7.3.3 余弦函数的性质与图像（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

直线x=一登对称，故持除B在[一，-受]上2x十答 [,-],y=3sin(2x+子)不是增函教，故持除C 选A.] 随堂步步夯实 1.C[因为T=2×[3-(-1)]=8, 所以w-停-管-子 又因为f1)=1,所以平十9=+2k(k∈Z. 所以9=于+2x∈Z, 又周为0≤g<2x,所以g=年.] 2.D[因为f(x)=一c0sx,故根据余弦函数的图像可知 是错误的.故选D.] 3解析：由题意知2×答十9=受+kx,k∈乙， 所以9=吾十x=2,k∈乙 又-<9<0，所以9=-点 6元. 答案：一吾 4解折：向题国可知：A=2召-音十音-受 所以T=w-祭：f）=2sn(2x+p, 代入点（号0）得0=2sin(2x号+p, 所以g叶要=十2xk∈Z 9=号+2kx∈Z, 因为一<g<,所以=行， 所以f)=2sin(2x+子 答案：f()=2sim(2x+) 5.解：(1)由图像知最小正周期 T=4×(5-）=2x (2)f()的对称轴为x=号+红（∈Z, 对称中心坐标为（骨x十，0）】 ③在一个网海上的单调减区间为[告骨] .整个定义域上的单调减区间为 [2x+x+号小∈， 同理易知单调增区间为[2kx一子x,2m+答]k∈D. 2 7.3.3余弦函数的性质与图像 课前预习学案 情境引入 1.提示单调性」 2.提示最值，波峰，波谷. 参考答案 知识梳理 知识点一、唯一余弦函数 知识点二、RR [-1,1] [-1,1]奇函数偶函数 2π I=- +2kx(k∈Z) x=-交+2kx(k∈Z)x= 2 2kπ(k∈Z) x=元十2kπ(k∈Z) 交十2kx, [ 多+2x]k∈z) +2k， 12 号+2x]小水∈z [-π+2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，π+ 2kπ](k∈Z)上单调递减 [思考] 1.提示：因为cosx=sin(x十 ，所以y=sinx(x∈R)的图 像向左平移空个单位长度可得y=c0sx(x∈R)的图像。 2.提示：观察图像可知： -1 当x∈[一π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，Cosx的值由 -1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1 减小到一1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ-元，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y=cosx是增函 数，函数值由一1增大到1： 当x∈[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z时，余弦函数y=cosx是减 函数，函数值由1减小到一1. 3.提示：平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式6：sin(x 十受)=c0sx显然在诱导公式5：sim(受-)=c0sx中， 两个函数的解析式中自变量的系数符号相反，所以不能 利用该公式确定平移方向和单位长度. 预习自测 1.C 2.偶 3.[-x+2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ十元](k∈Z) 课堂互动学案 [例1][解]法一列表、描，点、连线得函数y=3十2Cosx在 闭区间「0,2π]上的图像，如图中实线所示. 根据图像可知，函数y=3十2cosx在[0,2π]上的最大值 为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y=3十2c0s x在R上的值域为[1,5]. 0 3π 2 2 2x y=cos z 0 0 1 y=3+2cos x 5 3 3 5 yy=3+2cosx,x∈[0,2π] 5 4 2 0、T3T2x 2 y=cosx,x∈[0,2m] 103 必修第三册 法二先利用五点法作出函数y=cosx,x∈[0,2π]的图 像，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来 的2倍（横坐标不变），再把所得图像向上平移3个单位长 度就得到函数y=3十2cosx,x∈[0,2π]的图像，如图中 实线所示， 根据图像可知，函数y=3+2cosx在[0,2π]上的最大值 为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y=3十2cos x在R上的值域为[1,5]. 变式训练 1.解：①列表： x 0 5 2π 11 12 3 2 2x- 3 0 3π 2 1-2 0 0 ÷ ②描点画图，如图 [例2][解](1)令2x+否=x,k∈Z, 解得x=-交，k∈乙. 2 3 令k=0,x= 音：个6=1x=吾 “画教y=20(亿x十)的对称轴中离y轴最近的一条 对称轴的方程是x=吾 (2)设该函数的图像向右平移个单位后对应的解析式 为y=f(x), 则)=2m9+] =2cos(2.x+ 2 y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称， f0)=2c(管-29）=0， :-29=kx+，k 解得9一音经 令=0，得9=是·9的最小正值是是 变式训练 2.解：1令31-合+9=x,k∈Z, 特=吾代入得管-晋十9=kxk∈Z9= 9 -十x, ∈Z. 又ge0,m)∴g=受f)=2c0s(3x+号) (2)将y=cOsx的图像向左平移T个单位，再纵坐标不 3 变，横坐标编短了倍，最后再横坐标不变，纵坐标伸长2 倍，即得fx)=2co(3+)的图像. .10 数学B [例3][解]y=3cos(行受)=3cos(号-号)由2x 工-T≤2kπ(k∈Z), 一≤2一3 六画教y=30(骨号)的单调递增区间为 变式训练 3.解析：设之= 十号，则y=sim之 当：∈(2kx-受，2x+受.（∈2）时=sn为增 函数 :2x一音≤：十吾≤x十音得4x一子≤≤ +晋k∈Z 当(2kx十受2x+号)时y=im为减通数。 2+<+≤2x+ 得x+音<<z+号xeZ 故y=5m(分十号)的增区间为 （4x-号，4x+子)，k∈五。 5 减区间为(4x+子，4kx十了)，k∈乙 7 [例4][解]y=3cos2x-4cosx+1 2121 =3(ox-3)-3 r[学]aase【合号] 从而当cosx=一 即x=m=- 1 当cosx= 函数值域为 ] 变式训练 4解，rp]2x+晋[学] -1m(x+)下 当a>0c0s(2x+号）=2时y取得最大值2a+3。 7a+3=4,a=2. 当a<0,os(2x+晋)=-1时y取得最大位-a+3, ∴.-a十3=4，.a=-1, 综上可知，实数a的值为2或一1. 随堂步步夯实 L.B[对于函数f)=sin(+牙）令x+牙=+受k ∈乙，得x=kx十至∈Z,令k=0,则x=至，可得盛数f (x)=sin(+)的国象的一条对称轴方程为正=平] 2.D[当x[受]时+音∈[路等] :y=cosx在[0，x]上递减。 所以y=(+晋)在[贤，受]上递减.] 3A6=sn告=n(6x+）=n要=n-ms 6 号c=cos=cos子，因为晋>T>0,且y=c0sx在 (0,π)上是单调递减函数，所以a>c>b.] 1解折：”[吾] 2x+[] ∴os(2x+晋)[-小， .该函数的值域为[-1,2]. 答案：[-1,2] 5.解：(1)令2x十9=kx,k∈Z, 将x= 爱代入得2×晋+g=kg=一要+，k∈Z. 又g(,受)】 9= fu)=2cos(2x+晋)月 (2)令2kπ≤2.x+元≤x+2kπ，k∈Z, 4 解得一答+x<<+x,k长Z, 又0xπ， 0<警或g≤< ∴当x∈[0，π]时，f(x)的减区间为 [][小 (3)列表， 2z+日 0 2 2x 5元 7π 8 8 8 f(x) 2 0 2 0 2 作图，如图所示. y 7πx 8 _ 7.3.4 正切函数的性质与图像 课前预习学案 情境引入 1.提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y=tan x的图像 2.提示：描点法作y=anx在x∈[-受，受]上的草图，描 出三点(-至-1D,(00,(受，1，两线x=士受 ·10 参考答案 知识梳理 知识点一x≠登十x,k∈Z唯一 知识点二x(一受+，受+x)k∈0（受0）k∈z) [思考] 1.提示：y=tanx是中心对称图形，对称中心为(，0)(k∈ Z),不是轴对称图形. 2.提示：不是，正切函教在每一个单调区间（一受十m,受 十kπ)(k∈Z)内都是增函数.但在整个定义域内不是，比 知180>30，但tan180°=0<tan30°=5 3 3.提示：画正切函数图像常用三点两线法：“三，点”是指（一 至，-1,0,0)，（受，1），“两线”是指x=一受和1=受， 大致画出正切画载在（一受，受）上的简图后向左、向右扩 展即得正切曲线。 预习自测 1.(-至+x,+x),k∈Z 2.A3.D 课堂互动学案 [例1][解]()由题意得amx+1≥0，即-1≤amx 1-tan z>0' 1. 在（一，）内，满足上述不等式的x的取值范国 是[至晋) 又y=tanx的周期为π， 所以一 所以画数的定义城为[一至十m,产十kx)∈乙 (2)令x=2红+吾， (爵] :y=an在（于芳]上是增画数， tam(晋)y≤an吾，即-1yE 函数的值域为(-1，W5]. 变式训练 1L解析：)由题唐得{≠x+受k∈Z, (tan x>0, [≠kx+受(k∈Z, 即 kx<r<kx十变(k∈Z), 故定义城为(km,kr十空(k∈ZD。 (2)y=(tanx-1)2+2,由于tanx∈R,所以当tanx=1 时，函数取最小值2. 答案：(1)(k,km+空)k∈Z)(2)2 5必修第三册 数学B 7.3.3余弦函数的性质与图像 课程标准 素养解读 能通过用不同的方法得到余弦函数的 1.能正确使用“五点法”、图像变换法等画出余弦函数的简图 图像与性质，提升逻辑推理和直观想 2.能类比正弦函数的图像与性质得出余弦函数的图像与性质 象素养 课前。预习学案 [情境引入] 当 过山车是一项富有刺激性 当 的娱乐工具.那种风驰电掣、有 时，ynx三 惊无险的快感令不少人着迷。 时，ymx=1; 最值 1:当 过山车的运动包含了许多物理 当 时，ymm 学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原 时，ymn=一1 理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交 织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个过 山车的基本构造包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车 在 没有倒转)等几个循环路径. 上单调 在 [问题1]函数y=cosx的图像也象过山车一样“爬 递增； 上单调递增；在 升”、“滑落”，这是它的什么性质？ 性 [问题2]过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然 在 后再爬升，对应y=cosx的什么性质？y=cosx在什么 上单调递减 位置取得最值？ 零点 kπ，k∈Z 十kπ，k∈Z 2 对称轴 x=十k,k∈Z x=kπ，k∈Z [知识梳理] [知识点一]余弦函数 对称 (kπ，0)(k∈Z) 对于任意一个角x,都有 确定的余弦cosx 中心 （受+kx,0)(k∈Z 与之对应，所以y=cosx是一个函数，一般称为 [知识点二]余弦函数的图像与性质 2思考1.y=cosx(x∈R)的图像可由y=sinx 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 (x∈R)的图像平移得到的原因是什么？ 函数 y=sin x y=cos x 图像 2.余弦函数在[一π，π]上，函数值的变化有什么特 点？推广到整个定义域呢？ 定义域 值域 奇偶性 周期性最小正周期： 最小正周期： ·40· 第七章三角函数 3.利用平移法作余弦函数图像的依据是什么？为什 [预习自测] 1.函数f(x)=cos4x,x∈R是 么不能利用sin(受-x】 =cosx来确定平移的方 A.最小正周期为π的偶函数 向和单位长度？ B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数 2.y=sin 〔2x+受)是 函数（填“奇”或“偶”）. 3.函数y=一cosx的单调递减区间是 ；单 调递增区间是 ● 课堂。互动学案 题型一】 余弦函数图像的作法 ◇[变式训练] [例1]作出函数y=3+2cosx在闭区间[0,2x]上 1.画出函数y=cos 2x-)[0,x]的图像。 的图像，并求函数y=3+2cosx在R上的值域， [思路点拔了利用五点法或平移法作图 题型三 余弦曲线的对称性 [例2] 已知函数y=2cos(2r+) (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那 条对称轴的方程； (2)把该函数的图像向右平移9个单位后，图像关 于原点对称，求9的最小正值. 规律方法 1.作余弦（型）函数图像的方法 [思路点拔]把2x+号看作一个整体，代入基本 (1)五点作图法；(2)图像变换法：(3)平移坐标轴. 余弦函数的性质求解. 2.用“五点法”画余弦曲线y=c0sx在[0,2π]上 的图像时，所取的五个关键点分别为(0,1)， (受0.(，-1D.20,(2x,1D. 3.作形如y=asin z+b(或y=acos z+b),x∈ [0,2π]的图像的三个步骤 列表 在[0,2π]内先分别找出确定所求函数图象的五 规律方法 个关键点；在表中列出相应的五点的坐标 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描 (1)f(x)=Asin(wx+p)(或Acos(aa+p)的图 出相应的点 像关于x=x。对称台f()=A或一A. 连线 用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来， (2)f(x)=Asin(wa十)（或Acos(awx十g)的图 就得到所求函数的图象 像关于点(x。,0)中心对称台f(x。)=0. ·41· 必修第三册 数学B ⊙[变式训练] 题型四 余弦函数的值域（最值） 2.已知函数f()=2c0s3x-晋+9∈0，x)且 [例4] 求函数y=3cos2x一4cosx+1,x∈ fx)的图像关于e=否对称。 [昏]的值域。 (1)求9. [思路点拨]y=f(x)可看作关于cosx的二次 (2)试说明f(x)的图像是由y=cosx的图像经过 函数. 怎样的变换而得到的. 题型三 余弦函数的单调性 规律方法 [例3] 求函数y=3cs(等兰)的单调递增区间， 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y=Ac0s(wa十p)十k的形 [思路点拨]令u=之 子，代入y=c0su的单 式，结合函数图像求最值 调区间： (2)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的二 次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性 求最值。 ⊙[变式训练] 4.已知函数y=aeos(2a+)+3,x∈[p,受]的最 大值为4，求实数a的值 规律方法 确定函数y=Asin(awx+9)或y=Acos(wa+9) 单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx十 中看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来 求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负， 通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼 顾函数的定义域. ⊙[变式训练] 3.求函数y=sin(分+号)，x∈R的单调区间。 3 ·43· 第七章三角函数 随堂。步步夯实 1.函数f(x)=sin+军)图象的一条对称轴方程为 5.已知函数f()=20s(2x+9),9∈(0，)且 f)的图像关于=管对称。 A.r=-I Bx=买 (1)求f(x); C.x=号 D.z=x (2)若x∈[0，π]，求f(x)的减区间： (3)画出f(x)在一个周期上的简图， 2.下列函数中，在[罕，]上为减函数的是 A.y=cos 2x+ ) B.y=cos2x+ C.y=cos 2- ) D.y=cos 6 3.设a=cos2b=sin 1π A.acb B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 4.函数y=2cos 2x+音)儿[-吞，])的值域 C温蓉提西 学习至此，请完成配套训练 为 7.3.4 正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图像 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 直观想象和数学运算素养 并能利用其性质解决相关问题 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 [知识点一]正切函数 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 对于任意一个角x,只要 就有 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 确定的正切值tanx与之对应，因此y=tanx是 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 一个函数，称为正切函数 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 知识点二] 正切函数的图像与性质 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题。 解析式 y=tan x 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 函数的图像吗？ 2.你还有其它方法吗？ 图像 0 3T 定义域 {xx≠罗+kπ，k∈Z 2 值域 R ·43·