专题7.3.4 正切函数的性质与图像（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题7.3.4 正切函数的性质与图像 教学目标 1．认识正切函数的图象特征，掌握其图象的关键形态与分布规律。 2．熟知正切函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性本质。 3．能运用正切函数的单调性等性质，解决简单的函数问题。 教学重难点 重点：正切函数的图象特征及定义域、周期、单调性、奇偶性等核心性质；正切函数最小正周期为的特点及单调递增区间的识别。 难点：理解正切函数定义域的限制条件，把握图象的渐近线特征；灵活运用正切函数的性质分析问题，避免忽略定义域陷阱。 知识点 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为_____ 奇偶性 _____函数 单调性 在开区间_____内单调递增 【即学即练】 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．作出函数的图象. 题型01 正切（型）函数的定义域 例1．函数的定义域为 . 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．函数的定义域为 ． 题型02 正切（型）函数与不等式 例3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．若，则不等式的解集为 . 变式2-2．不等式的解集是 ． 变式2-3．已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 正切（型）函数的周期 例5．（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 例6．函数的最小正周期为，则的定义域是 . 变式3-1．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型04 正切（型）函数的奇偶性 例7．已知，若，则 ． 例8．已知函数，则的值为 . 变式4-1．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 变式4-3．若函数为奇函数，则的最小值为 . 题型05 正切（型）函数的对称中心 例9.函数的一个对称中心为 ． 例10．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 对于函数的图象： 对称中心：由，得对称中心为 题型06 正切（型）函数的单调性 例11．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； 例12．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 变式6-1．（多选）设函数，则（    ） A．定义域为 B．是奇函数 C．在单调递增 D．在单调递减 变式6-2．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的单调增区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型07 正切（型）函数比较大小 例13．若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．是第三象限角 例14．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式7-3．若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 题型08 正切（型）函数的值域 例15．函数的值域是 . 例16．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 . 变式8-1．设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 变式8-2．若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 变式8-3．函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 题型09 正切函数（二次、分式）的值域 例17．函数，的值域为 ． 例18．已知，求函数的最小值． 变式9-1．函数的值域为 . 变式9-2．当时，函数的最小值是 . 变式9-3．求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 一、单选题 1．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 3．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 7．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．函数的周期为 B． C．是图象的一个对称中心 D．的解集为 三、填空题 8．若函数的图象关于点（）对称，则 . 9．函数的值域是 . 10．已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 12．已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 13．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3.4 正切函数的性质与图像 教学目标 1．认识正切函数的图象特征，掌握其图象的关键形态与分布规律。 2．熟知正切函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性本质。 3．能运用正切函数的单调性等性质，解决简单的函数问题。 教学重难点 重点：正切函数的图象特征及定义域、周期、单调性、奇偶性等核心性质；正切函数最小正周期为的特点及单调递增区间的识别。 难点：理解正切函数定义域的限制条件，把握图象的渐近线特征；灵活运用正切函数的性质分析问题，避免忽略定义域陷阱。 知识点 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 【即学即练】 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，即， 所以其最小正周期为． 故选：A 2．作出函数的图象. 【答案】图见解析 【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示： 题型01 正切（型）函数的定义域 例1．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由得， 所以函数的定义域为； 故答案为：. 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得则，解得， 故选：B 变式1-1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 变式1-2．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，则． 故选：D. 变式1-3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 题型02 正切（型）函数与不等式 例3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 例4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 变式2-1．若，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】当时，； 当时，且在上单调递增，； 综上所述：的解集为. 故答案为：. 变式2-2．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递增， 则由得， 解得， 即不等式的解集是 故答案为： 变式2-3．已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：等价于或， 如图所示： 由正切函数图象知， 故选：B． 题型03 正切（型）函数的周期 例5．（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 故选：ABC. 例6．函数的最小正周期为，则的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得，解得，故， 令，解得， 故的定义域为. 故答案为： 变式3-1．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的相邻两个零点之间的距离等于它的最小正周期． 故选:C 变式3-2．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 又函数的最小正周期为，函数的最小正周期也为， 所以的最小正周期与的最小正周期相同，为 故选：C 变式3-3．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型04 正切（型）函数的奇偶性 例7．已知，若，则 ． 【答案】1 【详解】函数，而， 则 ， 所以. 故答案为：1 例8．已知函数，则的值为 . 【答案】 【详解】因为函数， 则 . 故答案为： 变式4-1．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数不是周期函数，且为偶函数，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，且为偶函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：C 变式4-2．函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且， ∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意； 在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确. 故选：B． 变式4-3．若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 题型05 正切（型）函数的对称中心 例9.函数的一个对称中心为 ． 【答案】（不唯一） 【详解】令（）， 解得，当时，， 所以的一个对称中心为. 故答案为：（不唯一） 例10．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，令，解得， 所以该函数的对称中心为， 因为点是函数的对称中心，且，所以， 当时，取得最小值，其最小值为， 所以实数的最小值为. 故选：A. 变式5-1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 变式5-2．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 变式5-3．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 对于函数的图象： 对称中心：由，得对称中心为 题型06 正切（型）函数的单调性 例11．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)递增区间为，无递减区间 【分析】 【详解】（1）由题意得：，解得：， 的定义域为. （2）令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. 例12．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 变式6-1．（多选）设函数，则（    ） A．定义域为 B．是奇函数 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】BC 【详解】由已知，函数定义域为，定义域关于原点对称，，则为奇函数， 由于均为单调递增函数，故单调递增， 当时，单调递增，所以在单调递增，故BC正确，AD错误， 故选:BC． 变式6-2．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵设，，所以为奇函数. 易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增. 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以， 又函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：A. 变式6-3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的单调增区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型07 正切（型）函数比较大小 例13．若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．是第三象限角 【答案】B 【详解】对ABD，因为，所以是第二象限角，，故A错误，B正确，D错误； 对C，因为在上单调递增，所以，故C错误. 故选：B. 例14．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 由正弦函数的单调性得，，即， 又，，所以，即， 所以， 故选：B． 变式7-1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 变式7-2．（多选）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以，， 所以， 故AC正确，BD错误. 故选：AC. 变式7-3．若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【详解】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误. 故选：. 题型08 正切（型）函数的值域 例15．函数的值域是 . 【答案】 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 例16．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 . 【答案】/ 【详解】函数在上单调递增，则当时，， 因此，解得， 所以实数a为. 故答案为： 变式8-1．设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 【答案】(1)最小正周期；在单调递减，无单调递增区间 (2) 【分析】 【详解】（1）的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． （2）由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 变式8-2．若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数，的图象都在轴上方， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 变式8-3．函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 【答案】 【详解】当时，在上单调递增，故 ，即，解得. 当时，在上单调递减，故 ，即，解得. 故 【点睛】本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题. 题型09 正切函数（二次、分式）的值域 例17．函数，的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 例18．已知，求函数的最小值． 【答案】4 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 变式9-1．函数的值域为 . 【答案】 【详解】由得，， 故当时，有最小值，当时，有最大值. 故答案为：. 变式9-2．当时，函数的最小值是 . 【答案】 【详解】， 当时，，所以， ，即的最小值为. 故答案为： 变式9-3．求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 【答案】，此时 【详解】解：因为，令，则，，因为，所以，即时，即，，即当时函数取得最大值 一、单选题 1．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，由，可得，， 即函数的图象的对称中心为， 依题意，， 解得， 因为，则时，可得的最小值为. 故选：B. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 3．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正切函数的对称中心为，,所以有，因此. 又因为，所以最小值为时，. 故选：B． 4．已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数， 设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 而为奇函数，所以为奇函数， 设，则， ，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数，而在区间上为增函数， 所以函数在区间上为增函数， 关于的不等式， 即为， 化为，也就是， 所以解得. 故选：A 5．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递减函数，且，可排除选项C、D； 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递增函数，且，可排除选项A． 故选：B． 二、多选题 6．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】由题意得，，则的最小正周期是，故A正确； 由正切函数性质得的图象不是轴对称图形，故B错误； 若，则， 因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C错误； 而，故D正确. 故选：AD 7．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．函数的周期为 B． C．是图象的一个对称中心 D．的解集为 【答案】BC 【详解】对于A，由，所以函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，，因为的面积为，所以， 所以，所以，所以. 所以，即， 又因为，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 所以函数图象的对称中心为， 当时，可得是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，由，得，所以， 所以，解得， 所以的解集为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．若函数的图象关于点（）对称，则 . 【答案】 【详解】令，则，故的对称中心为， 所以，可得时有. 故答案为： 9．函数的值域是 . 【答案】 【详解】令，， 在上单调递增，. 故答案为： 10．已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为点在第一象限，则， 且，可知角不为轴线角， 若，则， 可得， 且，则，可得； 若，则， 可得，不合题意； 若，则， 可得， 且，则，可得； 若，则 可得，不合题意； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)函数的定义域为：，单调递增区间为： (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； （2）令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即，则有， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 12．已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知的最小正周期T满足，解得， 又由题意， 所以，即， 又，所以 ，所以． （2）设，函数，则， 因为关于的方程在区间内恰有两个实根， 所以函数在上存在两个零点， 因为对任意有， 所以为奇函数， （i）若，当时，，故在区间上无零点； 当时，一方面有， 另一方面，若存在使得，则， 若对任意，则， 故的零点个数为奇数，不合题意． （ii）若，当时，为增函数， 所以在区间上只有唯一零点0； 当时，函数分别为减函数和增函数，且恒成立， 又，时， 所以时，函数有唯一交点， 在区间上有唯一零点， 所以函数在上存在两个零点， 综上所述，的取值范围为． 13．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $