8.2.4 三角恒等变换的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

对应学生课时P49 1．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：A　[因为α∈，所以sin α＞0，由半角公式可得sin α＝＝.] 2．已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：B　[∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－， tan ＝＝－3.] 3．函数y＝3sin 4x＋cos 4x的最大值是(　　) A. B．2 C．3 D．6 解析：B　[y＝3sin 4x＋cos 4x ＝2 ＝2sin， ∴ymax＝2，故选B.] 4．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：D　[由题意得f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x) ＝(1－cos2 2x)＝sin2 2x＝(1－cos 4x)． 又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.] 5．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 解析：B　[sin Asin B＝(1＋cos C)， 即2sin Asin B＝1＋cos C， ∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B， 故得cos(A－B)＝1， 又因为A－B∈(－π，π)， ∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．] 6．(多选题)如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数f(x)＝sin x－cos x是“同族函数”的是(　　) A．f(x)＝2sin x·cos x＋1 B．f(x)＝2sin C．f(x)＝sin x＋cos x D．f(x)＝sin 2x＋1 解析：BC　[A式化简f(x)＝sin 2x＋1， C式化简f(x)＝2sin， f(x)＝sin x－cos x＝2sin， 显然A中的周期、D中的振幅和周期与已和函数不符，B、C符合．] 7．化简的结果是　________　. 解析：＝ ＝＝|sin 1＋cos 1|， 因为1∈，所以sin 1＞0，cos 1＞0， 则＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 1 8．函数f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1的最小正周期为　________　. 解析：f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1＝＋ sin 2x＋1 ＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋， ∴T＝π. 答案：π 9．(多空题)已知函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2 －1(ω＞0)的最小正周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2＝　__________　，f(x1＋x2)＝　________　. 解析：函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2 －1＝sin ωx＋cos ωx＝2sin. 由T＝＝π，可得ω＝2，∴f(x)＝2sin， ∵x∈，∴≤2x＋≤，∴－1≤f(x)≤2. 画出f(x)的图像(图略)，结合图像知x1＋x2＝， 则f(x1＋x2)＝f＝2sin＝2sin ＝1. 答案：　1 10．化简：(－π＜α＜0)． 解：原式＝ ＝ ＝＝. 因为－π＜α＜0，所以－＜＜0，所以sin ＜0， 所以原式＝＝cos α. 11．证明： ＝. 解：左边＝ ＝ ＝＝＝. 右边＝＝， 所以左边＝右边，即等式成立． 12．已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合． 解：(1)f(x)＝ · ＝cos2 x－sin2 x＝－ ＝cos 2x－， ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x ＝cos ， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)， 即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值. 此时x的集合为. 13．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数． (2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414) 解：(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ， 所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ. 所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ) ＝R2(2sin θcos θ－2sin2 θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ) ＝R2sin－R2，θ∈. (2)因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值． Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2)． 故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $