8.1.2 向量数量积的运算律-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

对应学生课时P35 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：B　[因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.] 2．已知a，b方向相同，且|a|＝3，|b|＝4，则|2a＋b|＝(　　) A．10 B．100 C．11 D．121 解析：A　[∵|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝36＋16＋48＝100，∴|2a＋b|＝10.] 3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4， ∴a·b＝1.] 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：A　[因为(－)·(＋－2)＝0， 即·(＋)＝0， 又因为－＝， 所以(－)·(＋)＝0， 即||＝||， 所以△ABC是等腰三角形．] 5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：B　[由题意知cos〈m，n〉＝＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.] 6．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析：ACD　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确．] 7．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是　________　. 解析：解析：∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， 设a与b的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： 8．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝　________　. 解析：正方形ABCD的边长为2， ·(＋)＝·(＋2)＝2＋2·＝4. 答案：4 9．(多空题)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为　________　，(a－b)·c＝　________　. 解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°. (a－b)·c＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3. 答案：120°　－3 10．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|. 解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－b|＝＝ ＝＝5. 11．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝. (1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|. 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝， ∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝； 又|a|＝1，∴|b|＝. 设〈a，b〉＝θ， ∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝，∴cos θ＝， ∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，∴|a－b|＝. 12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影数量． 解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝. (2)设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，∴cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影数量为|a|cos θ＝4×＝. 13．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围． 解：(1)因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1， 即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1， 所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120° ＞1. 所以k2－2k＞0，解得k＜0，或k＞2. 所以实数k的取值范围为{k|k＜0，或k＞2}． 学科网（北京）股份有限公司 $