8.1.1 第1课时 两个向量的夹角、向量数量积的定义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

g=晋+2m,n∈Z.又g<受， 96 故所求画数的解折式为y=2in(2:+晋)一1 (2)把y=sinx的图像向左平移灭个单位，得到y=sin(x 十)的图像，然后将得到的图像上点的纵坐标保持不 变，横坐标缩短为原来的2，得到y=sin(2x十晋)的图 像；再将得到的图像上点的横坐标保持不变，纵坐标变为 原来的？，得到y=?sin(2z+名)的国像，最后把函教y =方m(2十骨)的图像句下平移1个单位，得到y司 1 sn2x+吾)-1的图像 变式训练 4AD=in(or+学一否)和函数y=cosr的因像重 合，可得学x-吾=受+2kx,k∈乙，则w=6k+2,k∈乙 2是w的一个可能值.] 第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角、向量数量积的定义 课前预习学案 情境引入 提示由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和 位移s这两个向量的某种运算结果， 知识梳理 知识点一、1.∠AOB2.同向反向a⊥b3.零向量 知识点二，a·b=al|bcos0 知识点三、(1)a·|b(2)a2√a·a0(3)a·b= (4)ab-ab 知识点五、l.b·a2.(a·b)a·(入b)3.a·c十b·c [思考] 1.提示：实数 2.提示：由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤090°，非零向量的数量积为正数 当=90°时，非零向量的数量积为零. 当90°<180°时，非零向量的数量积为负数. 3.提示：因为a·b=|a|bcos0,故由a·b>0可得cos> 0,又9∈[0，x,故9E[0,受)，即0为锐角或零度角. 4.提示：不一定成立.若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与 c方向不一定相同，故该等式不一定成立. 预习自测 1.B[m·n=9=4X6x号-12.反] 2.B[若c⊥a且c⊥b,则a·c=b·c=0,但a不一定等于 b,故充分性不成立；若a=b,则a·c=b·c,必要性成立， 故为必要不充分条件，故选择：B.] 3.(1)-3√2(2)±6(3)0 ·1 参考答案 课堂互动学案 [例1][解析]由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2+b2=0.则 a=b=0.故①正确；若a十b=0,则a=-b,又a,b,c是三 个非零向量.所以a·c=-b·c,所以a·c=|b·c|,② 正确：a,b共线台a·b=士abl,所以③错误： 对于④，应有ab≥a·b,所以④错误： 对于⑤，应该是a·a·a=a2a,所以⑤错误； 对于⑥，a2+b2≥2a|b≥2a·b,故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0,因此⑦错误； 对于⑧，bcos 0表示向量b在向量a方向上的投影的数 量，而非射影长，故⑧错误. 综上可知①②⑥正确. [答案]①②⑥ 变式训练 1.解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b=0,故①不 正确： 当a=0,b⊥c时，a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故② 不正确： 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b) =0,故④正确. 答案：④ [例2][解](1)a·b=|a|bcos9 =6×8Xcos135°=-24√2. (2)(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b =2a2-(-24√2)-|b2 =2×62+24√2-82 =8+24√2. 变式训练 2.解析：如图，D为BC中点， .20A+AB+AC=0, ∴.20A+2AD=0, D(O AD=-OA,∴.AD=AO O与D重合，∴BC为圆的直径。 :1OA=ABl=1,BC=2,∴.AC=3,∴∠ACB= Ci.C3=|CA1.1C·os∠ACB=5·2.5=3. 2 答案：3 [例3][解析](1)设a与b的夹角为0， a·b -60 1 则cos0=a.1b=10X12=-2’ .∴.0=120°. (2)由题意，知a·b=|a|bcos0=4cos0=2, 即0s0=合，又0C0≤，所以0=号 3 [答案](1)B(2)C 变式训练 3.B[:cos0=a·b -54 1ab-9x62 2 .0°≤0≤180°， .∴.0=135°.] [例4][解](1)AB与AC的夹角为60. A店.A元-A1Acas60=1X1x2-7 必修第三册 (2):BC与AC的夹角为60°， ∴nd.Ad-AGIos60=1X1×2-合 变式训练 4.解析：由题意，得|AB=4,BC1=4,CA=4√2， 所以AB·BC=4X4Xcos90°=0，BC·CA=4X4V2× cos135°=-16，CA·AB=4√2×4×cos135°=-16. 答案：0-16-16 随堂步步夯实 1.A[向量-a与-b的夹角和a与b的夹角相等， 为60°.] 2.A[a·h=2X2Xam至=2E,故连A.] 3.解析：易知AB2=1BC2+1CA2, C=90°.cosB=3 :'.cos(AB,BC)=cos(180-B) =-cos B--13 AB.BC=1AB1·1BC1cos(180°-B)=13×5× ()-25. 答案：-25 4.解：(1)a∥b,若a与b同向，则9=0°，所以a·b=a|b ·c0s0°=4×5×1=20： 若a与b反向，则0=180°，所以a·b=a·bcos180 =4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时，0=90°， 所以a·b=|a|bcos90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b=a bcos30°=4×5 ×9-105 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 课前预习学案 情境引入 提示：是向量」 知识梳理 知识点一、(1)向量A'B(2)相同|acos(a,b)0相反 -alcos(a,b) 知识点二、acos(a,b)数量非负数负数acos(a, b》a在向量b上的投影的数量 [思考] 提示：b在a方向上的投影|b|·cos0是个实数，可以是 正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的 大小. 预习自测 1.B ['lal cos<a,b)=2,b|cos(a,b)=1,a.b=4=lall bcos(a,b〉， ∴.a=4,b=2, cos(a,b)=a·b 41 |ab4×22, a,b=答，故选B.] 2.解析：b·a=a·b·cos0=5×6=30. 答案：30 ·1 数学B 3.解析：由投影数量的概念知： 1a·cos(a,b)=3Xcos45°=3y2 2 答案.32 2 课堂互动学案 [例1][解](1)a·b=a|bcos9=5×4×cos120°= -10: (2)a在b上的授影数量为a·cos0=a:b=10 b 4 5 一2 变式训练 1.解析：向量a,b的夹角0=60°， 故b在a方向上的投影的数量为|bcos0=2cos60°=2X 含1 答案：1 [例2][解].|a-|b1|≤|a-b≤a+|b, .1≤a-b≤7， 即a-b的取值范围是[1,7]. 变式训练 2.A[设a,b的夹角为0， 因为a·b|=4b|cos01≥10， 所以≥R>号 由向量形式的三角不等式得， 1a-2b1≥a-21b11=121b-41≥2.号-4=1.] [例3][解]如图，连接AD,因为AB =AC=4,∠BAC=90°，所以∠ABC 是等腰直角三角形.又D是边BC的 中，点，所以AD⊥BC,∠ABD=45,所 B 以BD=22. 延长AB到E,则AB与BD的夹角为∠DBE=180°-45 =135° (1)AB在BD方向上的投影的数量为|AB|c0s135°=4× =-22 (2)BD在AB方向上的投影的数量为|BD1cos135°=2√2 ×(-2 变式训练 3.D[向量b与a方向上的投影数量为|bcos0=4Xcos 120°=-2.] 随堂步步夯实 1.A[根据投影数量的定义，设a,b的夹角为0，可得向量 a在b方向上的投影数量是acos0=a:P=一4，故 b 选A.] 2.B[设a与b的夹角为0， '.al cos 0=2, ,∴.a·b=a|bcos0=4×2=8.] 3.解析：由投影数量的定义知 b|·cos0=8×cos60°=4.必修第三册 数学B 第Π章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角、向量数量积的定义 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 通过学习向量的数量 2.体会平面向量数量积与投影向量的关系 积，重点提升学生的数 3.会进行平面向量数量积的运算 学运算，逻辑推理，数学 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]两个向量数量积的定义 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我 感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激.要用物理原理 们把数量|alb cos叫作a与b的数量积（或 来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功，这种现 内积)，记作a·b,即 象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. 似的运算应用.那么它们遵循什么规律呢？ ?思考1.向量的线性运算的结果是一个向量，向量 的数量积运算呢？ [知识点三]向量数量积的性质 问题力对物体做功，由哪些量来确定？ 设a,b是非零向量，它们的夹角为0，则 (1)|a·b≤ ； (2)a·a= ,即|a= 一般地，a·a可以简写为a2,因此上述性质(2)也 可改写为a2=a2. [知识梳理] 为了方便起见，当a与b至少有一个零向量时，称 [知识点一]向量的夹角 它们的数量积（即内积）为0，即a·b= 1.已知两个非零向量a和b,如 B (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a b 图，作OA=a,OB=b,则0= 01 b (0°≤0≤180°)称为向量 (4)当a与b同向时，a·b= a与b的夹角. 当a与b反向时，a·b= 2.当0=0°时.a与b;当0=180时，a与b 2思考2.非零向量的数量积是否可为正数，负数 ;当0=90°.a与b垂直，记作 和零，其数量积的符号由什么来决定？ 3.由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定 可与任一向量垂直，即对于任意的向量a,都 有0上a. 56· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 3.由a·b>0是否可以得到向量a,b的夹角0为 [预习自测] 锐角？ 1.若m=4,n=6,m与n的夹角0为45°，则m·n 三 ( A.12 B.12√2 C.-12√2D.-12 [知识点五]向量的数量积的运算律 2.(2021·浙江卷，3)已知非零向量a,b,c,则“a·c= 1.a·b= (交换律)； b·c”是“a=b”的 () 2.(λa)·b (结合律)； A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.(a+b)·c= (分配律) C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?思考4.对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c) 3.已知a,b的夹角为0，a=2,|b=3. (1)若0=135°，则a·b= 一定成立吗？ (2)若a∥b,则a·b= (3)若a⊥b,则a·b= 课堂。互动学案 题型一 数量积的基本概念 [思路点拨了“利用向量数量积的定义和运算律计 [例1]下列判断： 算。 ①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个 非零向量，若a+b=0,则|a·c|=|b·c;③a,b 共线台a·b=ab;④a|b<a·b;⑤a·a·a =a3;⑥a2十b2≥2a·b;⑦非零向量a·b满足：a ·b>0,则a与b的夹角为锐角：⑧若a,b的夹角 为6，则|bcos0表示向量b在向量a方向上的射 影长.其中正确的是 (填序号). [思路点拔依据数量积的概念逐二判断。 规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键 规律方法 是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹 运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等， 角0,0∈[0，π]；②分别求a和b;③求数量积， 当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数 即a·b=alblcos6. 量积的性质等. (2)当求向量的数量积时，先利用向量数量积的运 ◇[变式训练] 算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算 1.给出下列结论： ⊙[变式训练] ①若a≠0，a·b=0,则b=0:②若a·b=b·c,则 2.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2OA+AB十 a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a· AC=0,1OA|=|AB|,则CA·CB的值 b)]=0.其中正确结论的序号是 是 题型三】 数量积运算 题型 向量的夹角 [例2]已知a=6,b|=8,a与b的夹角为0= [例3](1)已知向量|a=10,b|=12,且a·b= 135°，求： -60,则向量a与b的夹角为 (1)a·b: A.60 B.120° (2)(2a+b)·(a-b. C.135 D.150 ·57· 必修第三册 数学B (2)已知向量a,b满足a=1,b=4,且a·b=2, 题型四 几何图形中数量积的计算 则a与b的夹角0= [例4幻已知正三角形ABC的边长为1，求： A君 B. (1)AB.AC:(2)BC.AC. c晋 n号 [思路点拔]正确区分向量的夹角与三角形内角 的异同 思路点拨]求向量的夹角的关键是计算a·b 及ab|,在此基础上结合数量积的定义或性质 计算cos0= ab,最后借助0e[0,x],求出d a·b 值. 规律方法 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使 规律方法 两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b 作二证三算”的步骤求出. =albl cos 0. (2)特别地，a与b的夹角为0，入1a与入2b(入1，入2是 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 非零常数)的夹角为0。，当入入2<0时，6，=180° 角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过 0;当入1入2>0时，0。=0. 平移使两向量符合以上条件 ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 3.已知a=9,|b|=6√2，a·b=一54，则a与b的 4.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4,则AB· 夹角0为 BC- BC.CA= ,CA·AB= A.45° B.135 C.120° D.150 随堂。步步夯实 1.若向量a与b的夹角为60°，则向量一a与一b的夹 4.已知a=4,b=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与 角是 b的夹角为30时，分别求a与b的数量积. A.60 B.120° C.30° D.150 2.已知a=2,b=2,a与b的夹角为牙，则a·b= A.2√2B.2 C.2 D.√3 3.在△ABC中，|AB=13,|BC1=5,1CA|=12,则 ©温馨提 AB·BC的值是 学习至此，请完成配套训练 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义 课程标准 素养解读 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影， 2.理解投影的概念 重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 向量在直线（上的投影还是向量吗？ 投影是构建高维和低维空间联系的桥梁，体现数 学本质 58·