因为AN￠平面BDE,OEC平面BDE,所以AN∥平面BDE. 因为M,N分别是线段PB,PE的中点，所以MN/BE,MN=E 因为MN￠平面BDE,BEC平面BDE,所以MN∥平面BDE. 因为ANC平面AMW,MWC平面AMN,且AN∩MN=N,所以平面 AMN∥平面BDE. 因为AF∥平面BDE,且F在平面PBC内，所以点F的轨迹为线 段MN. 由题意可知PB=BC=PC=3,则CE=1,∠BCE=60°.由余弦定理可得 BE=VBC2+CE2-2BC·CBcs60=7,则MN= 2 8.[36,6√2]U{63解析：设△PEF中边 D EF的高为h,连接A1C1,CD,因为点E,F B. 分别是AD,A41的中点，A1D=6v2,所以三 、P 旋维P-BEF的体积弓× -×3√2h×6= 9,故A-32因为4，D和点A到EF的距离 2 为放P的输注为线段A,D和点1 当点P在线段A,D上时，△A,C1D为边长为6√2的等边三角形，故点 P到C1的最短距离为气×6反=3,6，最长距离为62，当点P与点A 重合时，PC1=6√3.综上所述，PC,的长度的取值范围为[36， 6w2]U{6W3}. 上分专题09立体几何中的展开与折叠问题 1.AD解析：对于A:在△ABC中，因为∠ACB=90°，AC=BC=22,D 是AB的中点，所以CDLAB,且AB=4,CD=AD=DB=2AB=2,则在 三棱锥A'-BCD中，CD⊥A'D,CD⊥BD.因为BD∩A'D=D,A'D,BDC 平面A'BD,故CD⊥平面A'BD,A'BC平面A'BD,故CD⊥A'B,所 以A正确； 对于B:记点A'到平面BCD的距离为d,当A'D⊥BD时，SAAD= 1 yDB2×2×2=2,由于CDL平面ABD,故 aw·c0=号22=号，所以em=-w号50·d 1 .1 黑白题108