第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 章未归纳提升 [网络构建] 向量数量积的概念 向量的数量积 向量数量积的运算律 向量数量积的坐标运算 两角和与差的余弦 两角和与差的正弦、正切 三角恒等变换 倍角公式 半角公式 三角恒等变换的应用 积化和差、和差化积公式 [归纳提升] 题型一 向量的数量积运算 (2)cos0= 十y”一，求解的前提是：已知两 平面向量的数量积运算是平面向量的核心内容，计 √+yia号十y喝 算数量积通常用三种方法：①数量积的定义：a·b 个向量的坐标. =|a·b|·cos(a,b),②坐标运算：若a=（1, 要注意两向量夹角0∈[0，元]，特别当0=0或元 y1),b=(x2y2),则a·b=1x2+y1y2,③用数量 时，两向量共线，则a=b;或a∥b台1y2一x2y1 积的几何意义：a在b方向上投影的数量与|b|的 =0,当0=90°时，a⊥b台a·b=0. 乘积.另外，平面几何中常选基底表示向量，再用向 2.向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利 量数量积的运算律进行计算. 用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般 [例1]已知a=(1,3),b=(-1,3),c=(入，2) 地，求向量的模主要利用公式a2=a,将它转化 (1)若a=mb+3c,求实数m,A的值 为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运 (2)若(2a+b)⊥(b-c),求a与2b+c的夹角0的 算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公 余弦值. 式a=√x十y将它转化为实数问题，使问题得以 解决 [例2]已知a=1,b=√2. (1)若a∥b,求a·b: (2)若a,b的夹角为60°，求|a十b; (3)若(2a-b)⊥b,求a与b的夹角为0. ◇[变式训练] 1.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分 别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F,使 得DE=2EF,则AF·BC的值为 5 A.- 8 B.8 C.D. 题型二 向量的夹角与模的问题 1.求两个向量的夹角主要利用两个公式： a·b (（1)cos0=a6,求解的前提是：求出这两个向量的 数量积和模. ·84· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1, 2). 3.已知sin(+asin(年-a日e(任x求 (1)若c=2√5，且c与a方向相反，求c的坐标； sin4a的值. 1+cos'a (2)若b1=号，且a十2b与2ab垂直，求a与b 的夹角0. 题型 三角函数式的化简、求值 三角函数式的化简，主要有以下几类：①对整式，基 题型四三角恒等变换与三角函数的综合】 本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思 求解三角恒等变换和三角函数的性质与图像的综 路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式 合问题时，先利用三角恒等变换将三角函数式化为 或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变 y=Asin(wx+p)十k的形式，再求函数y= 形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是 Asin(wa十p)十k的最小正周期、单调区间、最 一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数 值等. 名”的“化同”：角的变换，即“单角化倍角”“单角化 求解时需要注意以下两点： 复角”“复角化复角”等具体手段. (1)若函数解析式中出现的二倍角、半角或函数值 三角函数求值主要有三种类型，即 的平方，则要利用二倍角公式、半角公式、同角三角 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察 函数的基本关系式等，将解析式化为关于同一个角 发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或 的三角函数式. 差为特殊角，必要时运用诱导公式. (2)注意辅助角公式f(a)=a cos a十bsin a= (2)“给值求值”。即给出某些角的三角函数式的 √a十bsin(a十p)的应用，并记住几个常用的辅助 值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键 在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意 角公式：sin士cosa=②sina士军)sina士5cosa 角的范围. 2sina±号)w5sina士cosa=2sim（a士若)等。 (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往 往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函 [例4打已知函数f(x)=cos艺-sin受os受2 数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域： [例3】化简.iasing叶9-司ms2ams2跟 （2者a)-语，求m2a的值， 85· 必修第三册 数学B ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 4设函数f)=cos(2x+晋)十six 5.a=(4cos a,sin a),b=(sin B,4cos B),c= (cos B,-4sin B). (1)求函数f(x)的单调递减区间； (1)若a与b-2c垂直，求tan(a+3)的值； 2若0<a<受<<，f(年-号)=1，f生 (2)求b+c的最大值. 0,求cosa的值. 题型五三角函数与向量的综合问题 三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热 点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变 形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决 这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与 垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函 数问题. [例5]已知向量a=(cosa,sina),b=(cosB,sin). /a-b1=25 5 (1)求cos(a一3)的值； (2)若-晋<R0<a<受，且sim月=一是求sine 的值 ·86·国为0Ca<音所以0C2a<答晋<2+智<号 331 故当2a十答-受，即a=时，S能n取得最大位， 此时S矩形ABCD=2-√5. 随堂步步夯实 1.D [因为a∈（0）且osa= ，所以号∈ 4 1-cos a 5 1+ 2B[a<2,受<号<元 .c0s2 /1+cosa」 2 2 3B[由超意知ma=气a长x,受. 所以asa=景因为号（受， c05e=-.故 所以sin(受+受)=o受=√十 6 选B.] 4.解析：f(x)=-c0s2+sin2r+1= 2 2 号n(2x一晋)十号故最小正月期为x 单拥造减区间为[管+x,+k小，kE乙。 答案：π [+xg+x]∈Z 5.解：(1f)=n(2-)+2cos2x-1=in2x·cos石-os 6 2x·sin吾+cws2z=9.sin2x+2ws2r=in(2z十 2 君)，故fx)=sim(2z+晋)，所以当2z+若=2kx+受，k ∈Z,即x=kx+石，k∈Z时，f(x)mx=l. 其相应的x的取值集合为{x=kx十晋，k∈Z, (②)由题意得fe)=sin2a+)=号 4 所以o(2a+）一是 因此cos2a=co[(2a+)吾] =cos(2a+吾)cos吾+sin(2a+吾)sin否 -（)×9+号×3-3+4 10 章末归纳提升 [例1][解](1)由a=mb+3c得(1,3)=(-m,3m)+ (3入，6) =-m+3 3=3m+6/=0. m=-1' ·1 参考答案 (2)2a+b=(1,9),b-c=(-1-λ，1) (2a+b)⊥(b-c),∴.-1-A+9=0,∴.A=8 令d=2b十c=(6,8),则a与2b十c夹角0的余弦值为 a·d 1×6+3×8 3√10 cos0=Ta×1d=√/T干9X√36+610 变式训练 1.B[:B元=AC-AB,AF=AD+D币 =A+多成=号丽+AC, :底.=（花-A·(侵店+） =号×1x1x号日+号-是×1x1x号 [例2][解](1)若a∥b,则a与b的夹角为0或元 所以a·b=a|bcos0=1×2×1=√2或a·b=a|b |·cosx=-2. (2)因为a+b12=a2+2a·b+b2=a2+2a|bcos 60+b12=1+2X1X2×号+2=3+瓦，所以a+b =√3十√2. (3)若(2a-b)⊥b,则(2a-b)·b=0,即2a·b-b=0, 所以2|a|bcos0-|b|2=0,即2×√2cos0-2=0, 所以e9=号又0C所以9=票 变式训练 2.解：(1)设c=(x,y),由c∥a及|c=25, 可得1·y-2·t= 1.x2+y2=20, 0所以=2或=一2 (y=4,1y=-4. 因为c与a方向相反，所以c=（一2，一4). (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 所以(a十2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, 所以2a2+3a·b-2|b2=0, 所以2X5+3a·b-2×5=0, 4 所以a6=一音所以c00=合论=-1. 又因为0∈[0，π]，所以0=元. [例3][解]法一原式=sin2asin23+cos2acos29 号(2casa-1D·(2asg-1d -sin'asin(Acoacos-coa 2cos23+1) inasincoaoc -sinasin2B+cos"a(1-cosB)+cos2- 1 -sin asin8+cos'asin8+cosB- 1 =sim㎡3sin2a+cosa）+osg-号 =sim㎡g+cos2g7-1-7-7 11 5 必修第三册 法二 原式=sin2asin2g+(1-sin2a)cos23 1 2 cos 2acos 28 -cos2B-sin'a(cos-sinB)-cos 2acos28 cocosi+cs a) cscos 2 sin(1-2sina) 2 =1+cos231 1 2 c029=2 法三原式=1-c0s2a.1-c0s2塑+1+0s2e. 2 2 2 1+cos231 2 os2acas2g-1+cas2aos2p-cas2a -cos 2+(1+cos 2acos 28+-cos 2a+cos 28-cs 法四 原式=（sin asin B-cos acos3)2十 2 sin asin3·cos acos月-2cos2acos2p9 cos(sin 2sincos 2acos =cos2(a+)-2cos(2a+29 =cos2(a+9)-2[2cog(a+)-1]=2 变式训练 3.解：sin(径+a）in(径-a）石， sin(+a）os(+a）=,sin(受+a）=3,即 cos 2a=3 又a∈(x）2a∈(r,2x), ∴.sin2a=-√1-cos22a= 品 2 1十3 1十2 =-4② 15 [例41[解](1)fx)=os心专-sin乞cos台一-名 os(+晋)片 所以)的最小正周期为2x,位城为[要，号] (2)由(1)知f(a)= 所以(+) 所以m2a=o(受+2a）-o[(+7)] -1-2w(+）=1-器-员 ·1 数学B 变式训练 4.解：1)fx)=cos(2x+)十sim2x=cos2xos苔-sin 2rsin cos 215 sin 2r. 2 2 2 当-+2km≤2x≤+2kx(k∈Z), 即x∈[-至+x,至+kx]水k∈Z)时，画数f(x)单调 递减. 故函数f(x)的单调递减区间为 [至+x,子+6]∈z. 2)由f(至-号)=1r(生)=0， 得cosB=- .inta :0<a<5<gK, +c(受，) n1p了 31 cos(a+3)=-v1-sin2(a+B) 31 ..cos a=cos [(a+3)-B]=cos(a+B)cos B+sin(a+B) sin = [例5][解](1)，a=(cosa,sina),b=(cosB,sin3), ∴.a=|b=1, 'a-b|2=a2-2a.b+b2 =1+1-2(cos acos B+sin asin B)=2-2cos(a-B). 又1a-1=29,a-=2-2asen=号 解得casa一0=子 (2:-吾<3K0<aK受， .0<a-B<π， 由cosa-m=亭得in(e-=寻， 由m-6得e0s9=号 12 .'sin a=sin[(a-B)+8]=sin(a-B)cos 8+cos(a-B)sin 产告×号+×()器 变式训练 5解：由题意，得 a.b=4sin Bcos a+4cos Bsin a=4sin(a+B), a·c=4cos3cosa-4 sin Bsin a=4cos(a十3). 又a与b-2c垂直，所以(b-2c)·a=0, 即b·a=2a·c, 所以sin(a十B)=2cos(a十B),所以tan(a十3)=2. (2)因为b十c=(sin3+cos3,4cosB-4sin3), 所以|b+c|=√(sinB+cos3)2+(4cosB-4sin3)2= √/17-30sin3cos3=√17-15sin28, 所以当sin289=-1时，b+cmax=V32=4√E.