第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 章末归纳提升 对应学生用书P [网络构建] 向量数量积的概念 向量的数量积 向量数量积的运算律 向量数量积的坐标运算 两角和与差的余弦 两角和与差的正弦、正切 三角恒等变换 倍角公式 半角公式 三角恒等变换的应用 积化和差、和差化积公式 [归纳提升] 题里一 向量的数量积运算 ◇[变式训练] 1.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分 平面向量的数量积运算是平面向量的核心内容，计 别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F,使 算数量积通常用三种方法：①数量积的定义：a·b 得DE=2EF,则A京.BC的值为 =a·b·cos(a,b),②坐标运算：若a=(.1, y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2十y1y2,③用数量 A.-8 B.s c子D.g 积的几何意义：a在b方向上投影的数量与b的 解析：B[:BC=AC-AB,AF=AD+D币 乘积.另外，平面几何中常选基底表示向量，再用向 =2A店+号D成=2Ai+子AC, 量数量积的运算律进行计算. [例1]已知a=(1,3),b=(-1,3),c=(入，2) B成.A=(AC-A)·(2A店+AG (1)若a=mb十3c,求实数m,入的值 2×1×1x2-2+-×1X1×日 = (2)若(2a十b)⊥(b-c),求a与2b+c的夹角0的 余弦值. [解](1)由a=mb+3c得(1,3)=(-m,3m)+ 题型二 向量的夹角与模的问题 (3入，6) 1.求两个向量的夹角主要利用两个公式： =m+3 ,1入=0， 3=3m+6 (m=-1 1c0s=日治求舒的前提是：求出这两个向盐的 数量积和模。 (2)2a+b=(1,9),b-c=(-1-入，1) .(2a+b)⊥(b-c),.-1-λ+9=0，.λ=8 (2)c0s0= ,十”一，求解的前提是：已知两 √+yi√a十y 令d=2b+c=(6,8),则a与2b+c夹角0的余弦 个向量的坐标. 值为 要注意两向量夹角0∈[0，π]，特别当0=0或π a·d 1×6+3X8310 时，两向量共线，则a=b;或a∥b台xy2一x2y cos0=1a1×1aV1十9XW36+6410: =0,当0=90时，a⊥b台a·b=0. ·163· 必修第三册 数学B 2.向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利 所以a·b= ,所以0s0= 5 a·b 用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般 a11b=-1. 地，求向量的模主要利用公式a2=a,将它转化 又因为0∈[0，π]，所以0=元. 为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运 题型三 三角函数式的化简、求值 算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公 三角函数式的化简，主要有以下几类：①对整式，基 式|a=√x+y将它转化为实数问题，使问题得以 本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思 解决. 路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式 [例2]已知a=1,bl=√2. 或数值：③对二次根式，则需要运用倍角公式的变 (1)若a∥b,求a·b: 形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是 (2)若a,b的夹角为60°，求a+b: 一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数 (3)若(2a-b)⊥b,求a与b的夹角为0. 名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化 [解](1)若a∥b,则a与b的夹角为0或元. 复角”“复角化复角”等具体手段。 三角函数求值主要有三种类型，即 所以a·b=a|bcos0=1×√2×1=√2或a·b= (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察 a|b·cosx=-2. 发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或 (2)因为a+b|2=a2+2a·b+b=a2+2ab 差为特殊角，必要时运用诱导公式。 cas60+a=1+2X1X2×号+2=3+2，所 (2)“给值求值”。即给出某些角的三角函数式的 以a+b=√3+√2. 值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键 在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意 (3)若(2a-b)⊥b,则(2a-b)·b=0,即2a·b-b 角的范围， =0, (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往 所以2a|bcos0-|b|2=0,即2×√2cos0-2 往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函 =0, 数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 所以cos日三号又0≤0≤元，所以日=交. [例3】化简：sinasin9+c0 acosB--2cos2acos2g ◇[变式训练] [解] 法一原式=sinasin2B十cos2acos2B- 2.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1, 2). 22cos2a-10.(2casg-10 (1)若|c=2√5，且c与a方向相反，求c的坐标； -sin'asin+(4cosacosB-2cos (2)若b1-号，且a+2b与2ab至直，求a与b -2cos23+1) 的夹角0. =sin'g-oc+cosa十cos月-号 解：(1)设c=(x,y),由c∥a及c=2√5， (1·y-2·x=0 所以2， 2， -sin asing+cosa(1 可得 {x2+y2=20, y=4,y=-4. -sinasinBcsin 因为c与a方向相反，所以c=(一2，一4). (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), =sinina十eosa)+eosg号 所以(a+2b)·(2a-b)=0, 11 即2a2+3a·b-2b2=0, 所以2a2+3a·b-2|b12=0, 法二原式=sin'asin2B+(1-sin2a)cos23 所以2X5+3ab-2×号=0， 1 2cos 2acos 28 ·164· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 1 -cos'B-sin'a(cos B-sinB)-cos 2acos28 题型四三角恒等变换与三角函数的综合门 求解三角恒等变换和三角函数的性质与图像的综 =cos-cos2sin2a+0s2a） 合问题时，先利用三角恒等变换将三角函数式化为 y=Asin(awx+g)十k的形式，再求函数y= Asin(awa十p)十k的最小正周期、单调区间、最 1 2 值等， 法三 原式=1-c0s2a.1-cos29+1+cos2e. 求解时需要注意以下两点： 2 2 2 (1)若函数解析式中出现的二倍角、半角或函数值 1+cos231 2 2cs 2acos28(1+cos 2acos 2 的平方，则要利用二倍角公式、半角公式、同角三角 cas2么-c0s2p0十子1十os2ac0s2p+c0s2a十 函数的基本关系式等，将解析式化为关于同一个角 的三角函数式。 c0s23)- cos (2)注意辅助角公式f(a)=a cos a十bsin a= 法四 原式=(sin asin3-cos acos B)2+ √a+bsin(a十p)的应用，并记住几个常用的辅助 2 in in9·0s月-2cos2aoms29 角公式：sina士cosaEsnQ士)，sina士5cosa cossin asincos c0 2sina士号)5sina士eosa=2sin(e士若)绕. 1 -cos*(a+B)-cos(2a+28) [例4幻 已知函数f(x)=cos号-sinc0s号 =cos(a+8)-2[2cos2(a+B)-1]=2 (1)求函数f(x)的最小正周期和值域： ◇[变式训练] (2若o)-恶，求sn2a的做 3已知sin(年+o小sin(至=言ae(受小求 [解](1Dfx)=cos受-sin专cos受-司 平。的直 2(1+cos z)-2sin 解：“sin(昏+ojn(任-小言 2 所以f()的最小正周期为2元，值域 ∴sn(+oj小os(管+a-合sn(经+2a小-3 [ 即c0s2= 又ae(经x2ea,2x ∴.sin2a=-√1-cos22a= 所以sn2a=-cos(受+20-cos2(e+】 sin4a_2sin2a·cos2a =1-2cos2 +)1-器品 1+cos'a 1+1+c0s2a 2 ◇[变式训练] 2× 2√2 1 3 4.设函数f(x)=g 1十3 (1)求函数f(x)的单调递减区间； 1+ 2)若0a<受<B,f至号)=1，f(生) 42 15 0,求cosa的值. ·165· 必修第三册 数学B 解：(1)f(x)=co 2x+3 sin'=cos 2xcos 元 (2)若一受<K0<a<登，且sing=高求sima 的值 sin 2xsin- 1-c0s22_ 92 [解](1)，a=(cosa,sina),b=(cosB,sin3) 5+2kx≤2≤受+2kx(∈20， 当一 .a=|b=1, 即x∈[一于+，牙+x]∈Z)时，函数f()单 ∴.a-b12=a2-2a·b+b2=1+1-2(cos acos3 +sin asin B)=2-2cos(a-B). 调递减 义a-1=2g6ia6=22oma0- 4 故函数f(x)的单调递减区间为 [-至+k,+kx]水∈)， 解得c0sa-80=是 2)由f(年-)=1f生)-0， (2:-登<g0<a登 得cosB= .0<a-<π， :0<a<受<Kx 由cosa0=号得sn(e一0=告， a+(受) 由sinB=- 得cos-号， 5 .'sin a=sin[(a-B)+8]=sin(a-B)cos B+cos(a cos(a+8)=-1-sin2(a+B) ◇[变式训练] 5.设a=（4cosa,sina),b=(sin3,4cos3),c= 31 (cos B,-4sin B). .cos a=cos[(a+B)-B]-cos(a+B)cos B+sin(a (1)若a与b-2c垂直，求tan(a十)的值； +8)sim=- ×+9×- (2)求b+c的最大值. 题型五 三角函数写向量的综合问题 解：由题意，得 三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热 a.b=4sin Bcos a+4cos Bsin a=4sin(a++8), 点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变 a.c=4cos Bcos a-4sin Bsin a=4cos(a+B). 形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决 又a与b-2c垂直，所以(b-2c)·a=0, 这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与 即b·a=2a·c, 垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函 所以sin(a十3)=2cos(a十B),所以tan(a十3)=2. 数问题 (2)因为b+c=(sinB+cosB,4cosB-4sin3), [例5]已知向量a=(cosa,sina),b=(cosB,sin). 所以|b+c=√(sinB+cosB)+(4cosB-4sinB) /a-b1=25 =√17-30 sin Bcos B=√17-15sin23, 5 (1)求cos(a-3)的值； 所以当sin28=-1时，b+cmx=√32=42. ·166·