8.2.1 两角和与差的余弦（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 即-a=-2x, (y=2a-2y, 解得{ 2 y=3a, (传景)月 :i=(0,受)-a,0)=(-a,号) o苑-花-（号号 i.店-a×号+号×号0 =-32+32=0, ∴.AD⊥CE,即AD⊥CE. [例3][解](1)由|k+b|=√5a-kb|,得(ka+b)2 =3(a-b)2, .k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2, ∴.(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ,|a=√cosa+sina=1,bl=√cos2g+sin3=1, .k2-3+8ka·b+1-3k2=0, a·6=2k2+22+1 8k 4k 4k4 由画数的单调性容易得出，()=(k十)在(0,1]上 单调递减，在[1，十∞)上单调递增. 5当k=1时，f)0m=f)=×(1+1D=2,即a·b 的最小值为宁 此时a与b的夫角0的余弦值cos=ab=2 a·b1 ∴.0=60 变式训练 3.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) BC=(2sin 0,cos 0-1) ACI=IBCI ∴.√2sin0-1)2+cos20 =√(2sin0)2+(cos0-1)2, 化简得2sin9=c0s0.tam0=子 (2)OA+2OB=(1,2), OC=(2sin 0,cos 0), ∴.(OA+2OB)·OC=2sin0+2cos9=1, ".sin 0+cos 1 随堂步步夯实 1.B[由a⊥b,得a·b=0,即4.x十x=0,解得x=0,故 选B.] 2.B[因为m=(入+1,1)，n=(入十2,2). 所以m十n=(2入+3,3)，m-n=(-1,-1). 因为(m十n)⊥(m-n),所以(m十n)·(m-n)=0, 所以-(2入十3)-3=0，解得入=-3.故选B.] ·1 数学B 3.解析：由题意得c=a一b=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4一t). :b⊥c,.b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4 -t)=2-2t=0,解得t=1. 答案：1 4.解析：因为OA⊥AB,所以OA·AB=0, 所以OA.OB=OA·(OA+AB)=OA12+OA.AB= OA2=32=9. 答案：9 5.解：①.a=(3,一4)，b=(2,x),a∥b, 小3x+8=0,x=-8 3 c=2y.aLc6-4y=0y=是 b=(么，-)c=(2,)月 81 ②设a-2c与-3b的夹角为0，，a-2c=(3,-4)-(4, 3)=(-1,-7),-3b=(-6,8), ∴cos0=Ca-2c)·(-3b)=6-56 1a-2c·-3b5√2×10 21 0<0=要 故a-20与-3b的夫角为 8.2 三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 课前预习学案 情境引入 提示：(1)不成立.因为cos(π一a)=一Cosa,c0sπ一C0sa= -1一cosa,若cos(元-a)=cos元-cosa,则-1=0矛盾，故 不成立， (2)因为cos(5-a)=sina,cos受cosa十sin号sina sin a. 所以cos(受-a)=cos受cosa十sin受sina成立， 2 知识梳理 知识点一、(1)cos acos3+sin asin3任意角 知识点二、cos acos(-3)+sin asin(-3)cos acos3-sin asin B [思考] 1.提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反 2.提示：os(受-a）=cos受c0sa十sin受sina=0叶sina sin a. 3.提示：一般情况下不相等.但在特殊情况下也有相等的时 候.例如：当a=0°，3=60°时，c0s(0°-60)=c0s0° c0s60°. 预习自测 1.C2.A 1 3.2 课堂互动学案 [例1][解](1)原式=cos75cos15°+sin75°sin15°= c0s(75°-15)=c0s60=7 (2)原式=cos60'cos15°+sin60'sin15°=cos45°=Y 2 (3)原式=c0s(60°+45) =cos60°cos45°-sin60°sin45 2 4 6 变式训练 1.解：原式=cos105°+sin(90°+105) =cos105°+cos105 =2c0s105°=2cos(135°-30) =2(cos 135cos 30+sin 135sin 30) 2 [例2】[解]1：如(x十》=-s血0=一合sm0 3 又0是第二象限角，cos日=-4 5 n6受+9)=60s9=25,且9为第三象限角， sin g5 5 'cos(0-)=cos ecos o+sin sin 5 5 (2)由sna=子和a为锐角可得cosa=广na-写 2 由cos(a十B)=- 和0<a十g<180°可得sin(a十B)= 5 V-cos(a+历=台于是cos月=cos[(a+B)-a] =cos(a+B)cos a+sin (a+B)sin a 号×号+×15 10 变式训练 2.解：a∈(）e(0,) ..a- ∈（小受c() n(）-o-)可-5 (台-)√-m(台)-√哥 os安-cas[(e号）（受] s(a一号)（受）+n(a-号)m(受) = 9 3T9 [例3][解]因为a和3均为钝角， 所以cosa=一-sina=-25 5 cos月=V-sing=-3V@ 10 由a和3均为钝角，得π<a十B<2r, 所以cos(a十B)=cos acos3-sin asin3 =( 25×8,-×号 10 10 21 所以a+日=至 变式训练 3.解析：(1)，a,3均为锐角， .cosa 5og-3 .'.cos(a-B)=cos acos B+sin asin B 参考答案 -5x3+25x- 5 10 5102 又：sin>sing0<a<受， 0CaK受 故a--于 (2)age(0,受a+9e(0,x). :omsa=7oasa+8=是 子aa+m=, sina .'.cos B=cos [(a+B)-a] =cos(a+8)cos a+sin (a+B)sin a --×+0×9 7=2 0<<受g-吾 [答案](1)年(2号 随堂步步夯实 1.B [sin 53cos 23-sin 37 cos 67 =cos37°cos23°-sin37°sin23 =c0s(37°+23) =0os60=7] 2.B[a∈ x）sina= ∴.cosa=- aos(-）oscosa+inna 10 3.解析：原式=c0s(105°-15°)=c0s90°=0. 答案：0 4.解析：由诱导公式得sin(径十a）cosa=一号 又a(行小所以ma=是 所以cos(-a-cososa十sin吾ina =×()十9×是-34 10 答案：35-4 10 5.解：e(告）∴答+∈（受 又m(停+）是 os(+a）=-√-sim(+a)= cosa=cos[(停+a）] =os(昏+a）小os亏+sm(后+a）im号 ×+×92语 26 17必修第三册 数学B 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余猛 课程标准 素养解读 1.通过探索得到两角差的余弦公式、并能熟记公式，灵活 应用 通过两角差的余弦公式的推导及应用，提升逻 2.体会向量法在差角余弦公式推导过程中的作用 辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.cos(a-)与cosa-cos3相等吗？ 回顾三角函数的诱导公式： (1)cos(π-a)=cos元-cosa能否成立？ (2)cos(号-a）-cos受osa十sin号sina成立吗？ 元 [知识点二]两角和的余弦公式 在两角差的余弦公式中，以一3替代β就得到两角 和的余弦公式.即Ca+: cos(a+8)=cosLa-(-B)]= [知识梳理] [知识点一]两角差的余弦公式 预习自测] (1)公式：cos(a-B) 1.化简cos65°cos35°+sin65°sin35的结果是 ①简记符号：C, ②适用条件：公式中的角a,3都是 (2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正 A.c0s100 B.sin 100 余弦计算 c号 D方 (3)应用：①化简，②求值. 2.下列式子中，正确的个数为 2思考1.公式的结构特征是怎样的？ (1)cos (a-B)=cos a-cos B; (2)cos sin a; (3)cos (a-B)=cos acos B-sin asin B 2.如何利用该公式推导诱导公式cos( A.0个 B.1个 sin a? C.2个 D.3个 3.cos65°·c0s125°+c0s25°·sin125°= 课堂 互动学案 规律方法 题型一 公式的正、逆用 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后用公 [例1]求下列各式的值： 式直接求值. (1)cos75°cos15°-sin75°sin195. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角 15+9n15, (2)1 差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式 求值. (3)cos105 (3)公式Ca-,的结构特点 [思路点拔](1)sin195°=sin(180°+15)= ①同名函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘 in15,68-cs60, 正弦. 2 =sin60°. ②把所得的积相加， ◇[变式训练] 1.求cos105°+sin195的值. 68· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 题型二 给值求值问题 ◇[变式训练] [例2](1)若sin(x+0)= 号0是第二象限角， 2.设co(。-号)=-日sim(号-月号其中 sin受+）= 25 ,9是第三象限角，求cos(0 (受(0，)求o生9 p)的值； (2)已知sina= 2,cos(a+Bm=一号，a,9均为绕 3 角，求cosB的 [思路点拨寻找要求角与已知角之间的关系， 题型三 给值求角问题 [例3]已知sina=5 ,且e和日均为纯 5,sin 8=10 角，求a十3的值. [思路点拨]根据已知条件，确定角α十B的范 围，求角a十B的某个三角函数值，进而得a十B的 大小 规律方法 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三 规律方法 已知三角函数值求角的解题步骤 角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 角的关系，即拆角与凑角. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好 (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程 选取在上述范围内单调的三角函数. 中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常 (3)结合三角函数值及角的范围求角· 见角的变换有： ◇[变式训练] ①a=(a-B)+B; 3(1已知e,0均为额角，且n。25,n8。 ②a=a+e+&E 则a一B= 2 2 ③2a=(a十3)+(a-3); (2已知cosa=7cos(a+=1e,e(0, ④23=(a十3)-(a-3) 罗)，则9= 随堂。步步夯实 1.计算sin53°cos23°-sin37cos67的值为() 5.已知sin(行+)号ae(后)求cosa的值 A-号 B司 c D.- 2 2.已知sina= ae(受则cas(经-的值为 A号 B号 10 D.、IE 5 3.求值：cos105°cos15°+sin105°sin15° 4若n(受+a-号a(受小则ms(管- @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·69·