7.2.4 第2课时 诱导公式(二)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 1.利用诱导公式一~四化简应注意的问题 4.化简： (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到 统一角的目的： (1)cos(-a)tan(7x+a) sin(元-a) (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的 (2)sin1440+a)·cos(a-1080°) 符号有没有改变； cos(-180°-a)·sin(-a-180) (3)同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化 简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 2.三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 角三角函数. (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数 化为弦函数。 (3)注意“1”的变形应用. 随堂。步步夯实 -● 1.cos(- 1平am的值为 sin(+a)cos(2x-a)tan(-a) 4 ( 5.已知f(a)= tan(-元一a)sin(-元-a) 2 A.2 (1)化简f(a); D③ (2)若。是第三象限角，且na-x)=,求fa) c.- 6 2 的值； 2.已知an(号-o)=子，则am(+a)= 3 (3)若。=-求fa)的值。 司 c D.-2 3 3.计算sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°)· sin1410°等于 4.已知sin(45°十a)= 5 则sin(225°十a) ⊙温馨提 学习至此，请完成配套训练 第2课时 诱导公式（二） 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 到一般的数学推理意识和能力 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 素养 课前。预习学案 [情境引入] 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 观察如图单位圆及角。与受-a的终边. 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 当然会准确地回答出来：对称，角α关于水平面对称 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 关系呢？ ·20· 第七章三角函数 (I)角a的终边与交-a的终边有何关系？ 2.诱导公式五、六可用语言概括 (2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P,的坐标 (1)函数值：受士a的正弦（余弦）值，分别等于a的_ 为(，)，那么角受-a的终边与单位圆的交点P,的 函数值」 (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函 坐标是什么？ 数值的符号. (3)本质：单位圆中，终边关于y=x对称，互相垂直的 角的三角函数之间的关系。 (4)应用：与诱导公式一~四结合用于三角函数式求 值、化简、证明. [知识梳理] [知识点]诱导公式五、六 ?思考1.如何由公式四及公式五推导公式六？ 1.诱导公式五、六 公式五 公式六 终边 角受 a与角a的终 角受十a与角a的终 2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六， 关系 边关于直线y=x 边垂直. 有什么变化规律？ 对称. P2 y=x +a 图形 a 0 预习自测] 1.若sin(受+)<0，且eos(受 0)>0,则0是 sin(受 A.第一象限角 B.第二象限角 a)= sin( 十a)= C.第三象限角 D.第四象限角 公式 2.已知sina=号，则cos( -a) cos(2 十a)= 3已知cos(a)=号，则sn(+) 课堂。互动学案 规律方法 题型一 利用诱导公式求值 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 [例1](1)已知tana=3,求sin(a-元)十cos(π-a) (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求 sin(受-a)十cos(受+a） 角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的 的值. 差异 (2)已知sin(5-a)=?,求cos(答+a)·sin( 2元 (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的 角：将不同名的三角函数化为同名的三角函数. 十a)的值， 汇思路点拨了先化简，再求值 (8)注意：如号-a与否+a,晋+a与-a,牙 与年+a等互余，晋+0与餐-0，至+0与题-0 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要 善于利用角的交变换来解决问题. ◇[变式训练] 1.(1已知cos(受+p)=号，且1g<受，则amg A. 3 C.-5D.3 ·21· 必修第三册 数学B (2)cos(危-)=3，则sim(径+0) 题型 利用诱亭公式证明恒等式一 [例3]求证： A.3 B22 c.-3 D.-2 3 sin 0+cos 0 2sin(0- )os(0+)-1 2 题型二利用诱导公式化简三角函数式 sin 0-cos 6 1-2sin(π+0) [例2]化简： 汇思路点拨]先化简，再证明. (1)c0s(a-元) sin(π-a) …sin(a-)cos(+a tan(2x-a)sin(-2x-a)sin(+a) 2 (2) sin(a-x)cos( 3π 9 一a) [思路点拔] 确定角的变换→确定诱导公式 代入公式化简 规律方法 用诱导公式进行化简时的注意点 规律方法 三角恒等式的证明的策略 (1)化简后项数尽可能的少. (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或 (2)函数的种类尽可能的少. 从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简 (3)分母不含三角函数的符号. 的原则. (4)能求值的一定要求值. (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公 (⑤)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、 式变形法、“1”的代换法， 约分等。 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 3.求证，os6r+msin(-2x-)tan(2r-》=一tan0 2.化简： cos(s+9)sin(受+0) 2 sin(4x-a)cos(+a) 2 tan(5π-a) a(+acos(2r-a）sin(3m-a)sin(受 sin(2 -a） 题型四 诱导公式的综合应用 [例4]在△ABC中，若sin(2x-A)=-√2sin(π-B), √3cosA=-√2cos(π-B),求△ABC的三个内角】 汇思路点拨]先利用诱导公式化简已知的两个等 式，然后结合sinA十cos2A=1,求出cosA的值， 再利用A十B十C=π进行求解。 ·23· 第七章三角函数 规律方法 ◇[变式训练] 1.诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可 sin(x-a)cos(-a)sin(+a) 通过相加、相减分析两角的关系. 4.已知f(a) cos(π+a)sin(-a) 二看函数名称：一般是弦切互化。 (1)化简f(a); 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形. (2)若角A是△ABC的内角，且A)-号求nA 2.利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 sinA的值. 方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 关系式，还要注意三角形的隐含条件一一三角 形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活 运用. 在△ABC中，常用到以下结论： sin(A+B)=sin(-C)=sin C, cos(A+B)=cos(x-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(x-C)=-tan C, 、、、3三s之2人S2◆ 22 2 )=cos(- C)-sing 随堂。步步夯实 1.已知cos(a-元)= 3,且。是第四象限角，则 5 4.sin95°+cos175°的值为 sin(-2π+a) ) 5.若sin = 吾，且。是第三象限角，则 A号 c±号 c0sa+2021r 2.若cos(a十元)= 2 则sin(-a 3)一 2 ( 3 A号 B.2 c D.-⑤ N. B.6 3 3.化简sin(a+ )·0sa 3)·tan(牙-a)的结 c D-青 果是 ( ©温馨提 A.1 B.sin'a C.-cos'a D.-1 学习至此，请完成配套训练 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1正弦函数的性质与图像 第1课时 正弦函数的性质与图像（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 通过探索正余弦函数y=sinx的周期性、奇偶 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 性，重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 函数的奇偶性 素养 ·23·必修第三册 (2)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)= -tan135=-tan(180°-45)=tan45°=1. (3)原式=an(-至)十im(2x-吾) =-am-sin吾=-1- 3 =一21 变式训练 2.解：①cos210°=cos(180°+30°)=-cos30° = 2 ②n=in(2x+)=sin平=sin(x-平〉 4 4 4 =sin=2 421 @s(-g)=-n6x+3)=-s号 6 =m(x+)=sm吾-子 ④c0s(-1920)=c0s1920°=cos(5×360°+120) =c0s120=c0s(180°-60)=-c0s60=-2 [例3】[解]o(爱+a)=cos[x-(答-a门 3 变式训练 3.解析：(1)当k为偶数时，A=2:当k为奇数时，A=一2.故 A构成的集合为{一2,2. (2)因为cos(a-55)= <0，且。为第四象限角，所以 3 a-55°是第三象限角， 所以sin(a-55)=-√1-cos(a-555=-22】 3 所以sin(a+125)=sin[180°+(a-55°)] =-sin(a-55)=22 3 答案：(1)C(2)22 3 [例4][解析](I)f(a)=二sin coan&=cosa. -tan asin a (2)因为sina= 号，且a是第四象限角， 所以@=ms&=个s8茶=号 (3)f(-3)=c0s(-3到)=c0s(- 元1 3 3 31 变式训练 4.解：()原式=cos atan(π十a_cosa·tana sin a sin a =sin a=1. sin a (2)原式=sin4X360+a)·cos(3X360°-a cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] =sina·cos(-a）=cosa=-1, (-cosa)·sina 一COsa 随堂步步夯实 1.C[因为s(-)=w平=c(红+子)=eos子 2 tan 6 〔-)tm1g=-选C] 6 ·9 数学B 2B[a管+a)=iamx-(号-a]- 3.解析：sin(-1560)cos(-930)-cos（-1 380)sin1410 =sin(-4×360°-120°)cos(-3×360°+150°)-cos(-4 ×360°+60°)sin(4×360°-30°) =sin(-120°)cos150°-cos60°sin(-30°) 2 答案：1 4.解析：sin(225°+a)=sin[(45°+a)+180°] 一sin(45+a)=-3 答案：一3 5 5.解：(1)f(a)=-sin acosa(-tana) (-tan a)sin a =一cosa. 1 (2)sin(a-x)=-sina= .∴.sina= 5又a是第三象限角， ∴cosa= 25o)2 5 (3) 31π=-6×2x+ 5π 3 ..f(-3 3 ）=-cos(-6X2x+5) 3 =-cos 57 1 2· 第2课时诱导公式（二） 课前预习学案 情境引入 (1)提示它们的终边关于y=x对称， (2)提示 由于角。的终边与角登-口的终边关千)=x 对称，所以P2与P1关于y=x对称，所以P2点的坐标为 (y,x). 知识梳理 知识点1.cos a sin a cos a-sina2.(1)余弦（正弦） [思考] 1L.提示：in(受十a)=sin[x-(受-a)】 =sin( -a)=cos a. os(受+a)=cos[x-(受-a] =-cos(5-a）=-sina 2.提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名 改变，符号看象限。 预习自测 1.B[由于sin(5+)=cos0<0,cos(5-)=sin9>0, 所以角日的终边落在第二象限，故选B.] 2 2. 3.解析：sn(受+e)=sin[受-（答-a)] =s(答-a）=号 答案：3 课堂互动学案 [例1][解](1)sin(a一)十cos(元一a) sin(受-a）+cos(受十a） -sin a-cos a-tan a-1 cos a-sin a 1-tan a -3-1 = 1-3 =2. (2)cos(答+a）·sm(+a） =c[登-（管-a]·im[-(管-a] =sin(g-a）·sin(g-a） 变式训练 1.解折：1由c0(受十g)=-smg, 得sinp= 2 又g<受9=-ang=-an答=5 12 选A. 答案：(1)C(2)A [例2】[解析](1)原式=os。.sin[-(受 sin a a)](-sin a) =os。2.[-sin(2-a小(-sina） sin a -cos a.(-cos a)(-sin a) sin a =-c0s2a. tan(-a)sin(-a)sin[x+(+a)] (2)原式 sinl-(x-a]cosx+(受-a】 -tana(-sina)[-sin(受+a)】 -sin(x-a[-cos(-a】 -tan asin a(-cos a) -sin a(-sin a) tan asin acos a sin asin a =-1. 变式训练 2.解析：因为sin(4π一a)=sin(-a)=一sina, ceos受+e)=cos[4+(受+a门=os(受+a) =-sin a, sinc+a)=sin[4x+(受+a]=sim受+a） 2 2 sinx+-(受+a]=-sin(受+a)=-cosa, tan (5x-a)=tan(x-a)=-tan a,sin(3x-a)=sin(- a)=sina,所以原式=sin asin a -cos acos a -tan asin'a+1I-sin'a_cos'a-1. sin acos a cosa cos a cosa cosa 参考答案 -2sin(受-)·(-sin0)-】 [例3]证明：右边 1-2sin20 2simn+(受-]sing-1 1-2sin20 -2sin( -0)sin0-1 1-2sin20 -2cos 0sin 0-1 cos20+sin20-2sin20 (sin 0+cos 0)2 sin 0+cos 0 sin20-cos20 sin 0-cos =左边，所以原等式成立。 变式训练 3.证明：左边=cos @sin(-0)tan(-0) cos(+0)sin(+0) 2 -cos Osin an9=一tan0=右边. -sin 0cos 所以原等式成立， [例4]解析 由已知得sinA=②sinB①， V5cosA=√2cosB②， 由①2+②，得2c0s2A=1,∴cosA=士号与 当cosA=2时，CosB=岁 2 又A,B是三角形的内角A=至，B=吾 :.C=x-(A+B)=12. 7 当cosA= 号时msB= 2 又AB是三角形的内角，“A=子x,B=吾 A十B>x, c0sA=一)不符合题意，舍去. 馀上可知，A=至，B=晋，C=高x 变式训练 4.解：(1)f(a)= sin acos acosa =coS a. -cos a(-sin a) (2)因为fA)=c0sA=亏， 3 又A为△ABC的内角： 所以由平方关系，得sinA=√1-cos2A= 4 ， 所以tanA=sinA=4 cos A3, 所以tanA-sinA=是-4=8 3515 随堂步步夯实 1.A[由诱导公式可得cos(a-π)=-cosa= 13...cos a=后，又a是第四象限角sin(-2x十a)=sina=- 5 12 13 故选：A] 2.A[因为cos(a十x)=-cosa=- 号所以s=所 2 2 95 必修第三册 3.C[因为sima+空)=cosa,os(a一受) 2 -a)= =cos[r+(受-a)]=-sina,an(受 sin(受-a =cosg,所以原式=cosa(-sina)0s8= ms(-a sin a sin a cos2a,选C.] 4.解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°) c0s5°-c0s5°=0. 答案：0 5.C [sin() ，所以c0sa= 3 后，因为。 3 =-cosa= 是第三象限角，所以sina= ,所以cs(a+2021r） 4 5 2 cas1o10x+a+受）-sma=] 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1正弦函数的性质与图像 第1课时正弦函数的性质与图像（一） 课前预习学案 情境引入 (1)提示：每相隔1个单位重复出现. (2)提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 现，图像发生“周而复始”的变化. 知识梳理 知识点一、唯一正弦sinx 知识点二、L.非零常数T每一个f(x十T)=f(x)非零常 数T2.最小正数最小正数3.2kx(k∈Z,且k≠0)2π 知识点三R[-1,1】x=受+2kx,k∈乙1=警十 2kx,k∈Z-1奇函数[-十2kx,+2kx]k∈Z) [空+2kx,+2x]k∈z)kx,k∈Z [思考] 1.提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一 个值. 2.提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期 性，则其周期也不一定唯一。 3.提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y= sin2.x的最小正周期是r,因为y=sin(2x十2π)= sin2(x十π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上 的最小正数，π是对x而言的，而非2x ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函 数f(x)=C,任一个正实数都是它的周期，因而不存在最 小正周期. ③特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期 4.提示：不是.，f(x+3π)=sin(x+3π)=sin(x十x+2π)= sin(x+π)=-sinx≠f(x). ,.3π不是f(x)=sinx的周期. 5.提示：正弦函数y=sinx的对称中心为(kπ，0)，(k∈Z), 对称轴为x=号十km(k∈Z). 预习自测 1解析：由同期T-品，得行-好得w=之 答案：2 9 数学B 2.D 3.奇 课堂互动学案 [例1][解](1)方法一： :2sim(管-晋+2x）=2sn(学一若） 即2in[片+6x)-若]-2sm(传-晋) ∴y=2sin(号-)的周期是6元 方法二： :=6,函教y=2in(告一吾)的周期是6m, (2)方法一： 'sin(+x)=-sin zl=Isin zl. .函数y=|sinx的周期是元. 方法二： y=|sinx的图像如图所示. y 2T y=|sinx的周期是元. 变式训练 1.解：n(答+）=sin告=sin(x+吾） =-sin 而sin(）-sim子 上述等式成立. 但不能说明受是y=sin上的周期 理由如下：若5为y=sinx的周期， 3 则对任意实教x都有sm(r+）=sin, 但多=0时，sim(+警）≠imx 所以受不是y=sinx的周期。 [例2][解](1)显然x∈R, f(-x)=√2sin(-2.x)=-√2sin2x=-f(x), f(x)是奇函数 (2)x∈Rf)=sm(+)=-os， f-)=-cos 3(--cos 3x-f(). 4 4 ·画数fx)=in(学十)是偶画数。 变式训练 2.解：(1)y=sinx,x∈(-π，2x), 定义域不关于原点对称， ∴y=sinx,x∈（一元，2x)为非奇非偶函数. (2)y=sinx+1,x∈R, :f(受)=2，f()=0, “f()≠f()f(-)≠-f() 所以y=sinx+1为非奇非偶函数.