7.4 数学建模活动 周期现象的描述（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 规律方法 ◇[变式训练] (1)方程y=sinx=a,a≤1的解集可写为{xx 4.(1)已知sinx= ，求x的值 =2kπ十arcsin a,或(2k+1)x-arcsin a,k∈ (2)已知tana=-2,a∈(0,2π)，求a的值. Z},也可化简为{xx=bπ十（-1)arcsin a,k ∈Z. (2)方程cosx=a,a≤1的解集可写成{xx 2kr±arccos a,k∈Z}. (3)方程tanx=a,a∈R的解集为{xx=kr十 arctan a,k∈Z}. ● 随堂。步步夯实 1.下列叙述错误的是 ( 5.已知血号=且公是第二象限的角求角e A.arctan y表示一 个（受，）内的角 B.若x=arcsin y,y≤1，则sinx=y C.若tan 登=y,则x=2 aretany D.arcsin y,arccos y中的y∈[-l,l] 2已知血ex+)-号x∈（受）则x的 值为 A至 B.- C一或 D.-或 C温馨提污 4.已知tanx= ,且x∈(0,2)，则x 1 学习至此，请完成配套训练 7.4 数学建摸活动：周期现象的描述 课程标准 素养解读 1.会用三角函数解决简单的实际问题 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 时间 0 136 8912151821 24 温州市区著名景点—江心 水深 66.257.552.842.557.552.55 屿，江心屿上面有座寺庙一一江心 寺，在江心寺中题了一副非常知名 [问题]仔细观察表中的数据，你能从中得到一些什 的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝 么信息？ 朝朝散；下联是：潮长长长长长 江心屿 长长长消，该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江 潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年 某个季节每天的时间与水深的关系表： ·49· 必修第三册 数学B [知识梳理] (3)音叉发出的纯音振动模型 [知识点一]三角函数的应用 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y= 1.三角函数模型的作用 Asin wx,其中x表示时间，y表示纯音振动时音 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数 学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化 规律、预测未来等方面发挥重要作用： 又的位移，兴表示纯音振动的颜率（对应音高）。 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤 A表示纯音振动的振幅（对应音强） 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数 (4)交变电流模型 模型→检验. 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(aa十p), [知识点二]函数y=Asin(wx+p),A>0,w>0中 参数的物理意艾 其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流， 振幅是 是相位 会表示颜率9表示初相位。 周期T y=Asin(an+), A>0,m>0 [预习自测] 当x=0时的相 位 称为初相 1.弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过路程是 频率f= 32cm,由此可知该振子振动的 ?思考在建模过程中，散点图的作用是什么？ A.频率为1.5Hz B.周期为1.5s C.周期为6s D.频率为6Hz 2.如图是一向右传播的绳波在某 [知识点三]四类周期现象模型 一时刻绳子上各点的位置图，经 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(wa十g)(x∈[0，十o∞)， 过2周期后，乙的位置将移至 A>0,w0),来表示. ( (2)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y A.x轴上 B.最低点 =Asin(w十p),其中x表示时间，y表示位移，A C.最高点 D.不确定 表示振幅，一表示频率，9表示初相位 3.函数y=3sim(2x-)的初相为 1 课堂。互动学案 题型一 由模型菌像解决问题 规律方法 [例1]已知电流I与时间t的 1.已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像 关系为I=Asin(wt+p). 300 确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A, 180 (1)如图所示的是I=Asin(wt 10 ω，p,同时在解题中注意各个参数的取值范围. 900 -300 +)>0<)在 2.处理物理学问题的策略 个 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械 周期内的图像，根据图中数据求I=Asin(wt十p)的 波等，其共同的特点是具有周期性。 解析式； (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如 (2)如果：在任意一段的时间内，电流1= 频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对 应的三角函数知识结合解题. Asin(wt十p)都能取得最大值和最小值，那么w的 ◇[变式训练] 最小正整数值是多少？ 1.如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线可以 [思路点拔]根据图像写出解析式，然后求最值， 近似看作函数y=Asin(awt十o)十b的部分图像，其 中A>0,0<<元 /℃ 30 20 10 10 14t/h ·50· 第七章三角函数 (1)求这一天的最大温度差； (1)开始时的电压； (2)写出这段曲线的函数解析式， (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的 时间。 题型二 由模型解析式解决问题 [例2]一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小 题型三 确定模型解决问题 球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单 [例3]下表是某地某年月平均气温（华氏）： 位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s 月份 1 2 3 5 6 6sin(2x+若)】 平均气温 21.426.036.048.859.1 68.6 (1)画出它的图像； (2)回答以下问题： 月份 7 8 9 10 11 12 ①小球开始摆动（即t=0)时，离开平衡位置是 平均气温 73.071.964.753.539.827.7 多少？ 以月份为x轴(x=月份一1)，以平均气温为y轴. ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据： ③小球来回摆一次需要多少时间？ (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; [思路点拔]根据图像研究物体的交化规律 (3)下面三个函数模型中。哪一个最适合这些 数据？ =c0s6 x A ③y地=cos号 -A 汇思路点拨]画出散点图，进行函数拟合，选择正 确的模型求解。 规律方法 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型 函数y=Asin(wz十p)(w>0)来表示运动的位移 y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离 开平衡位置的最大位移； (2)T=2匹称为筒谐运动的周期，它表示物体往复 运动一次所需的时间； (3③)f=子一会称为筒谐运动的频率，它表示单位 时间内物体往复运动的次数 ◇[变式训练] 2.交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关 系可用E=2205sin10+君)来表示，求： ·51· 必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 1.根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散 3.某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12h20min, 点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然 低潮时人口处水的深度为2.8m,高潮时为8.4m, 后利用这个模型解决实际问题. 已知一次高潮发生在10月3日2：00. 2.解三角函数应用问题的基本步骤 (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个 读懂题目中的“文字”“图像”“符号” 三角函数模型来近似描述这个港口人口处的水深 审清题意→ 等语言，理解所反映的实际问题的 d(m)和时间t(h)之间的函数关系； 背景，得出相应的数学问题 (2)求出10月4日15：00人口处水的深度. 整理数据，引入变量，找出变化规律， 建立函数 运用已掌握的三角函数知识、物理 模型 知识及其他相关知识建立关系式，即 建立三角函数模型 解答函数 利用所学的三角函数知识解答得到 模型 的三角函数模型，求得结果 得出结论→将所得结论翻译成实际问题的答案 随堂。步步夯实 1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近 Aw-若A=3 B一装A=8 似满足函数y=3sin(否x十g)十6，据此函数可知， C.A-5 D.w=22A=6 .15 这段时间水深（单位：m)的最大值为 y水深/m 4.己知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式 为y=Asin(awt十g)(A>0,w>0),若已知此振子的 振幅为3，周期为牙，初相为，则这个函数的解析 时间h 式为 A.5 B.6 C.8D.10 5.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲 2.弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平 线接近函数y=Asin(awx十p)十b的图像.某年2月 衡位置的位移(cem满足函数关系式=2n(1+平， 下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最 高温度为14℃：最低温度出现在凌晨2时，最低温 给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 度为零下2℃. √2cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方 (1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(aa十p)十 2cm处：③经过2πs小球重复振动一次，其中正确 b(A>0,w>0,o<元，x∈[0,24)的表达式； 的说法是 (2)29日上午9时某高中将举行期未考试，如果温 A.①② B.②③ 度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤 C.①③ D.①②③ 应该开空调吗？ 3.如图是一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面 2m,已知水轮1min旋转4圈，水轮上的点P到水 面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y= Asin(wz十9)+2，则有 ( ·52·必修第三册 变式训练 3.A[由题唐得am+1之0即-1≤am<1,在 1-tan x>0, （受，受)内，满足上述不等式的x的取值范国是 [一牙，）又y=m上的网期为元，所以所求画数的定 义城为[kx-至x+)k∈Z] [例4][解]由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosa= -可知，在[0，x]内符合条件的角有且只有一个 5 arccos( ）e0.. cos a= ..arccos 号)[] arecos(吉）警 即x<2π-arccos )警 由于cos(2π一 a)=cos a=- 1 .a=2r 变式训练 4解：：x[受，]时smx= arcsin3. 当xR时=arcsin子+2x或=-acsn号+2kx, k∈Z. (2设c(受受）且1amA=-2, .'.B=arctan(-2), ∴a=B+kx=arctan(-2)+kx,k∈Z, 又a∈(0,2x), ∴a=arctan(-2)+x或arctant(-2)+2x 随堂步步夯实 1.c 2B[由题意得，2x+至-要+2x或2r十票-还+2， 44 k∈Z, 解得=受十标或1=要+x,kE乙。 又：（登）=年] 解折：在02x)内，-m9 一吾-要+2x或音-要+266ez x=g+2x或x=号+2k,∈乙， 又k(一=-要 答案：一行或君 ·10 数学B 4.解析：anx=子r∈(0，x)时，z=-aretan-子 1 所以x∈(r,2x)时，x=π十arctan 答案：aretan-2或x十arctan-方 1 5.解：，a是第二象限的角， “受是第一或第三象限的角。 “n号号<0号是第三象限的角， 在[0,2x]内找到满足条件的受， “在[0,2]内满足条件的角号=x+音= 所以满足条件的受=2x+号(k∈ZD, 即a=4x+(∈z. 7.4数学建模活动：周期现象的描述 课前预习学案 情境引入 提示水深随时间的变化呈周期性变化. 知识梳理 知识点二、A 2πw w 2元 wx十pg [思考] 提示：利用散，点图可以较为直观地分析两个变量之间的 某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟 合这些散，点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不 必要的失误。 预习自测 1.B[振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易 知在6s内振动了4个周期，所以T=1.5s.] 2.C[相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移 至最高点.] 3.-晋 课堂互动学案 [例1][解](1)由题图可知A=300, 设t1= 900t红=180 则月期T=21:-1)=2(0+0)元 w等=160 又当1=0时，1=0， 即sin(150元·180+9）=0， 故所求的解折式为1=30sin1501+吾). (8依短含知，周有T≤高即经≤高。>0， ∴.w≥300π>942，又w∈N+, 故所求最小正整数w=943. 8 变式训练 1.解析：(1)由题图可知，这段时间的最大温度差是20℃ (2)从题图中可看出，6~14时的图像是函数的半个周期 的图像 由y=Asin(wt+p)+b, 得A=30-10 10,6=30+10=20. 2 2 3语=4-6. a=君 将t=6,y=10代入 y=10sin(+)+20, 解得g=平 综上，这段曲线的函数解析式为 y=10sin（g1+)+20,t[6,141. 4 [例2】[解]1用期T- =1(s). 列表. 1 11 t 0 6 12 3 12 2 2计晋 个 3π 6 2π 2x+ 6 6sin(2m+若) 3 6 0 -6 0 3 作图，如图所示 1 0 /11 6 12 12 -6 (2)①小球开始摆动（即t=0)时，离开平衡位置为3cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm. ③小球来回摆动一次需要1s(即周期). 变式训练 2.解：(1)当t=0时，E=220√3sinT=110√3（伏）， 6 即开始时的电压为110√3伏. (2)电压的最大值为220√5伏， 当100对十晋=受，即1=秒时第一次获得这个最 大值」 [例3][解](1)如图. 60 5 40 3 20H 10 01234567891011x (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故召=7-1=6，所以T=12, 2 ·10 参考答案 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A=73. 0-21.4=51.6,所以A=25.8. (3)因为x=月份一1， 所以不妨取x=2-1=1,y=26.0. 代入①得片-签号1≠s音故D不进合 代入②得16-26,0.46<0≠c0s吾，故@不造合。 A 25.8 所以应选③. 变式训练 3.解析：(1)设此三角函数模型是d=Asin(t十p)十b(t≥ 0),根据题意可知周期T=(h). 3 -7Ad-8128=28,6= 所以ω=下 2 2 d+dm-8.4+2.8=5.6. 2 2 所以d=2.8sin(十g)+5.6(t≥0)，又因为当t=2时， 371 d取得录大值，所以2,8sn(号+9+5.6=8.4， 13π 所以可取9=74 所以d=2.8sin( +7）+5.6≥0 37 (2)10月4日15：00相当于t=39,此时入口处水的深度d =2.8sin(7×39+票)+5.6=8.4米). 74 随堂步步夯实 1.C[根据图像得函数的最小值为2， 有-3十k=2,k=5,最大值为3十k=8.] 2.D[当1=0时，s=2sin(0十)=区，故①正确：nmin=- 2,故②正确：函数的最小正周期T=2π，故③正确.] 3.A[由题目可知y的最大值为5，所以5=A×1十2，得A 2r] =3,由于T=15,所以w= 4.解析：依题意，A=3,w= -79=吾心画数解析式为) 2π 7 =3sin(7t+灭)，t∈[0，+oo). 6 答案：0y=3sin(7i+),1∈[0，+o∞) 5解，的整意产。2，解号什。 1b=6, 号=14一2，所以T=24,所以w=, 易知 易知8sin(号×2+9)+6=-2， 即sin(径×2+9)=-1. 故5X2+g-+2xk∈ 又g<,得9=一2红 31 所以y=8sin(倍-）+6(x∈[0,24》. 2)当x=9时w=8sin(位×9-)十6 =8sin+6<8sin+6=10. 所以届时学校后勤应该开空调. 9