7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图像(一)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.对于正弦函数的图像，有以下四个说法： 4.若方程sinx=4m十1在x∈[0,2x]上有解，则实数 ①关于原点对称；②关于x轴对称； m的取值范围是 ③关于y轴对称；④有无数条对称轴. 其中正确的是 ( 3利用正孩脑线，求清足号加停的的华合。 A.①②B.①③ C.①④ D.②③ 2.函数y=sin(-x),x∈[0,2x]的简图是 ( y 3.用“五点法”画函数y=2一3sinx的图像时，首先应 描出五点的横坐标是 A.0,元，元3x 4’2’4,π C.0,元，2元，3x,4π ©温馨提 n0,晋晋受 学习至此，请完成配套训练 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第1课时 正弦型函数的性质与图像（一） 课程标准 素养解读 1.理解y=Asin(awx十9)中w、p、A对图像的影响 1.通过学习y=Asin(wx十9)的图像，培养学生 2.掌握y=sinx与y=Asin(wx十o)图像间的变换关系， 数学抽象和直观想象素养 并能正确地指出其变换步骤 2.通过对三角函数的图像变换，提升逻辑推理 3.掌握y=Asin(awz十9)的图像画法 素养 课前。预习学案 [情境引入] 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其 水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型 经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科 来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时 学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 间的关系吗？ 作原理如图 ·32· 第七章三角函数 [知识梳理] ⅰ先相位变换后周期变换，平移个单位， [知识点一]正弦型函数 ⅱ先周期变换后相位变换，平移 2个单位，这是 般地，形如y=Asin(awa十p)的函数，称为正弦型 函数，其中A,w,0都为常数，且A≠0，ω≠0. 很容易出错的地方，应特别注意。 正弦型函数的性质 ?思考1.怎样把函数y=sin(x十o)的图像变换为 、函数 y=Asin r sin() y=sinx的图像？ sin Asin(u.z十p 性质 定义域 值域 周期 2π 2元 2元 2.由y=sin wx(aw>0)的图像得到y=sin(wz十p) [知识点二] A,w,p对函数y=Asin(wx十p)的图 的图像是如何平移的呢？ 像的影响 1.9对函数y=sin(x十o)的图像的影响 9>0时向左 y=sinx的图像 3.由y=sinx的图像，得到y=Asin(wx+p)(w>0) 0<0时向右 的图像是否还有其他的变换方法？ 平移9个 y sin(z+) 单位长度 的图像 2.w(w>0)对函数y=sin(wx十p)的图像的影响 y=sin(x+p)的图 w>1时缩短到 象上所有点的横坐标 0<w<1时伸长到 [预习自测丁 原来的】倍 1.为了得到函数y=sin(x- →y=sin(m+p)的图像 文)的图像，只需把函数 y=sinx的图像 3.A(A>0)对函数y=Asin(awa十o)的图像的影响 y=sin(am十p)的图 A>1时伸长到 A.向左平移琴个单位长度 象上所有点的纵坐标 0<A<1时缩短到 B向右平移答个单位长度 原来的A倍→y=Asin(o十p)的图像 C向上平移个单位长度 4.对“图像变换法”的理解 由y=sinx到y=sin(x十9)的图像变换称为相位 D.向下平移号个单位长度 变换，由y=sinx到y=sin w.x图像的变换称为周 期变换；由y=sinx到y=Asin x图像的变换称为 2.为了得到函数y=sin(3.x一 )的图像，需将函数 振幅变换。 y=sin(z- )的图像 5.由y=sinx的图像，通过变换得到函数y=Asin(a十p) 的图像，其常用的变化途径： A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 相位变换 B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 ①y=sinx y=sin(x+p) 周期变换 振幅变 C,横坐标变为原来的分，纵坐标不变 y=sin(@xo)- →y=Asin(awx+p). 周期变换 相位变换 ②y=sinx y=sinωx D.纵坐标变为原来的了，横坐标不变 振幅变 y=sin(@x+o)- →y=Asin(awx+p) 3.将y=sin2x的图像向左平移个单位长度，得到 ③两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所 的曲线对应的解析式为 不同： ·33· 必修第三册 数学B 课堂。互动学案 题型一 正弦型函数的周期 规律方法 三角函数图像平移变换问题的分类及策略 [例1]求下列函数的周期： (1)确定函数y=sinx的图像经过变换后图像对 y=n(2+): 应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按 “左加右减”的原则进行. 2v=2sn+)月 (2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关 系时，首先要将解析式化为同名三角函数形 (3)y=sin l. 式，然后再确定平移方向和平移距离. ⊙[变式训练] 2.(1)要得到函数y=sin(2x+号)的图像，只要将函 数y=sin2x的图像 ( A.向左平移个单位长度 &向右平移号个单位长度 C.向左平移吾个单位长度 规律方法 对于形如y=Asin(wx十p)(A≠0，w≠0)的函数 D.向右平移答个单位长度 的最小正周期的求法，常直接利用T= 西来求 (2)为了得到函数y=sin(2.x- 若)的图像，可以将 解，对于形如y=|Asin wx的函数的周期情况常 函数y=cos2.x的图像 结合图像法来求解. A.向右平移父个单位长度 6 ◇[变式训练] 1.(1)函数y=√3sin 2x- x∈R的周期T= B向左平移否个单位长度 C.向右平移号个单位长度 (2)若函数y=Asin(wx十p)(A≠0，w≠0)的周期 为3元，则w D.向左平移弩个单位长度 题型二 三角函数图像的平移变换 题型三 三角函数图像的伸缩变换 [例2](1)将函数y=2sin(2x+答)的图像向右平移 [例3]如何由y=sinx的图像得到函数y= 3sin2x-至)的图像？ 子个周期后，所得图像对应的函数为 3 汇思路点拔了常采用的变换方法有两种：二种是 A.y=2sim（2a+） By=2sn（2x+5 先进行相位变换，后进行周期变换；另一种是先进 行周期变换，后进行相位变换. C.y=2sim(2z-) D.y=2sin 2-号 (2)要得到y=cos 2x-)的图像，只要将y sin2x的图像 A.向左平移受个单位长度 B.向右平移零个单位长度 C.向左平移季个单位长度 D.向右平移个单位长度 [思路点拨]根据“相位变换”规则实现左右平移. 34· 第七章三角函数 规律方法 规律方法 由函数y=sinx到函数y=Asin(.x十9)的变换 1.“五点法”作图的实质 涉及到三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换， 三者的变换先后颜序没有特殊要求.但要注意，若 利用“五点法”作函数f(x)=Asin(wx十p)的 先相位变换，后周期变换，需平移口个单位，若 图像，实质是利用函数的三个零点、两个最值点 先周期变换，后相位变换，则需平移2 画出函数在一个周期内的图像」 个单位. 2.“五点法” 由函数y=sinx的图像通过变换得到函数y= 作定区间上图像的关键是列表，列表的方法是： Asin(awx十o)的图像的步骤 先平移后伸缩 先伸缩后平移 ①计算x取端点值时的ωx十9的范围； ②取出wx十9范围内的“五点”，并计算出相应 出y=sinr的图像 画出y=sinx的图像 的x值； 向左（右》平 个单位长废 横坐标资为原来的一 ③利用ωx十9的值计算y值； ④描点(x,y),连线得到函数图像 得到y=sin(x+)的图像 ·得到y-sinr的图像 3.用“五点法”作函数y=Asin(awx十p)图像的 横坐标变为 来的 向左（右》平 |个单位长度 步 步骤 得到y=sin(ar十g)的图像 得到y=sin(our+)的图像 第一步：列表。 3 战坐标变为题未的A倍 欲坐标变为原来的A倍 ωx十9 0 元2 个 2 2π 得到y-Asin(or+g)的图像 得到y=Asin(r+p)的图像 ⊙[变式训练] 9 元9 3π 22π 2o 2w 3.已知曲线C:y=cosx,C2:y=sin(2x+ 受.则下 y 0 A 0 面结论正确的是 A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 第二步：在同一坐标系中描出各点。 标不变，再把得到的曲线向右平移晋个单位长 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像， ◇[变式训练] 度，得到曲线C B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 4.作函数f(x)=2sin(2x一晋)在[0，上的图像 标不变，再把得到的曲线向左平移器个单位长 度，得到曲线C2 C.把C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向右平移否个单位长 度，得到曲线C2 D,把C上各点的横坐标缩短到原来的，倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平移卺个单位长 度，得到曲线C 题型四“五点法”作函数y=Asin(om十2)的图像 [例幻作出y=2.5sim(2x+)的图像。 汇思路点拨]利用“五点法”作出一个周期内的图 像，然后按周期扩展. ·35· 必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 L.将函数y=sin(x+)(x∈R)的图像上所有的点 B.向右平移否个单位长度，再把所得各点的横坐标 向左平移不个单位长度，再把图像上各点的横坐标 缩短到原来的宁（纵坐标不变） 扩大到原来的2倍，则所得的图像的解析式为 ( C.向左平移晋个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的3倍（纵坐标不变） A.y-sin(2x+)(rER) D.向右平移答个单位长度，再把所得各点的横坐 Ry=n(号+登xeR) 标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） C.y=sin(号-是)(xeR) 4.若将函数fu)=sin(wx+否)(o<<?)的图像向 Dy=sin(号+27(：eR) 右平移于个单位后恰与f(x)的图像重合，则w的 2.设g(x)的图像是由函数f()=sin(受+2x)的图 值是 5.利用“五点法”作出函数y=2sin(2x一于)在一个 像向左平移号个单位得到的，则s合)等于( 周期（闭区间）上简图。 A.1 C.0 D.-1 3.为了得到函数y=2sin(号+晋)(x∈R)的图像，只 需把函数y=2sinx(x∈R)的图像上所有的点 A.向左平移π个单位长度，再把所得各点的横坐 C温馨提 6 学习至此，请完成配套训练 标缩短到原来的号（纵坐标不变） 第2课时 正弦型函数的性质与图像（二） 课程标准 素养解读 1.会根据y=Asin(wx十p)的图像研究性质 1.根据y=Asin(wx十p)的图像及性质培养学生数学直观想 2.会根据y=Asin(awx十p)的图像确定其解 象和逻辑推理素养 析式 3.掌握利用y=Asin(wz十g)的图像解决 2.通过学习y=Asin(wz十o)的性质提升学生的数学运算 素养 问题 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] (1)若函数y=Asin(wx十o)是奇函数，则o应满足什 [知识点一]正弦型函数y=Asin(w.x十g)中，A,w, 么条件？ (2)若函数y=Asin(wz十o)(A>0,w>0)为偶函数， 9的物理意义 则9应满足什么条件？ 1.振幅： 2.初相： 3.周期： 4.频率：f= ·36·变式训练 1.解：找五个关键点列表： 0 π 3π 2π 2 2 sin x 0 1 0 0 1+2sin x 2 3 一1 在直角坐标系中描出五点(0,1)，（受3(，1）， (受，-1）2,1D,然后用光滑尚线顺次连接起来，藏得 到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图像. 3 2 0 [例2][解析](1)由2sin2r>1得sin2r≥2.把2x当 作整体t,画，y=sint的图像！ ↑y 一 2 3my=号 2 在[0,2]内，满足sin≥号有吾<1<晋。 1 所以<2x< 6 故在实数集R上2x满足 吾+x≤2≤要+20e五. 即是十km≤<晋+xk∈。 所以定义找为{x晋十k≤≤+x,∈Z (2)根据函数表达式可得 (sinx≥0， →2kr≤≤2kx十π(k∈Z), 025-x2≥0，{-5≤x≤5. 在数轴上表示如图所示. -2m-5-052m 由图示可得，函数定义域[-5，-π]U[0,x]. 变式训练 2.解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像，如图所 示，由国像可以得到满足条件的x的象合为[晋十2kx,爱 十2kπ]，k∈Z. Ay 1y=sinx,x∈[0,2m 5π 3 T 2π 6 2 6 -1 [例3][解]用五点法画出函数y=1+sinx,x∈[0,2π] 的图像，如图所示. ↑y 0 3π2m ·9 参考答案 (1)由图像可知，当x∈(0，π)时，y>1:当x∈（π，2π） 时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y=号，如因所示，可知 此直线与函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图像有两个 交点 变式训练 3.解：由图像易知(1)当a= 士1时，y=a与函数图像 只有一个交点」 (2)当a∈(0,1)U(-1, 0 3π /2m 0)时，y=a与函数图像有 两个交，点 随堂步步夯实 1.C[由正弦曲线知，①④正确.] 2.B[y=sin(-x)=-sinx,y=-sinx与y=sinx的图 像关于x轴对称，故选B.] 3.B[所描出的五，点的横坐标与函数y=sinx的五点的横 坐标相同，即0，受x,受，2，故选B.] 4.解析：由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sinx∈[ 1,1],要使得方程sinx=4m十1在x∈[0,2x]上有解，则 -1<4m+1长1，故-3≤m<0, 答案[-小 5.解：首先作出y=sinx在[0,2x]上的图像，如图所示，作 直线y=了，根据特殊角的正弦位，可知孩直钱与y=sm x,t[0,2x]的交点被坐标为吾和否 6 3 ---y= 2-y= 2π 2π5T 36 作直线y号，该直线与y=sin心，x∈[0,2]的交点横坐 标为行和 观察图像可知，在[0,2]上，当晋<≤晋或行≤r<号 时，不等式<nC成立. 2 所以 <sinr≤5的解集为 {后+2kx≤晋+2，kez 或停+x≤<晋+xeZ 7.3.2正弦型函数的性质与图像 第1课时正弦型函数的性质与图像（一） 课前预习学案 情境引入 提示：因简车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用 三角函数模型刻画它的运动规律， 知识梳理 知识点一、RRRR[-|A|,A][-1,1][-1, 1][-A,A门2x 必修第三册 [思考] 1.提示：只需把y=sin(x十9)向右(9>0)或向左(<0)平 移|p个单位长度即可得y=sinx的图像。 2.提示：：y=sin(w.r十g)=sinw(x十2)， ∴.由y=sin wr的图像向左（右）平移2|个单位长度 3.提示：y=sinx 各点横坐标支为原来的日 纵坐标不变 y=sin(@r) 左（右）平移乡个单位长度 w y=sin(wx+o) 各点的横坐标不变，纵 ↓坐标变为原来的A倍 =Asin(wx+) 预习自测 1.B[将函数y=sinx的图像向右平移号个单位长度，所 得图像对应的函数解析式为y=sin(x- ] 2.C[只需将画数y=sinx-吾)的图像上所有点的横坐 标变为原来的了，纵坐标不变，便得到高数y=sn(3x 若)的国像.] 向左平移行个单位长度 3.解析：y=sin2x y=sin2x+. 答案：=sn(2十5) 课堂互动学案 [例1][解](1)方法一（定义法） y=m(2z+晋） =sin(2x++2x）=sim[2(x+x)+于] 所以周期为元， 方法二（公式法) )=m(2x+7)中a=,T=恶-2经=元 w 2 (2y=2sim(7+晋）中w=-，周期T=哥 2=4. 1- (3)作图如下 -2m 观察图像可知周期为元 变式训练 1.解析：(1)T=2红=4. (2)T=2纸=3x,1a= w 子= 3 答案：14(2)士号 ·10 数学B [例2】[解析]（1)由y=2sm(2x+音)可知，周期T=x, 所以T 吧2in2r+答）用角 y-2sim[(-)）+看] =2sin(2x-）月 (2)y=sin 2x=cos(-2x)=cos(2r-) =o[2(-)]o[(-)] 若设fx)=im2x=o[(-骨)晋] 则f(+秀)=o(2:-): 向左平移个单位长度， [答案](1)D(2)A 变式训练 2.(1C[因为y=sim(2x+子)=2(x十若，所以将画 数y=sn2x的图像向左平移石个单位长度，就可得到函 数y=m2(+吾)=in(2x+号)的图像.] (2)c[y=sim2x-吾)=cos[登-(2z-若)] =o(-2r=m(2-) =o[(-)门故选c] [例3][解]方法一： 向右平移于个单位长度 y=sin x 纵坐标不变 y 将各点的横坐标缩短为原来的之倍 =n(-) 纵坐标不变 =n(2x-晋)} 将各点的飘坐标伸长为原来的3德y 横坐标不变 =3sin(2x-晋) 将各点的横坐标缩短为原来的一倍 方法二：y=sinx y 纵坐标不变 向右平移否个单位长度 =sin 2x 纵坐标不变 y =in[2x-)]=n2x-受) 将各点的纵坐标伸长为原来的3倍 横坐标不变 y=3sin(2x-零)月 变式训练 3.D[Gy=cosx=sin(（+登)} G上各点横坐标缩短为原来的倍 即y=sim(r+受） y=sim(2x+受）sin2(e+) 0 向左平移登个单位长 y=sin2(+至+登) =sn2(+号)=sim(2x+）门 [例41[解]令X=2x+至，则x=2(X-)） 列表： X 0 个 2π 8 客 3x 8 8 y 0 2.5 0 -2.5 0 描点连线，如图所示 y 2.5y=2.5sin(x+) 3π 8 85 8 -2.5 变式训练 4.解：列表： 2.x 11x 6 6 0 2 6 0 7π 5元 12 3 12 6 f(x) -1 0 2 0 一2 -1 描点连线得： 0 -2-k-----4---0 - 随堂步步夯实 1B[原函数图像向左平移工个单位后得y= sinz+若+空)=sin十受)u∈R)的图像，再把图像 上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y=s(宁十晋) (x∈R)的图像.] 2.D[由f(x)=sin(受+2x)的图像向左平移个单位得 到的是g)=sim2[登+2+子】-sn2z+停)的图 像.则g)=sin(2+吾)=sin=-1.门 3.C[将y=2sinx的图像向左平移文个单位长度，可以得 到y=2sim(x+)的图像；再将所得图像上所有点的横 坐标仲长到原来的3倍（纵坐标不变）可以得到y=2sin (兮十吾)的国像，故选C.] ·10 参考答案 4.解析：将函数f(x)=sin(or+)(ow>0,x∈R)的图像向 6 右平移号个单位长度后，可得y=in(ar一受+晋)的因 3 像.根据所得的图像与原画数图像重合，所以受=2π，k ∈Z,即w=6k,k∈Z,又0<w<7,则w=6. 答案：6 5.解析：第一步：列表. 3π 5π 9π 8 8 8 8 8 2.x- 3π 4 0 2x sin(2r-) 0 1 0 -1 0 0 √E 0 0 第二步：描点 第三步：连线画出图像如图所示： 0 -1 √2引 第2课时 正弦型函数的性质与图像（二） 课前预习学案 情境引入 (1)提示：因为y=Asin(wx十9)是奇函数，所以f(0)=0,因 此sin9=0,所以9=kπ，k∈Z. (2)提示：因为y=Asin(wx十p)为偶函数，所以f(0)=A或 f(0)=-A,即Asin9=A或Asin9=-A,所以有p=kx+ 受kez 知识梳理 知识点-1.A12.93T=符4子烈 [思考] 提示：对于y=Asin(wx十e)的单调性而言，A与w的正负 影响单调性，如果w<0,可以利用诱导公式sin(一a)=- sina将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间. 预习自测 1A[当x=0时yin(晋）-9<0，择除B,D:当 x=答时y=sin(2×名-号)=sim0=0,排徐C,故 选A.] 2.A[由T=2=元，解得w=2,则f(x)=sin(2x+于).该 函数图像关于点（号，0）对称.] 3.解析：对于画数y=2sin(2x-), 令2x-吾=kx十受∈D时d-经+晋(k∈刀. 6 答案：x经+子∈D