7.3.4 正切函数的性质与图象（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 随堂。步步夯实 1.函数f(x)=sin+军)图象的一条对称轴方程为 5.已知函数f()=20s(2x+9),9∈(0，)且 f)的图像关于=管对称。 A.r=-I Bx=买 (1)求f(x); C.x=号 D.z=x (2)若x∈[0，π]，求f(x)的减区间： (3)画出f(x)在一个周期上的简图， 2.下列函数中，在[罕，]上为减函数的是 A.y=cos 2x+ ) B.y=cos2x+ C.y=cos 2- ) D.y=cos 6 3.设a=cos2b=sin 1π A.acb B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 4.函数y=2cos 2x+音)儿[-吞，])的值域 C温蓉提西 学习至此，请完成配套训练 为 7.3.4 正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图像 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 直观想象和数学运算素养 并能利用其性质解决相关问题 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 [知识点一]正切函数 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 对于任意一个角x,只要 就有 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 确定的正切值tanx与之对应，因此y=tanx是 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 一个函数，称为正切函数 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 知识点二] 正切函数的图像与性质 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题。 解析式 y=tan x 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 函数的图像吗？ 2.你还有其它方法吗？ 图像 0 3T 定义域 {xx≠罗+kπ，k∈Z 2 值域 R ·43· 必修第三册 数学B 最小 3.如何画正切函数的简图？ 正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间 上都是增函数 [预习自测] 对称性 对称中心 零点 kπ，k∈Z 1.函数y=an(z一至)的单调递增区间是 2.函数y=tan(x十π)是 2思考1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称 A.奇函数 中心是什么？是轴对称图形吗？ B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y=tanc十平)的定义域是 2.正切函数在定义域上是单调函数吗？ A{≠-} B{≠} C{≠m-k∈D{红≠x+k∈Z 课堂。互动学案 题型一与正切函数有关的定艾域、值域问题] 规律方法 1.求正切函数定义域的方法 [例1](1)求函数y=√/tanx+I+lg(1-tanx)的定 义域； 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求 (2)求函数y=an(2x+君)x∈（-]的 函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 值域 y=anx有意义，即x≠受十x,k∈乙，面对于 汇思路点拨](1)先列不等式组，然后借助正切函 构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求 数的图像与性质解不等式：(2)令x=2红十吾，转 解.解形如tanx>a的不等式的步骤： 化为求tan之的值域。 作图像 作在（一 2 )上的正切函数图像 2 求界点 求在（一 工，工)上使tanx=a成立的x值 22 求范围 求在(-正，牙)上使anx>a成立的x的范围 22 定义域→据正切函数的周期性，写出定义域 2.求正切函数的值域的方法 ①结合图像。 ②利用单调性. ③在复杂情况下，利用换元法，设t=w十9， 再求解 ◇[变式训练] 1.(1)函数y=ln(tanx)的定义域 (2)函数y=tan2x-2tanx+3的最小值 为 ·44· 第七章三角函数 题型二与正切函数有关的函数单调性问题】 题型与正切函数有关的周期性、奇偶性问题！ [例2])求函数y=an(-x+) 1 的单调区间； [例]（1求fu)=ta(（2x+登)的周期： (2)比较tan1,tan2、tan3的大小 (2)判断y=sinx十tanx的奇偶性. 思路点拨了解答(1)时先将函数化为y= [思路点拨](1)利用公式法或定义法求函数的 tm()再把-整体代入 周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶 性 （-空十，受十xk∈7这个区间内，解出x便 可.解答(2)的关键是利用tan2=tan(2-π)，tan3 tan(3一π)，把角化归到同一单调区间内，再利用 y=am在（一，）上的单调性判断共大小关 系. 规律方法 1.求函数y=Atan(aw十p)(A,w,9都是常数)的 规律方法 单调区间的方法 (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调区间 (1)一般地，函数y=Atan(awa十p)+b(A≠0，w> 上都是增函数，故可用“整体代换”的思想， 0)的周期为T=工，常常使用此公式来求周期. 令x-受<au十9<x+受k∈乙，求得t (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关 的范围即可. 于原点对称.若不对称，则函数无奇偶性，若对称， (2)若w<0,可利用诱导公式先把y=Atan(awz 再判断f(一x)与f(x)间的关系. 十p)转化为y=Atan[一（一wa一p)]= ◇[变式训练] Atan(一wa-p),即把x的系数化为正值， 再利用“整体代换”的思想，求得x的范围 3.已知函数y=tan(x十牙)(o<0)的周期为受，求 即可. 该函数的定义域、值域.并判断函数的奇偶性. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系。 ◇[变式训练] 2.求函数y=3tan 后-)的单调区间。 ·45· 必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.下列说法正确的是 A.y=tanx是增函数 C.(0)为图像的一个对称中心 B.y=tanx在第一象限是增函数 D.最小正周期为元 C.y=tanx在某一区间上是减函数 4函数y=2an(3x十 一5的单调递增区间是 D.y=anx在区间(x一受，kx十受)质∈Z)上是 5.求函数y=tam（行x+)的定义域，周期、单调区 增函数 间和对称中心. 2.函数)y=tan(x十号)的定义域是 A.{x∈R且x≠x+若k∈Z☑ R∈R且x≠ka-吾A∈Z C.{xx∈R且x≠2kx+否，k∈Z D.xlx∈R且x≠2m-否，k∈Z 3.关于函数y=tan(2x- )，下列说法正确的是 ( A.是奇函数 e温馨提西 B.在区间(0， )上单调递减 学习至此，请完成配套训练 7.3.5已知三角画数值求角 课程标准 素养解读 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 2.了解符号arcsin z,arccos x,arctan x的含义，并能用这 通过知值求角提升数学运算及数学抽象素养 些符号表示非特殊角 课前。预习学案 [情境引入] 终边在图中阴影部分（不含边界） 大海中航行需要正确地 的角构成sinx<a的解集，终边 计算航行的方向，需要掌握包 在空白部分（不含边界）的角构成 括三角函数在内的广泛的数 sinx>a的解集， 学知识 (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使sinx=a [问题] 已知sinx= 你能求珀满足条件的角 成立的x的值，即为sinx=a在[0,2x]上的解. x吗？ ②曲线上加粗部分（不含边 y 界)对应的x值构成sinx< a在[0,2π]上的解集；其余 [知识梳理] 部分（不含边界）对应的x值 [知识点一]已知正弦值求角 构成sinx>a在[0,2π]上 y=sinx (1)方法1一利用三角函数线 的解集. 以射线OP与OP'为终边的角构成sinx=a的 ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 解集. 整个定义域内 ·46·2.D[当x[受]时+音∈[路等] :y=cosx在[0，x]上递减。 所以y=(+晋)在[贤，受]上递减.] 3A6=sn告=n(6x+）=n要=n-ms 6 号c=cos=cos子，因为晋>T>0,且y=c0sx在 (0,π)上是单调递减函数，所以a>c>b.] 1解折：”[吾] 2x+[] ∴os(2x+晋)[-小， .该函数的值域为[-1,2]. 答案：[-1,2] 5.解：(1)令2x十9=kx,k∈Z, 将x= 爱代入得2×晋+g=kg=一要+，k∈Z. 又g(,受)】 9= fu)=2cos(2x+晋)月 (2)令2kπ≤2.x+元≤x+2kπ，k∈Z, 4 解得一答+x<<+x,k长Z, 又0xπ， 0<警或g≤< ∴当x∈[0，π]时，f(x)的减区间为 [][小 (3)列表， 2z+日 0 2 2x 5元 7π 8 8 8 f(x) 2 0 2 0 2 作图，如图所示. y 7πx 8 _ 7.3.4 正切函数的性质与图像 课前预习学案 情境引入 1.提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y=tan x的图像 2.提示：描点法作y=anx在x∈[-受，受]上的草图，描 出三点(-至-1D,(00,(受，1，两线x=士受 ·10 参考答案 知识梳理 知识点一x≠登十x,k∈Z唯一 知识点二x(一受+，受+x)k∈0（受0）k∈z) [思考] 1.提示：y=tanx是中心对称图形，对称中心为(，0)(k∈ Z),不是轴对称图形. 2.提示：不是，正切函教在每一个单调区间（一受十m,受 十kπ)(k∈Z)内都是增函数.但在整个定义域内不是，比 知180>30，但tan180°=0<tan30°=5 3 3.提示：画正切函数图像常用三点两线法：“三，点”是指（一 至，-1,0,0)，（受，1），“两线”是指x=一受和1=受， 大致画出正切画载在（一受，受）上的简图后向左、向右扩 展即得正切曲线。 预习自测 1.(-至+x,+x),k∈Z 2.A3.D 课堂互动学案 [例1][解]()由题意得amx+1≥0，即-1≤amx 1-tan z>0' 1. 在（一，）内，满足上述不等式的x的取值范国 是[至晋) 又y=tanx的周期为π， 所以一 所以画数的定义城为[一至十m,产十kx)∈乙 (2)令x=2红+吾， (爵] :y=an在（于芳]上是增画数， tam(晋)y≤an吾，即-1yE 函数的值域为(-1，W5]. 变式训练 1L解析：)由题唐得{≠x+受k∈Z, (tan x>0, [≠kx+受(k∈Z, 即 kx<r<kx十变(k∈Z), 故定义城为(km,kr十空(k∈ZD。 (2)y=(tanx-1)2+2,由于tanx∈R,所以当tanx=1 时，函数取最小值2. 答案：(1)(k,km+空)k∈Z)(2)2 5 必修第三册 [例2】[解](1y=1an(一+） = tam(合-子）： 得2x-受<<2x+受，k∈Z, 所以函数y=m(一子+)的单调造减区同是 1 (2)tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). 因为受<2<，所以-受<2-<0. 因为受<3<，所以-音<3-<0， 里然一受<2-<3-<1K受 又y=amx在（受，受）内是增函数， 所以tan(2-π)<tan(3-π)<tanl. 即tan2<tan3<tanl. 变式训练 2.解：y=3an(-子)=-3uan(告-吾）： 得一<<x+受∈乙 ·)-3an(合一学)的单调造减区间为 (x誓4x十)∈Z [例3][解](1)方法一： :tam(2z+等+x)=an(2x+音)： 即a[(+受)+]-an(2x+骨) ∴fx)=tan(2x+号)的周期是牙 方法二：，y=tanx的周期是元， ∴fx)=tam(x+晋)的网期是受 ②数的定义城是{≠受+，∈Z 又：sin(-x)+tan(-x)=-(sinx十tanx), ∴.函数y=sinx十tanx是奇函数. 变式训练 3.解：y=amur+子)a<0)的周期为后-受，解得w=2 或w=-2. 因为w<0,所以w=一2， 故y=tan-2x+子)=-an(2x-子. 由2x-晋≠x+晋（∈Z, 解得4≠经+受（∈Z, 所以该画数的定义战为女u≠经+行，k∈Z,值战为R 由于该函数的定义域不关于原，点对称，所以该函数既不 是奇函数也不是偶函数. ·10 数学B 随堂步步夯实 1.D[y=anx有无数个递增区间(kx-空，km十受)k∈ Z),无递减区间，且在定义域上不是增函数.] 2.Au+号≠受+x,∈Z. x≠答+x,∈Z] 3.C[令f八)=tan(2r-答).由2x-音≠kx+受（∈ 刀，解得≠经+登∈，即定又越为≠钙+登 k∈Z},由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函 数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误：由正切函数的 图像知y=tan(2x- )没有单调递减区间，故B错误；C 3 中，“f(晋)=an0=0,故（否，0）为图像的一个对称中心， C正确：D中y=1an(2x-受)的最小正周期T=受，D 错误.] 4.解析：-受+kx<3十至<音+x,∈Z 答案（音+停音+经）水∈z 5.解：由行+晋≠x+受，k∈Z,得x≠3+子k∈乙。 故定义线为{≠3+子，∈Z。 T=元-=3. 由一+kx<<受+x,k∈Z, 4 得一 +3<r<+3k,k∈z。 4 故增区为（+3，是+）∈. 42 所以对称中心为（侵-是，0小（∈ZD. 7.3.5已知三角函数值求角 课前预习学案 情境引入 提示 =晋+2kx或x-经+2x,k∈Z 3 知识梳理 知识点四、(1)arcsin y(2)[0,2x]arccos y arctan y [思考] 提示：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来 确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止 一个，则所求的角也就不止一个， 预习自测 1.C 2.B[sin30=7in180°-30)=sin30=7, .a=30°或150°.] 八 3.一3