7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图像(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．3.2　正弦型函数的性质与图像 第1课时　正弦型函数的性质与图像(一) 课程标准 素养解读 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图像的影响 2．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤 3．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图像画法 1.通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的图像，培养学生数学抽象和直观想象素养 2．通过对三角函数的图像变换，提升逻辑推理素养 对应学生用书P32 [情境引入] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 提示：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数　 　一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0. 正弦型函数的性质 　函数 性质　 y＝Asin x y＝sin(x＋φ) y＝sin ωx y＝Asin(ωx＋φ) 定义域 　R　 　R　 　R　 　R　 值域 　[－|A|，|A|]　 　[－1,1]　 　[－1,1]　 　[－|A|，|A|]　 周期 　2π　 2π [知识点二]　A，ω，φ对函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像的影响　 1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响 2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响 4．对“图像变换法”的理解 　由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图像变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图像的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图像的变换称为振幅变换． 5．由y＝sin x的图像，通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，其常用的变化途径： ①y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)． ②y＝sin xy＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ) ③两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： ⅰ先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． ⅱ先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意． 1.怎样把函数y＝sin(x＋φ)的图像变换为y＝sin x的图像？ 提示：只需把y＝sin(x＋φ)向右(φ>0)或向左(φ<0)平移|φ|个单位长度即可得y＝sin x的图像． 2．由y＝sin ωx(ω>0)的图像得到y＝sin(ωx＋φ)的图像是如何平移的呢？ 提示：∵y＝sin(ωx＋φ)＝sinω(x＋)， ∴由y＝sin ωx的图像向左(右)平移||个单位长度． 3．由y＝sin x的图像，得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图像是否还有其他的变换方法？ 提示：y＝sin x [预习自测] 1．为了得到函数y＝sin(x－)的图像，只需把函数y＝sin x的图像(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 解析：B　[将函数y＝sin x的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为y＝sin(x－)．] 2．为了得到函数y＝sin(3x－)的图像，需将函数y＝sin(x－)的图像(　　) A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 解析：、C　[只需将函数y＝sin(x－)的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin(3x－)的图像．] 3．将y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________________________________________________________________________． 答案：y＝sin(2x＋) 对应学生用书P34 正弦型函数的周期 [例1] 求下列函数的周期： (1)y＝sin； (2)y＝2sin； (3)y＝|sin x|. [解]　(1)方法一　(定义法) y＝sin ＝sin＝sin， 所以周期为π. 方法二　(公式法) y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π. (2)y＝2sin中ω＝－，周期T＝＝＝4π. (3)作图如下． 观察图像可知周期为π. 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T＝来求解，对于形如y＝|Asin ωx|的函数的周期情况常结合图像法来求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝sin，x∈R的周期T＝　________　. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为3π，则ω＝　________　. 解析：(1)T＝＝4. (2)T＝＝3π，∴|ω|＝，∴ω＝±. 答案：(1)4　(2)± 三角函数图像的平移变换 [例2] (1)将函数y＝2sin(2x＋)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　) A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [思路点拨]　根据“相位变换”规则实现左右平移． [解析]　(1)由y＝2sin(2x＋)可知，周期T＝π，所以＝π， y＝2 sin y＝2sin ＝2sin. (2)y＝sin 2x＝cos(－2x)＝cos(2x－) ＝cos＝cos. 若设f(x)＝sin 2x＝cos， 则f＝cos， ∴向左平移个单位长度． [答案]　(1)D　(2)A 三角函数图像平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图像经过变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离． [变式训练] 2．(1)要得到函数y＝sin(2x＋)的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：C　[因为y＝sin(2x＋)＝sin 2(x＋)，所以将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)的图像．] (2)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，可以将函数y＝cos 2x的图像(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：C　[y＝sin(2x－)＝cos ＝cos)＝cos ＝cos.故选C.] 三角函数图像的伸缩变换 [例3] 如何由y＝sin x的图像得到函数y＝3sin的图像？ [思路点拨]　常采用的变换方法有两种：一种是先进行相位变换，后进行周期变换；另一种是先进行周期变换，后进行相位变换． 由函数y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换涉及到三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，三者的变换先后顺序没有特殊要求．但要注意，若先相位变换，后周期变换，需平移|φ|个单位，若先周期变换，后相位变换，则需平移个单位． 由函数y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤 [变式训练] 3．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 　 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 [例4] 作出y＝2.5sin的图像． [思路点拨]　利用“五点法”作出一个周期内的图像，然后按周期扩展． [解]　令X＝2x＋，则x＝. 列表： X 0 π 2π x － y 0 2.5 0 －2.5 0 描点连线，如图所示． 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图像． 2．“五点法” 作定区间上图像的关键是列表，列表的方法是： ①计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； ②取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； ③利用ωx＋φ的值计算y值； ④描点(x，y)，连线得到函数图像． 3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的步骤 第一步：列表. ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像． [变式训练] 4．作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图像． 解：列表： 2x－ － 0 π x 0 π f(x) －1 0 2 0 －2 －1 描点连线得： 对应学生用书P36 1．将函数y＝sin(x＋)(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图像的解析式为(　　) A．y＝sin(2x＋)(x∈R) B．y＝sin(＋)(x∈R) C．y＝sin(－)(x∈R) D．y＝sin(＋)(x∈R) 解析：B　[原函数图像向左平移个单位后得y＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)(x∈R)的图像，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y＝sin(x＋)(x∈R)的图像．] 2．设g(x)的图像是由函数f(x)＝sin (＋2x)的图像向左平移个单位得到的，则g等于(　　) A．1　　 B．－　　　C．0　　　D．－1 解析：D　[由f(x)＝sin (＋2x)的图像向左平移个单位得到的是g(x)＝ sin＝sin(2x＋)的图像，则g()＝sin(2×＋)＝sin＝－1.] 3．为了得到函数y＝2sin(＋)(x∈R)的图像，只需把函数y＝2sin x(x∈R)的图像上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解析：C　[将y＝2sin x的图像向左平移个单位长度，可以得到y＝2sin(x＋)的图像；再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)可以得到y＝2sin(x＋)的图像，故选C.] 4．若将函数f(x)＝sin(ωx＋)(o<ω<7)的图像向右平移个单位后恰与f(x)的图像重合，则ω的值是　________　. 解析：将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0，x∈R)的图像向右平移个单位长度后，可得y＝sin(ωx－＋)的图像．根据所得的图像与原函数图像重合，所以＝2kπ，k∈Z，即ω＝6k，k∈Z，又0<ω<7，则ω＝6. 答案：6 5．利用“五点法”作出函数y＝sin(2x－)在一个周期(闭区间)上简图。 解析：第一步：列表. x 2x－ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 y 0 0 － 0 第二步：描点． 第三步：连线画出图像如图所示： 对应学生课时P21 1．要得到函数y＝sin(4x－)的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：B　[依图像变换法则知选B.] 2．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin(2x－) C．y＝sin D．y＝sin 解析：C　[将y＝sin x的图像向右平移个单位长度得到y＝sin的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图像．] 3．函数y＝3sin的图像可由函数y＝3sin x的图像　________　而得到．(　　) A．先把横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 B．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) D．先向左平移个单位长度，再把横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)． 解析：D　[要正确区分先平移后伸缩与先伸缩后平移的不同．] 4．将函数y＝sin x的图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度后，得到函数f(x)的图像，那么所得图像的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：A　[将函数y＝sin x的图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin 2x的图像；再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin的图像．令2x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝＋，k∈Z.当k＝0时得图像的一条对称轴方程为x＝.] 5．函数f(x)＝sin 在区间上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C. D．0 解析：B　[由x∈得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝ sin在区间上的最小值为－.] 6．(多选题)若函数y＝2sin(x＋θ)的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，它的一条对称轴是直线x＝，则θ的可能的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：BD　[函数y＝2sin(x＋θ)的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到函数y＝2sin＋2的图像，因为它的一条对称轴是直线x＝，所以＋θ－＝kπ＋，k∈Z.θ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，θ＝，令k＝－1，θ＝－.] 7．把函数y＝sin的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到的图像对应的函数解析式为y＝　________　. 解析：由于函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍而纵坐标不变，从而判断出是周期变换，故ω由1变为. 答案：sin 8．将函数y＝sin 2x的图像向左平移φ(φ＞0)个单位，可得到函数y＝sin(2x＋)的图像，则φ的最小值为　________　. 解析：∵y＝sin＝sin 2(x＋)．∴φ最小值为. 答案： 9．(多空题)函数y＝sin的对称中心坐标是　________　，对称轴方程为　________　. 解析：令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z. ∴对称中心为，k∈Z. 令2x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z. ∴对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 答案：，k∈Z　x＝＋，k∈Z 10．已知函数y＝3sin， (1)用“五点法”画函数的图像； (2)说出此图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的． 解析：(1)列表： x－ 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点：在直角坐标系中描出下列各点，，， 连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来得到的所求函数的图像如图所示． 这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移，4kπ(k∈Z)，得到函数y＝3sin的图像． (2)(相位变换在周期变换的前面) ①把y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin(x－)的图像； ②把y＝sin(x－)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(－)的图像； ③将y＝sin(x－)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(x－)的图像． 11．已知函数f(x)＝2sin. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图像，并说明y＝f(x)的图像是由y＝sin 2x的图像怎样变换得到的． 解析：(1)f(x)＝2sin(2x＋)， 则f(x)的最小正周期T＝＝π. 当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝2. (2)列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 2 0 －2 0 根据列表，描点、连线，作图如下． y＝f(x)的图像是由y＝sin2x的图像经过以下变换得到的：先将y＝sin 2x的图像向左平移个单位，得到y＝sin(2x＋)的图像，再将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sin的图像． 12．已知f(x)＝2sin. (1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像． (2)写出f(x)的单调递增区间． (3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值． 解析：(1)列表： ＋ 0 π 2π x － f(x) 0 2 0 －2 0 作图： (2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (3)当＋＝＋2kπ，即x＝＋4kπ(k∈Z)时．f(x)max＝2. 13．设f(x)＝4sin(2x－)＋. (1)求f(x)在上的最大值和最小值； (2)把y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调减区间． 解析：(1)当x∈时，2x－∈. 当x＝0时，函数f(x)有最小值． 最小值f(x)min＝f(0)＝4sin＋＝－， 当x＝时，函数f(x)有最大值， 最大值f(x)max＝f＝4sin＋＝4＋. (2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝4sin＋的图像，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到y＝4sin＋的图像， 所以g(x)＝4sin＋. 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 所以g(x)的单调减区间是(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $