8.2.1 两角和与差的余弦-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业 数课时 8.2 三角恒等变换 空 间 学作业 8.2.1 两角和与差的余弦 纠错空间 基础过关 JICHU Guo GUAN 9.(多空题)已知 α，β 均为锐角， $$， \sin \alpha = \frac { \sqrt 5 } { 5 } ， \cos \beta$$ $$1 . \sin 1 4 ^ { \circ } \cos 1 6 ^ { \circ } + \sin 7 6 ^ { \circ } \cos 7 4 ^ { \circ }$$ 的值是() $$A . \frac { \sqrt 3 } { 2 }$$ $$B . \frac { 1 } { 2 }$$ $$= \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ，$$ 则 cos(α+β)= ，则a β= . $$C . - \frac { \sqrt 3 } { 2 }$$ $$D . - \frac { 1 } { 2 }$$ 10.计算： $$\left( 1 \right) \sin 7 5 ^ { \circ } ；$$ (2)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 2.化简 -sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y) 的结果为 () A.sin 2 B.cos 2x C.-cos2x D.-cos 2y 3.在 △ABC 中， 若sin As in B<cos Ac os B， 则 △ABC 一定为 () A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.若 $$\sin \left( \pi + \theta \right) = - \frac { 3 } { 5 } ， \theta$$ 是第二象限角， 方法总结 $$\sin \left( \frac { \pi } { 2 } + \varphi \right) = - \frac { 2 \sqrt 5 } { 5 } ， \varphi$$ 是第三象限角，则 11.已知 $$\cos \alpha = \frac { 1 } { 7 } ， \cos \left( \alpha + \beta \right) = - \frac { 1 1 } { 1 4 } ，$$ cos(θ-φ) 的值是 () $$A . - \frac { \sqrt 5 } { 5 }$$ $$B . \frac { \sqrt 5 } { 5 }$$ $$\left( 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right) ，$$ 求 cosβ 的值 $$C . \frac { 1 1 \sqrt 5 } { 2 5 }$$ $$D . \sqrt 5$$ 5. .已知 $$\log \left( x - \frac { \pi } { 6 } \right) = - \frac { \sqrt 3 } { 3 } ，$$ $$\cos x + \cos \left( x - \frac { \pi } { 3 } \right) =$$ () $$A . - \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ $$B . \pm \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ C.一1 D.±1 6.(多选题)已知 $$\cos \alpha = - \frac { 3 } { 5 } ， \sin \beta = - \frac { 1 2 } { 1 3 } ，$$ . 第四象限角，则 cos(β-α) 的值是 () $$A . \frac { 3 3 } { 6 5 }$$ $$B . \frac { 6 3 } { 6 5 }$$ $$C . - \frac { 6 3 } { 6 5 }$$ $$D . - \frac { 1 6 } { 6 5 }$$ 7.计算 $$\frac { 1 } { 2 } \sin { 6 0 ^ { \circ } } - \frac { \sqrt 3 } { 2 } \cos { 6 0 ^ { \circ } } =$$ . 8.若 $$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \frac { 1 } { 3 }$$ ，则 $$\left( \sin \alpha + \sin \beta \right) ^ { 2 } + \left( \cos \alpha$$ $$+ \cos \beta \right) ^ { 2 } =$$ . · 世数学B 必修第三册 能力提升 13.已知角a的终边过点P(一4,3). NENG LI TI SHENG 空 tan(3x+a) 间 12.已知cos(a-9)=- os(a+=是，且a 12 (1)求 的值； 纠错空间 c(受小a+e(经，2x)求角3的值. (2)若B为第三象限角，且tan月=号，求c0s(a 一)的值. 4444444 4。。4.44.444.44 方法总结 +4+。4+。+。4于 十494+4+手+年手4年+年4 ·42·参考答案 3.A[由题意，设b=λa=(a,-2入)（入<0）， 则1b1=√2+(-2λ)z=√51x|=3√5， 又入<0，∴入=-3，故b=(-3,6).] 4.D[向量a在b方向上的投影数量为“：b=二6 B= 2 -3.故选D.] 5.D[,a与b的夹角为钝角，且a与b不反向， c0s0=0·b 1a6<0,a…b<0, 1X1+2×m<0,m<-7] 6.AB[由题意，设b=a=(入，-2入)（入≠0），由于b= 3w5. .b|=√2+(-2λ)2=√5z=3√5，∴.入=士3，即b =(-3,6)或(3，-6).] 7.解析：a+2b=(1,5),a·(a+2b)=1×(-1)+5×1 =4. 答案：4 8.解析：设q=（x,y),则p☒q=(x-2y,y十2x) =(-4,-3). 2y=-4=-2.」 “{y+2x=-3,…{y=1. q=(-2,1). 答案：(-2,1) 9.解析：cos<a,b)= 3×(-2)+3×5 √32+32√(-2)2+5 9 3√2·w29 3√/58 =万·√丽 58 a在b上的投影数量： 1a·cos(a,b)=0:b_3X(-2)+3X5 Tb√-2)2+5 99√29 √29 29 答案.3y图92四 58 29 10.解：(1)a与b同向，且b=(1,2), ∴.a=b=(入，2入)（入>0）. 又a·b=10,.+4λ=10， .入=2，∴.a=(2,4) (2),a·c=2×2+(-1)×4=0, .∴.(a·c)·b=0·b=0. 11.解：(1)a+b=(3,-1),a-b=(5,-5), 设a十b与a一b的夹角为0， 则cos0=a+b〉·(a-b)=15+5=25 a+b a-b J10×√50 5 a十b与a-b夹角的余弦值为2 5· 课时作业马 (2).(a-b)(2a+b), .(a-b)·(2a+b)=0, .2a2+(1-2λ)a·b-b2=0, a2=25,b2=5,a·b=-4-6=-10. ∴50-101-2x)-5以=0，解得X=-令 12.解：a=(1,2),b=(-2,一3)， ∴.c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2- 3m), .c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m. 又，c=1,d=√(1-2m)2+(2-3m)2, c·d 2-3m ÷.cos45°=1cd=/0-2m)2+(2-3m)7 瓦 化简得5m2-8m十3=0，解得m=1或m=3 5 13.解：(1)：A,B,P三点共线，AB∥BP AB=(2,-4),BP=(1,t),.2t+4=0,.t=-2. (2):店⊥丽，A店.亦=2-4=01= (3)若∠BAP是锐角，则AB·AP>0,且AB,AP不 共线。 :AB=(2,-4),AP=(3,t-4),.6-4(t-4)>0, 且≠-2，解得号且≠-2 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 1.B[.a⊥b,.a·b=0,.3x-3=0,∴.x=1.] 2.C[设c=(x,y),c⊥a,.2x-3y=0. 又b·c=1,∴.x-2y=1, 综合①②知x=-3,y=-2.] 3.CAB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7), AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), AB.A花=21-21=0， .AB⊥AC 则∠A=90°， 又AB≠AC1, △ABC为直角三角形.] 4.D[OA.OB=OB.O元 (OA-0C.0=0. ..OB.CA=0. ∴.OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O为三条高的交点.] 世数学B 5.C[,tana=-2, ∴.可设P(x,-2x), cos(OP,OQ)=- OP·OQ 5.x p1·10a55x 当x>0时，cos(Op,0)= 5 当K0时m成.0》=点] 6.ACD[根据向量数量积的分配律知A正确； [(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, .(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误；，a,b不 共线，∴a、b、a一b组成三角形三边， ∴a-b<a一b成立，C正确：D正确.故正确命 题的序号是A、C、D.] 7.解折：a6ab=0,即2以-15=0A=号 答案：9 8.解析：由题意得ma一b=(m十1，一m),根据向量垂直 的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m =一1. 答案：-1 9.解析：.c=(x,y),则c十a=(x十1，y十2)， 又(c+a)∥b,∴.2(y+2)+3(x+1)=0. ① 又c⊥(a+b),.(x,y)·(3,-1)=3x-y=0. ② 由D@解得x=子y=子 10.解：(1).a·b=4×(-1)+3×2=2, |a=√42+32=5，|b=√(-1)2+22=5， ia-台治票 (2).a-b=(4+入，3-2入)，2a+b=(7,8), 又(a-ab)⊥(2a+b), .(a-ab)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2)=0， =器 11.解：.a=(1,-1),b=(入，1)， .|a=√2，bl=√1+2，a·b=A-1. ,a,b的夹角a为钝角. -1<0, 即1， “{W2√1+2≠1-λ，{a2+2x+1≠0. .<1且≠-1. .入的取值范围是(-o∞，-1)U(-1,1). 12.解：设向量b=(x,y). 根据题意得OA·OB=0,OA1=1OB1. ∴.(a-b)·(a+b)=0,a-b=a+b, ∴.a=b,a·b=0. x2十y2=1, ·7 必修第三册 x x=- 解得 2 1 1 y=2' 2 2= 13.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=2, 则A(0,0),B(2,0). y D A(O) B文 (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1). .BE·CF=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ∴.BE⊥CF,即BE⊥CF (2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1), FC=(2,1),:FP∥FC, .x=2(y-1),即x=2y-2, 同理，由BP∥BE得y=-2x十4， 由x=2y-2, 8 y=5 点P的坐标为（停） 市√()+（停） =2=|AB1,即AP =AB. 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 1.B[sin14°cos16°+sin76cos74 =cos 76cos 16+sin 76sin 16 =c0s(76°-16°) =c0s60-7] 2.D[原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos2y,故 选D.] 3.D ['.'sin Asin B<cos Acos B, .cos Acos B-sin Asin B>0, .cos(A+B)>0,即cos(π-C)>0,'.-cosC>0, ÷cosC<0,:0<C<,∴>C>登， ∴.△ABC为钝角三角形.] 4B[sinx+0)=-号sin0=音 :0是第二象限角，c0s0=一4」 5 sin(侵+）-2mg=-25, 5 9是第三象限角…心加g=一得 .'cos(0-)=cos Ocos +sin Osin ()×(+×()9]