7.4 数学建模活动 周期现象的描述（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 7.4数学建模活动 课程标准 1.会用三角函数解决简单的实际问题 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 课前 [情境引入] 温州市区著名景点 江心屿，江心屿上面有座寺庙 一江心寺，在江心寺中题了 一副非常知名的对联.上联 是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散； 下联是：潮长长长长长长 江心屿 长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水 涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个 季节每天的时间与水深的关系表： 时间0136891215182124 水深66.257.552.842.557.552.55 [问题] 仔细观察表中的数据，你能从中得到一些什 么信息？ 提示水深随时间的变化呈周期性变化. [知识梳理] [知识点一]三角函数的应用 1.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数 学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化 规律、预测未来等方面发挥重要作用. 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数 模型→检验. [知识点二]函数y=Asin(awx十g),A>0,w>0中 参数的物理意义 振幅是A: [r十是相位 周期T=2 y =Asin(a+) A>0,w>0 当x=0时的相 位©称为初相 率f==云 ?思考在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量 之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合 适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择 函数模型而造成的不必要的失误， ·96 数学B :周期现象的描述 素养解读 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提 升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 预习学案 对应学生用书P49 [知识点三]四类周期现象模型 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(au十p)(.x∈[0，十o∞)， A>0,w0),来表示. (2)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y =Asin(.z十p),其中x表示时间，y表示位移，A 表示振幅，云表示频率：9表示初相位。 (3)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y= Asin wx,其中x表示时间，y表示纯音振动时音 又的位移，只表示纯音振动的频率（对应音高）， A表示纯音振动的振幅（对应音强）. (4)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(x十p), 其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流， 表示频率，9表示初相位. 2π [预习自测] 1.弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过路程是 32cm,由此可知该振子振动的 ( A.频率为1.5Hz B.周期为1.5s C.周期为6s D.频率为6Hz 解析：B[振幅为2cm,振子在一个周期内通过的 路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期，所以T =1.5s.] 2.如图是一向右传播的绳波在某 一时刻绳子上各点的位置图，经 过号周期后，乙的位置将移至 A.x轴上 B最低点 C.最高点 D.不确定 解析：C[相邻的最大值与最小值之间间隔半个周 期，故乙移至最高点.] 3.函数y=3sin(宁一吾)的初相为 答案：一君 课堂 题型一 由模型图像解决问题 [例1] 已知电流I与时间t的 关系为I=Asin(awt+p). 300 180 (1)如图所示的是I=Asin(awt 1■0 900-300 +)(。>0.g<受)在 一个 周期内的图像，根据图中数据求I=Asin(awt十o)的 解析式； (2)如果t在任意一段0的时间内，电流1= Asin(wt十o)都能取得最大值和最小值，那么w的 最小正整数值是多少？ 汇思路点拨]根据图像写出解析式，然后求最值. [解](1)由题图可知A=300,设1= 1 900:t2 1 1801 则周期T=24,-4)=2(品+) w-=150元 又当=10时，1=0， 1 即sin(150r·180+p)=0, 而<受…9= 故所求的解桥式为1=300sin(150m1+答). (2)依题意知，周期T≤中石≤ 'w150(w>0), ∴.w≥300π>942，又aω∈N+, 故所求最小正整数ω=943. 规律方法 1.已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像 确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A, ω，9，同时在解题中注意各个参数的取值范围. 2.处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械 波等，其共同的特点是具有周期性 (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如 频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对 应的三角函数知识结合解题. 9 第七章三角函数 互动学案 对应学生用书P50 ⊙[变式训练] 1.如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线可以 近似看作函数y=Asin(awt十p)十b的部分图像，其 中A>0,0<0<元. ↑y/℃ 30- 9 10 06 1014h (1)求这一天的最大温度差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解析：(1)由题图可知，这段时间的最大温度差 是20℃. (2)从题图中可看出，6~14时的图像是函数的半 个周期的图像 由y=Asin(wt+p)+b, 得A=30,10=10,b=30十10=20. 2 2 7·g=146 w= 将t=6,y=10代入 y=10sdng4+9)+20, 解得=3如 Γ41 综上，这段曲线的函数解析式为 y=10sin(管1+平)+20.1[6,141. 题型二 由模型解析式解决问题 [例2]一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小 球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移（单 位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s= 6sin（2a+) (1)画出它的图像； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动（即t=0)时，离开平衡位置是 多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆一次需要多少时间？ 汇思路点拨了根据图像研究物体的变化规律. 必修第三册 [解] (1)周期T 2x=1(s. 2 列表. 5 11 t 0 6 12 12 1 2t+晋 3π 6 2 2π 2x+晋 3 6 0 -6 0 3 作图，如图所示. 0 -3 -6 (2)①小球开始摆动（即t=0)时，离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm. ③小球来回摆动一次需要1s(即周期). 规律方法。 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型 函数y=Asin(ωx十p)(w>0)来表示运动的位移 y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离 开平衡位置的最大位移； (2)T=2匹称为简谐运动的周期，它表示物体往复 运动一次所需的时间； 1 (3)f一于=云称为简谐运动的频率，它表示单位 时间内物体往复运动的次数」 ◇[变式训练] 2.交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关 系可用E=220V5sin(100t+石)来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的 时间. 解：(1)当1=0时，E=2205sin若=1105（伏）， 即开始时的电压为110√3伏. ·9 数学B (2)电压的最大值为220√3伏， 当100+吾-受：即1=0秒时第一次获得这个 最大值。 题型目 确定模型解决问题 [例3] 下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 2 3 4 5 6 平均气温 21.426.036.048.859.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.8 27.7 以月份为x轴(x=月份一1)，以平均气温为y轴。 (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (3)下面三个函数模型中。哪一个最适合这些 数据？ A =c0s ③y4 -A =c0s 汇思路点拔]画出散点图，进行函数拟合，选择正 确的模型求解。 [解](1)如图. 80 0 10 01234567891011x (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份 73.0, 故写=7-1=6，所以T=12, 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A =73.0-21.4=51.6,所以A=25.8. (3)因为x=月份一1， 所以不妨取x=2-1=1,y=26.0. 代入D得齐-器：g>1≠o0吾故不造合 代入②得40_26,0g46<0≠c0s吾，故②不 A 25.8 适合 所以应选③. 规律方法 1.根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散 点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然 后利用这个模型决实际问题. 2.解三角函数应用问题的基本步骤 读懂题目中的“文字”“图像”“符号” 审清题意→等语言，理解所反映的实际问题的 背景，得出相应的数学问题 整理数据，引入变量，找出变化规律， 建立函数 运用已掌握的三角函数知识、物理 模型 知识及其他相关知识建立关系式，即 建立三角函数模型 解答函数 利用所学的三角函数知识解答得到 模型 的三角函数模型，求得结果 得出结论→将所得结论翻译成实际问题的答案 ◇[变式训练 3.某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12h20min, 低潮时人口处水的深度为2.8m,高潮时为8.4m, 已知一次高潮发生在10月3日2：00. ● 随堂。 1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近 似满足函数y=3sin(答x十9)十k,据此函数可知， 这段时间水深（单位：m)的最大值为 Y水深/m 6 18 时间h A.5B.6C.8D.10 解析：C[根据图像得函数的最小值为2， 有一3十k=2,k=5,最大值为3十k=8.] 2.弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平 衡位置的位移：(cm)满足函数关系式s=2sin+军)， 给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 √2cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方 2cm处；③经过2πs小球重复振动一次，其中正确 的说法是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ ·9 第七章三角函数 (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个 三角函数模型来近似描述这个港口人口处的水深 d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00人口处水的深度， 解析：(1)设此三角函数模型是d=Asin(awt十p)十b (≥0)，根据题言可知周期T-h。 所以w=行-7A=24=84与28-2.8 2 2 6=dm+dm=8.4+2.8=5.6 2 2 所以d=2.8sin(7+g)+5.6(≥01，又因为当1 =2时， d取得最大值，所以2.8sin 12m+9)+5.6=8.4, 37 所以可取9=7洋： 13π 所以d=28sin7+)+5.6≥oy 37 (2)10月4日15：00相当于t=39,此时入口处水的 深度d=2.8sin(×39十)+5.6=8.4米) 74 步步夯实 对应学生用书P52 解析：D[当t=0时，s=2sin(0+于)=√反，故①正 确；smn=一2，故②正确：函数的最小正周期T= 2π，故③正确.] 3.如图是一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面 2m,已知水轮1min旋转4圈，水轮上的点P到水 面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y= Asin(awx十o)十2，则有 0 Aw-第A=3 Bw装A=8 Cw=答A=5 D. 解析：A[由题目可知y的最大值为5，所以5= AX1十2，得A=3,由子T=15,所以w答] 必修第三册 数学B 4.已知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式 A+b=14, A=8, 为y=Asin(awt十p)(A>0,w>0),若已知此振子的 解：(1)由题意知 解得 A十b=-2, b=6, 振幅为3，周期为，初相为否，则这个函数的解析 T 易知号=14-2，所以T=24,所以=是 式为 解析依题意，A=3,0-经=79=晋函数解析 元 易知8sin(8×2+p)+6=-2, 2π 7 即sin(5×2+g)=-1, 式为y=3sin(+若)，t[0,+o). 答案：y=3sin(71+晋)，ie[0,+∞) 故登×2+9=-受+2kx,k∈7. 2 2π 5.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲 又p<π，得p= 31 线接近函数y=Asin(awx十p)十b的图像.某年2月 下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最 所以y-8sim(-)十6(∈[0,24. 高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温 度为零下2℃ (2)当x=9时，y=8sin 危×9)+6 (I)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ac十p)十 b(A>0,w>0,o<π，x∈[0,24))的表达式； =8sin +6<8sin若+6=10， 12 (2)29日上午9时某高中将举行期未考试，如果温 所以届时学校后勤应该开空调. 度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤 应该开空调吗？ 章末归纳提升 对应学生用书P [网络构建] 定义 任意角 终边相同的角 任意角、 弧度制 角度与弧度互化 弧度制 扇形的弧长和面积公式 任意角的 任意角的三角函数的定义、三角函数线 角 同角三角函数关系式 三角函数 诱导公式 数 正弦函数的性质与图像 三角函数 正弦型函数的性质与图像 的图像和 性质 余弦函数的性质与图像 正切函数的性质与图像 已知三角函数值求角 三角函数模型的简单应用 ·100·