7.4 数学建模活动：周期现象的描述 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相位为，则函数f(x)＝(　　) A．sin (＋) B．sin (－) C.sin (3x－) D．sin (3x＋) 解析：选D.由最小正周期为，排除A，B；由初相位为，排除C.故选D. 2. 已知单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为S(t)＝3sin (t＋)，则单摆来回摆动的振幅和摆动一次所需的时间分别为(　　) A.3 cm，4 s B．－3 cm，4 s C.3 cm，2 s D．－3 cm，2 s 解析：选A.由题得单摆来回摆动的振幅为3 cm和一次所需的时间为T＝＝4 s．故选A. 3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin (2t＋)，s2＝5cos (2t－).则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A.s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．s1≥s2 解析：选C.当t＝时，s1＝5sin (2×＋)＝－5，s2＝5cos (2×－)＝－5，所以s1＝s2. 4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列时间段内车流量逐渐增加的是(　　) A.[0，5] B．[5，10] C.[10，15] D．[15，20] 解析：选C.由函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，因为[10，15]⊆[3π，5π].故选C. 5．(多选)(2025·北京月考)如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图2，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m．最低点Q距离地平面10 m．入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，下列结论正确的是(　　) A.函数h(t)的最小正周期为12 B.φ＝ C.当t＝14 s时，过山车距离地平面40 m D.一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s 解析：选ACD.由题意可知， 最小正周期T满足＝10－4＝6， 得T＝12， 所以＝12，得ω＝， 又解得 所以h(t)＝20sin (t＋φ)＋30， 又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20， 得sin φ＝－，因为|φ|<， 所以φ＝－，所以h(t)＝20sin (t－)＋30. 对于A，T＝12，A正确；对于B，φ＝－，B错误； 对于C，h(14)＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，C正确； 对于D，由h(t)<20， 得20sin (t－)＋30<20， 即sin (t－)<－， ＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z，解得8＋12k<t<12＋12k，k∈Z， 所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－(8＋12k)＝4 s，D正确． 6．振动量y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相位和频率分别为－π和，则它的相位是 ． 解析：因为T＝，所以ω＝3π，初相位为－π，所以相位为3πx－π. 答案：3πx－π 7．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线是y＝2cos 3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ＝ ． 解析：由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即A＝2，ω＝3， 即y＝2sin (3x＋φ)，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝－2cos 3x， 即φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0≤φ<2π，所以令k＝0，即φ＝. 答案： 8．如图，摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5 min后，他距离地面的高度为 _________m 解析：因为摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m，设在t min时，距离地面的高度为h＝60＋50sin (ωt＋φ)，其中－π＜φ＜π，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，可得＝15，所以ω＝， 即h＝60＋50sin (t＋φ)， 当t＝0时，可得60＋50sin φ＝10， 即sin φ＝－1，解得φ＝－， 所以h＝60＋50sin (t－)＝60－50cos t， 令t＝5，可得h＝60－50cos (×5)＝60＋25＝85. 答案：85 9．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋B(A>0，B>0，0<ω<)，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A.ω＝ B.当天下午3：00温度最高 C.温度为28 ℃是当天晚上7：00 D.从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ 解析：选ABD.当 t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18， 所以所以A正确． f(t)＝6sin t＋25，令t＝即t＝6时f(t)取得最大值，t＝6对应当天下午3：00，B正确． f(t)＝28，解得t＝2或t＝10，即为当天上午11：00或当天晚上7：00，C错误． 令f(t)≤22，即6sin t＋25≤22， 解得－＋2kπ≤t≤－＋2kπ，k∈Z， 即－10＋24k≤t≤－2＋24k，k∈Z. 当k＝1时，14≤t≤22，即从当天晚上23：00到第二天清晨7：00 温度都不高于22 ℃，D正确．故选ABD. 10．(15分)某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃ )随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A＞0，ω＞0)关系． (1)求y＝f(t)的解析式；(7分) (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在这一天内开启的时长．(8分) 解：(1)因为f(t)的图象上最低点坐标为(2，－4)，与之相邻的最高点坐标为 (14，12)， 所以＝14－2＝12， 即所以T＝＝24，解得ω＝. 所以f(t)＝8sin (t－)＋4，0≤t≤24. (2)由(1)得，8sin (t－)＋4＜0， 所以sin (t－)＜－， 所以＋2kπ＜t－＜＋2kπ，k∈Z. 解得22＋24k＜t＜30＋24k，k∈Z， 因为0≤t≤24， 所以0≤t＜6，22＜t≤24. 所以该商场的中央空调在这一天内开启的时长为8 h． 11．(15分)(2025·沈阳期中)某地区的一种特色水果上市的11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨趋势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数： ①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝A sin ＋B(以上三式中p，q，A，B均为常数). (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(5分) (2)若f(3)＝8，f(7)＝4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份，……，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？(10分) 解：(1)应选f(x)＝A sin (x－)＋B， 因为①f(x)＝p·qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点； ②f(x)＝px2＋qx＋1同样不具有先升后降再升的特点； ③f(x)＝A sin ＋B有多个单调递增区间和单调递减区间，具有先升后降再升的特点． (2)由f(3)＝A sin ＋B ＝A sin ＋B＝A＋B＝8，① f(7)＝A sin ＋B＝A sin ＋B＝－A＋B＝4，② 由①②解得A＝2，B＝6， 所以f(x)＝2sin ＋6(x∈[0，10])， 所以x－∈， 当f(x)<5时，需采用外销策略， 则此时2sin ＋6<5， 即sin <－， 又x－∈， 由函数y＝sin x，x∈， 且sin x<－， 得－≤x<－或＋π<x<＋π， 即－≤x－<－或＋π<x－<＋π， 即0≤x<或<x<， 又x＝0表示1月份， 故应在1月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略． 学科网（北京）股份有限公司 $