8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 第2课时 向量的投影 课程标准 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义 2.理解投影的概念 课前⊙ [情境引入] 投影是构建高维和低维空间联系的桥梁，体现数 学本质 向量在直线1上的投影还是向量吗？ 提示：是向量 [知识梳理] [知识点一]投影的概念 (1)如图所示，设非零向量AB=a,过A,B分别作直 线L的垂线，垂足分别为A',B,则称向量A'B为 向量a在直线l上的投影向量或投影. A A B'I bAB'I 类似地，给定平面上的一个非零向量b,设b所在 的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量 b上的投影.如图中，向量a在向量b上的投影为 A'B.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投 影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有 可能相同，也有可能相反. (2)如图①②③所示. ①当(a,b)<5时，B的方向与b的方向相同，而且 A'B'|=lal cos(a,b); ②当(a,b)=时，A'B为零向量，即AB=0: ③当(a,b)>受时，A的方向与b的方向相反，而且 A'B'=-al cos(a,b). 《a,b) (a,b) (a,b) B'b A(B)6 A ① ③ ③ [知识点二]数量积的几何意义 一般地，如果a,b都是非零向量，则称acos(a,b) 为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与 投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负 数，也可能是负数 数学B 与向量数量积的几何意义 素养解读 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影， 重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 预习学案 对应学生用书P58 因为a·b=a|bcos(a,b)=acos(a,b)b|,所 以两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量 b上的投影的数量与b的模的乘积，这就是两个向 量数量积的几何意义. 特别地，当e为单位向量时，因为e=1,所以a·e =alcos(a,e), 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在 单位向量e上的投影的数量， 距思考b在a方向上的投影数量一定是正数吗？ 提示：b在a方向上的投影b|·cos0是个实数， 可以是正值，也可以是零或负值，因为它取决于 两向量夹角的大小 [预习自测] 1.设a·b=4,若a在b方向上的投影为2，且b在a 方向上的投影为1，则a与b的夹角等于() A B. c D.晋或 31 解析：B[,acos(a,b)=2,bcos(a,b)=1,a ·b=4=|ab cos(a,b), .a=4,b=2, cos(a,b)=a·b 41 Γab4X2=2, a,b>=号故选B] 2.已知|a=5,b在a上的投影数量为6，则b·a 解析：b·a=a·b·cos0=5×6=30. 答案：30 3.若a=3,b=5且(a,b)=45°，则a在b上的投 影的数量为 解析：由投影数量的概念知： 1a·cosa,b)=3Xcos45°=3y2 2 答案.3② 2 10 课堂 题型 向量数量积的几何意艾 [例1]已知a=5,b1=4,a与b的夹角0=120°. (1)求a·b: (2)求a在b上的投影的数量. [思路点拨利用投影的定义求解： [解](1)a·b=|a1bcos0=5×4×cos120°= -10; (2)a在b上的投影数量为a·cos0=a:b b 10=- 4 2 规律方法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数 量等于|acos(0为向量a,b的夹角)，即该投影 数量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向 量上的投影数量与该单位向量的模无关， ◇[变式训练] 1.已知向量a,b满足|b=2,a与b的夹角为60°，则 b在a方向上的投影数量是 解析：向量a,b的夹角0=60°， 故b在a方向上的投影的数量为|b|cos日= 2c0s60°=2X3=1. 答案：1 题型二】 与向量的模有关的问题 [例2]已知a=3,b=4,求a一b的取值范围， [思路点拨Ia1二Ib≤Ia±b1≤a十b. [解]：|a-b≤|a-b≤a+b, ∴.1≤|a-b≤7， 即a-b的取值范围是[1,7]. 规律方法 运用向量不等式|a一|b≤a一b≤a+b,注 意等号成立的条件。 ⊙[变式训练] 2.已知向量a,b满足a=4,a·b≥10，则|a一2b 的最小值是 ( A.1B.2C.3D.4 解析：A[设a,b的夹角为0， 因为a·b|=4b1|cos0≥10， 所以b≥8≥号， 10 ·11 第八章向量的数量积与三角恒等变换 互动学案 对应学生用书P59 由向量形式的三角不等式得， a-2b|≥|1a|-2|b1|=2|b|-41≥ 2号-4=1. 题型三 投影问题 [例3]如图，在△ABC中，AB=AC =4,∠BAC=90,D是边BC的中 点，求： D (1)AB在BD方向上的投影的数量； (2)BD的AB方向上的投影的数量 [思路点拨]注意a在b方向上的投影与b在a 方向上的投影的区别 [解]如图，连接AD,因为AB= AC=4,∠BAC=90°，所以∠ABC 是等腰直角三角形.又D是边BC B E 的中点，所以AD⊥BC,∠ABD= 45°，所以BD=2√2 延长AB到E,则AB与BD的夹角为∠DBE=180 -45°=135°. (1)AB在BD方向上的投影的数量为|AB|c0s135 =4× =-2√2. (2)BD在AB方向上的投影的数量为BD cos135 =22×- 2 -2 规律方法 求投影数量有两种方法 (1)b在a方向上的投影数量为b|cos0(0为a,b 的夹角)，a在b方向上的投影数量为acos0. 26在a方向上的投影数量为。a在b方向 上的投影数登为”后的 ⊙[变式训练] 3.已知a=8,b=4,a与b的夹角为120°，则向量 b在a方向上的投影数量为 ) A.4B.-4C.2D.-2 解析：D[向量b与a方向上的投影数量为bcos0 =4×c0s120°=-2.] 必修第三册 随堂。 1.已知a=6,b=3,a·b=-12,则向量a在向量 b方向上的投影数量是 () A.-4B.4C.-2D.2 解析：A[根据投影数量的定义，设a,b的夹角为 0,可得向量a在b方向上的投影数量是acos0= a:b=-4,故选A.] b 2.已知b|=4,a在b方向上的投影数量为2，则a·b 的值为 () A.7B.8C.9D.6 解析：B[设a与b的夹角为0， .lal cos 0=2, ∴.a·b=a|bcos0=4×2=8.] 3.已知a=6,|b=8,且〈a,b〉=60°，则b在a方向 上的投影数量为 解析：由投影数量的定义知 1b·cos0=8×cos60°=4. 课后 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.若a·c=b·c(c≠0)，则 ( A.a=b B.a≠b C.al=b D.a在c方向上的投影数量与b在c方向上的投影 数量必相等 解析：D[设a与c的夹角为01，b与c的夹角 为02， :a·c=b·c,∴.a·|clcos01=|bl·ccos02, 即acos01=bcos02,故选D.] 2.已知a=4,e为单位向量，a在e方向上的投影数 量为一2，则a与e的数量积为 ) A.8 B.-2 C.4 D.-4 解析：B[由数量积的几何意义知 a·e=el·a·cos0=1×(-2)=-2.] 3.已知b=2,a在b上的投影的数量为是，则a·b 的值为 A号 3 B. C.2 D安 解析：B[由数量积的几何意义知a·b=(acos(a ·b)-子×2-号] 4 ·11 数学B 步步夯实 对应学生用书P60 4.已知△ABC是边长为4的等边三角形，则AB在AC 上的投影数量为 解析：由题意AB|·cos(AB,AC)=4Xc0s60°=4 答案：2 5.已知a=6,e为单位向量，当它们之间的夹角0分 别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影 的数量. 解：a在e方向上的投影的数量为acos0. 当0=60°时，a在e方向上的投影的数量为acos60° =3； 当0=90°时，a在e方向上的投影的数量为acos90° 二0； 当0=120°时，a在e方向上的投影的数量为acos120° =-3. 素养提升 对应学生课时P33 4.已知向量a,b满足a=1,a⊥b,则向量a-2b在 向量a方向上的投影数量为 () A.1 R号 C.-1 D.2 7 解析：A[设0为向量a一2b与向量a的夹角， 则向量a一2b在向量a方向上的投影数量为 la-2b cos 0. 又c0s0= (a-2b)·a a2-2a·b la-26.a a-2b:a 1 a-2b, 故a-2bcos0=a-2b·a-2b=1.] 5.设非零向量a、b、c满足|a=|b|=|c,a+b=c, 则(a,b)等于 () A.150° B.120 C.60° D.30° 解析：B[,a+b=c,.|c|2=a+b|2=a2+2a· b+b2. 又a=|b=c,∴.2a·b=-b2, 即2a|bcos(a,b〉=-b|2. i.coa)=120.] 2 6.(多选题)下列说法正确的是 A.ab→a·b=0 B.向量b在a方向上投影数量为b·cos(a·b) C.数量积a·b的几何意义等于a的长度|a与b 在a方向上的投影数量b·cos0的乘积 D.在△ABC中，AB·CB<0,则△ABC的形状是 钝角三角形 解析：ABCD[由数量积的几何意义知A、B、C、D 都正确.] 7.已知b=3,a在b方向上的投影数量是号，则a· b= 解析：a·b=b·a·c0s0=3X号=-2. 答案：2 8.已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为4， 则b= 解析：设a与b的夹角为0，，a·b=16, .a·|b·cos0=16, 又.a在b方向上投影数量为4， .a·cos0=4,.b|=4. 答案：4 9.已知向量a,b的夹角为120°，且a=1,b=2,则向量 a一b在向量a十b方向上的投影是 解析：依题意得(a-b)·(a十b)=a2-b=-3,(a +b)2=a2+b2+2a·b=3,即a+b=√3，向量a 一b在向量a十b方向上的投影是(a-b)·(a十b) a-+b =3=-5. 3 答案：一√ 10.如图，在菱形ABDE中，其对 角线AD1=6,BD1=8.求： (1)AB·BC: (2)AC在AB上的投影的数量； (3)AB在BE上的投影的数量. 解：根据菱形的性质得|AB=5,BC=4,|AC =3, .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90. ∴as/BAC-6-号s∠ABC-器-专 ΓAB-5 (1)AB.BC-|AB·IBCl cos(元-∠ABC) =5×4X(-cos∠ABC) -20×(号)-16 ·1 第八章向量的数量积与三角恒等变换 (2)AC在AB上的投影的数量为|AC1·cos(AC, AB)=3Xcos∠BAC=3X3=9 5=5 (3)AB在BE上的投影的数量为AB|·cos〈AB, BE)=5Xcos(x-∠ABC)=-5cos∠ABC=-5 11.已知a=2|b=2,且向量a在向量b方向上的 投影数量为一1. (1)求a与b的夹角8； (2)求(a-2b)·b: (3)当入为何值时，向量a十b与向量a一3b互相 垂直？ 解：(1).a=2b=2, .a=2,b=1. 又a在b方向上的投影数量为acos0=-1, '.cos 3 (2)(a-2b)·b=a·b-2b=a|b|cos0-2b =-1-2=-3. (3),λa十b与a一3b互相垂直， ∴.（入a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b2 =4以+3x-1-3=7入-4=0，入=7 4 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，已知|AB|=5,|BC|=4,|AC1= 3,求： (1)AB·BC: (2)AC在AB方向上的投影数量： (3)AB在BC方向上的投影数量， 解：：|AB=5,|BC1=4,AC=3. .△ABC为直角三角形，且C=90° cosA-A6号cosB=%-号 (1)AB.BC=-BA.BC=-5X4X4=-16: 5 (2)AC·cos(AC,AB》= AC·AB 3X5×号 ABI 5 9 59 (3)|AB|·cos〈AB,BC)=BC:AB BC -BA·BC BC 5X4X道 三一4. 3 必修第三册 数学B 13.已知a=1,b=2,a与b的夹角为120°，求使a 当a十bb与ka+b同向时，设a+b=入(ka十b)(入 十b与ka十b的夹角为锐角的实数k的取值 >0). 范围. 由已知a,b不共线，可得入k=1,k=入， 解：(a+b)·(ka+b)=a2+(k+1)a·b+b2 解得k=入=1， =k+(k2+1)×2×c0s120°+4k 因此，实数k的取值范围是 =-k2+5k-1. 令-k十5k-1>0,解得5√②<6<5十2四 {k15=<<5+),且k≠1.} 2 2 2 2 8.1.2向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 抽象及数学运算素养的生成过程 课前。预习学案 对应学生用书P61 [情境引入] (a+b+c)2=a2+b 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权 (a+b+c)2=a2+b2+c +c2 2ab +2bc 利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习 +2a·b+2b·c+2c·a +2ca 生活环境…可见，世间事物往往要遵循一定的规律 和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘 2思考1.实数运算满足消去律，那么向量的数量 法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运 积运算是否也满足消去律？ 算律呢？ 提示：不满足.因为在向量数量积的运算中，若a 提示：a·b=b·a ·b=a·c(a≠0)，则表示向量c,b在向量a方 (λa)b=a·(λb)=λ(a·b) 向上的投影相等，并不能说明b=c. [知识梳理] 2.实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运 算是否也满足乘法结合律？ [知识点一] 平面向量数量积的运算律 提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即 运算律 向量数量积 (a·b)c不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c 交换律 a·b=b·a 表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个 结合律 (aa)·b=a·(b)=A(a·b) 与a共线的向量，而c与a不一定共线. [预习自测] (a+b)·c=a·c+b·c 分配律 1.已知非零向量a,b满足(a十b)⊥(a一b),则( (a-b)·c=a·c-b·c A.a=b B.al=bl [知识点二]平面向量数量积的运算性质 C.a⊥b D.a∥b 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向 解析：B[.(a+b)⊥(a-b),∴.(a+b)·(a-b) 量数量积的运算性质。 =0,.a2-|b12=0,.a=b.] 多项式乘法 向量数量积 2.已知a=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°，则 a-4b|= () (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 A.2 B.2√3C.6D.12 (a -b)2=a2-2ab+b (a-b)2=a2-2a·b+b 解析：B[:a-4b12=a2-8a·b+16b (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 =22-8×2×1×cos60°+16×12=12， ∴.a-4b=25.] ·114·