7.2.4 第2课时 诱导公式(二)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 13.在△ABC中，若sin(2π-A)=-√2sin(π-B), 当A= 4元时，c0sB= ∠0， √3cosA=-√2cos(元一B),求△ABC的三个 内角. 所以B∈（三 解析：由条件得sinA=√2sinB,√3cosA=√2 所以A,B均为钝角，不合题意，舍去 cos B, 所以A= 1,cos B=3 平方相加得2cos2A=1,cosA= 2, 2 所以B=音，所以C- 又因为A∈(0，x),所以A=元或 3 4 4 综上所速A=子B=C= 第2课时 诱导公式（二） 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 通过诱导公式的应用提 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊 升数学抽象和逻辑推理 到一般的数学推理意识和能力 素养 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 课前。预习学案 对应学生用书P20 [情境引入] 知识梳理] 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 [知识点]诱导公式五、六 的巍娥、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 1.诱导公式五、六 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 公式五 公式六 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 当然会准确地回答出来：对称，角α关于水平面对称 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 终边 角受-a与角a的终 角受十a与角a的终 关系呢？ 关系 边关于直线y=x 边垂直 观察如图单位圆及角a与号-a的终边. 对称 P /P. y=x P + 图形 )角a的终边与受 a的终边有何关系？ 提示它们的终边关于y=x对称， 6n sin(g十a)=cosa, -a)=cos a, 2 (2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P,的坐标 公式 cos(+a)- 为(x,),那么角受-a的终边与单位圆的交点P,的 e0s -a)=sin a. -sin a. 坐标是什么？ 2.诱导公式五、六可用语言概括 提示由于角。的终边与角罗一。的终边关于y=x (1)函数值：受士a的正弦（余弦）值，分别等于a的余 对称，所以P2与P1关于y=x对称，所以P,点的坐 标为(y,x) 弦（正弦）函数值， ·33· 必修第三册 数学B (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函 [预习自测] 数值的符号. (3)本质：单位圆中，终边关于y=x对称，互相垂直的 1.若sin(受+)<0，且cos(受 0)>0,则0是 ( ) 角的三角函数之间的关系。 (4)应用：与诱导公式一四结合用于三角函数式求 A.第一象限角 B.第二象限角 C,第三象限角 D.第四象限角 值、化简、证明. ?思考1.如何由公式四及公式五推导公式六？ 解析：B[由于sin(受+)=cos0K0,cos(受-) =sin0>0,所以角0的终边落在第二象限，故 提示：sin(受十a)=sin[x-(受-a)] 选B.] =sin(受-a)=cosa 2.已知sina= 则cos(受-) cos(受+a)=cos[元-（号-a)】 答案：号 -cos(-a)=-sin a. 2 3已知cos(-)=，则sin(+a)= 2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六， 解析：sin(答+a)=n[臣一（答-a] 有什么变化规律？ 提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即： 函数名改变，符号看象限 答案：号 课堂。互动学案 对应学生用书P21 利用诱导公式求值 规律方法 题型 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 [例1](1)已知tana=3,求sin(a一)十cos(元-a) (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求 sin(受-a)+cos(受十a) 角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的 的值. 差异. (2)已知sn(号-a)=号，求cos(看十a·sin(手 (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的 角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数. 十a)的值 3)注意：如-与十a,+与-a,至- 汇思路点拨]先化简，再求值， [解] (1)sin(a-)十cos(元-a) 与至+a等五余，晋+0与否-0，至+0与预-0 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要 sin(交-a)+cos(5+a) 善于利用角的变换来解决问题， -sin a-cos a-tan a-1 ⊙[变式训练] cos a-sin a 1-tan a -31=2. 1.1尼知o(受+g9且g<吾则mg 1-3 (2)cos(管+a)·sin(2昏+a) A. 3 B号 =cos[受-（号-a]sim[x-(受-a] C.-3 D.√3 (2)cos(一)=号则sn+) =sin(-a）·sin(号-a) A号 B.2② 3 c-号 D.-2 3 ·34· 第七章三角函数 解析：(1)由cos 2+）=sin=5 ⊙[变式训练] 2 2.化简： 得sino=- 2 sin(4元-a)cos(9+a) 2 tan(5πa) 又g<受9=-tan9=-tam sin(2+a)cos(2x-a）sin(3r-e)sin(受-a） (2rc0s(8一=言 解析：因为sin(4π-a)=sin(一a)=一sina, ∴sinc8+)=sin[受-(8一]=cos(1号一0) cos(2+a)=cos[4r+(受+a]=cos(受+e） 合故选八 =-sin a, 答案：(1)C(2)A 题型二】 利用诱导公式化简三角函数式 sin(+a)=sin[4+(受+a]=n(受+a） 2 [例2]化简： (1)c0s(a-x) sin(π-a) ·sin(a- 受)c0s(号 十a) sin[x+(受+a)]=-sin(受+a)=-cosa, fan(2元-a)sin(-2元a)sin(+a tan (5x-a)=tan(x-a)--tan a,sin(3x-a)- (2) sin(a-x)cos(-a) sin(x一a)=sina,所以原式= sin asin a 2 -cos acos a [思路点拨] 确定角的变换→确定诱导公式 -tan a 代入公式化简 sin acos a sin a 1)原式=sa】.sinl-(受 11-sin'a_cos'a-1. [解析] sin a cos a cosa cos a cos a a)](-sin a) 题型三 利用诱导公式证明恒等式 =cos(π-a sin a 2.[-sin(受-a](-sina） [例3]求证： -cos a.(-cos a)(-sin a) sin a sin 0+cos 0 2sim(02)cos(0计受》-1 =-cosa. sin 0-cos 0 1-2sin(π+0) tan(-a)sin(-a)sin[x+(+a)] (2)原式= 汇思路点拔]先化简，再证明. sin[-(x-a)Jeos[x+(Z-@)] -tan a(-sin a)[-sin(+a)] 2sin(经-)(-sn0-1 证明：右边= 1-2sin20 sin(r-a)[-cos(受-a)] -tan asin a(-cos a) 2sin[x+(受-0]sin9-1 -sin a(-sin a) 1-2sin20 tan asin acos a sin asin a 一2sin( --0)sin0-1 =-1. 1-2sin20 规律方法 用诱导公式进行化简时的注意点 -2cos 0sin 0-1 cos20++sin20-2sin20 (1)化简后项数尽可能的少 (2)函数的种类尽可能的少. =(sin 0+cos )2 sin 0+cos 0 (3)分母不含三角函数的符号， sin'0-cos0 sin 0-cos 0 (4)能求值的一定要求值. =左边，所以原等式成立 (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解 约分等. ·35· 必修第三册 数学B 规律方法 规律方法 三角恒等式的证明的策略 1.诱导公式综合应用要“三看” (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可 从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简 通过相加、相减分析两角的关系. 的原则. 二看函数名称：一般是弦切互化 (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 式变形法、“1”的代换法 法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形. ◇[变式训练] 2.利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 3.求证：os(6r十)sin(-2元一f)tan(2x-) =-tanθ casi受+0sin受+0 方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要 证明：左边=cos0sin(一)tan(-d) 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 cos(受+9)sin(受+) 关系式，还要注意三角形的隐含条件—三角 cos Osin Otan 0 一tan0=右边. 形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活 -sin Ocos 0 运用. 所以原等式成立 在△ABC中，常用到以下结论： 题型四 诱导公式的综合应用 sin(A+B)=sin(-C)=sin C, [例4]在△ABC中，若sin(2x-A)=-√2sin(x-B), cos(A+B)=cos(x-C)=-cos C, √3cosA=-√2cos(π-B),求△ABC的三个内角. tan(A+B)=tan(x-C)=-tan C, [思路点拨了“先利用诱导公式化简已知的两个等 C 式，然后结合sinA十cos2A=1,求出cosA的值， 再利用A十B十C=π进行求解。 2 C)=sin 2 C 解析 由已知得sinA=Zsin B①， ◇[变式训练] √5cosA=√2cosB②， sin(x-a)cos(-a)sin(受+a） 由①+②°，得2c0s2A=1,cosA= 4.已知f(a) 2 cos(π+a)sin(-a) 当c0sA-号时，msB-复 (1)化简f(a); 2 (2若角A是△ABC的内角，且A)-号求anA 又A,B是三角形的内角A=牙，B=晋 sinA的值. C=元-(A+B)=2元. 解：(1)f(a)= sin acos acosa -cos a(-sin a) =cos a. 当c0sA=-9时，0sB=-5. 2 2)因为fA)=cosA三3 又A,B是三角形的内角，A= 4，B=5 元. 又A为△ABC的内角： ,A十B>元， 所以由平方关系，得inA=√-cosA=音， cosA=- 2 不符合题意，舍去 所以tanA=sinA-4 cos A 3' 综上可知，A=子，B=吾，C=x 所以tamA-sinA=音音是 ·36· 第七章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P23 1.已知cos(a一π)= ,且a是第四象限角，则 5 解析：C [因为sin(a+受)=osa,cos(a 3 sin(-2π+a) =cos[x+(受 2-a)= a)]=-sina,tan( A号 R岩 一a) c-号 D是 cosg,所以原式=cosa(-sina) sin a 解析：A[由诱导公式可得cos(a-元)=-cosa= cos a 心cosa=最又e是第四象限角sin(一2 =-cos2a,选C.] 5 sin a 4.sin95°+cos175°的值为 十a)=sina= 12 ,故选：A] 解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5°)+cos(180° -5°)=c0s5°-c0s5°=0. 2.若c0s(a十x)=- 2 则sin(-a 3x)= ( 答案：0 A R号 s若me+ 号，且。是第三象限角，则 C. D.⑤ c0sa+2021x） 2 3 号所以 A. 解析：A[因为cos(a十x)=一cosa= cos a= 2 c D. 3.化简sin(a+受)·cos(a- )am(受 a)的结 解折.C[m(+）msa子所以4 三，因为a是第三象限角，所以sina ,所以 果是 A.1 B.sin2a 1010x+a+ -sin a C.-cos2a D.-1 台J 课后。素养提升 对应学生课时P13 基础过关 解析：C[,f(2009)=asin(2009π+a)+ JI CHU GUO GUAN bcos(2 009x+B)=-asin a-bcos a=5, 1.ce(-1)-sn(-1平)的值是 ( ∴.f(2020)=asin(2020元+a)+bcos(2020π+3) A.√2 B一√2 =asin a+bcos B=-5.] cos(a+π)·sin(a+3r) C.0 n号 3. 的值为( an(a-4x),tan(a-x)sin2a 解析：A[eos(-1sn(-1） A.1 B.-1 =cos(-4x一)m（-4-) C.sina D.tan a 解析：B[原式=a -cosa·sina cos(-)sim(-)=cos平+sin平=E.] ana·tana·cos3a -sin'a 2.设f(x)=asin(xx十a)+bcos(πx十3)，其中a,b, tana·cos2a a,3∈R,若f(2009)=5,则f(2020)等于( tan'a=-1.] A.4 B.3 tan a C.-5 D.5 ·37· 必修第三册 数学B 4.若9十cog2,则m0-5x)sn(经-0小等于 "sin 0-cos 0 8.在△ABC中，已知sin 会=，则co B+C 2 4 A.3 取+是 解析：A十B+C=,BC=元一A 2 221 c品 n盖 ..cos 2 解析：C[由in9十cos9=2,可得tan0=3, sin 0-cos a 答案： n0-5sn(-(-sn(- 9.(多空题)已知f代) sinπ.2(a<0), {f(x-1)-1(x>0), sin Ocos 6 sin20+cos20 则)一得) tan 3 tan0+110] 解析，()() 5.已知ea(爱+y),且<受，则am9等于 sin(-2x+)sin晋-2， ( 得)-f()1=f()2=m()-2 A. B⊙ C.-√5 D.√3 3 2=- 5 解指：C[白os(受g=-ig-怎sng= 答案：号 2 又p<受g-音img 10.已知角a的终边经过点P(一4,3)，求 2 6.(多选题)定义：角0与0都是任意角，若满足0十9 一的值 =90°，则称0与p“广义互余”.已知sin(π十a)= cos 子下列角日中，可能与角。“广义互余“的 解析：，角a的终边经过点P(一4,3)， 是 3 cos(受+a)sin(-x-a) A.sing=⑤ ∴.tana= 4’ 4 B.cos(x十B)= 4 cos-esn + C.tanB=√I5 DmA得 sina·sina -sina·cosa 解析：AC[由sin(元+a)=- 子，得-ma =tan a 3 1 4 4 11.已知a是第三象限角，f(a) 所以sng=故esa=士厘 4 由题意，若a与3“广义互余”，则a十B=90°， tan (-a-x)sin(-a-x) (1)化简f(a). 所以sing=cosa=土E, 4,cos月=sina=4,tanB (2)若c0sa一受)=号，求fe)的值 2 =土√5.故AC满足，D不满足；对于B,由cos(元 +8》=号得0s2=-子，不满足.] 解析：(1)f(a)= a+(r-w tan(-aπ)sin(-a-元) 7.已知n(受+o-号那么casa _-cosa）)·sin&·（-tana）=-cosa. (-tan a)sin a 解桥：sn(受+小sn(+小asa号 51 答案：号 从而sina=一 1 5 ·38· 第七章三角函数 又a为第三象限角，∴.cosa=一√1一sina= 13.是否存在角a,3,且a∈ （受0，x,使 2√6 5· 等式 同时成立 即f(a)的值为2⑤ 5· 3cos(-a)=-/2cos(x+8) 若存在，求出α，3的值；若不存在，说明理由. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.证明： 解：由条件，得sina=2sin月， ① (√3cosa=√2cosB. ② sin(2π- a)cos(π+a)cos ①2+②2，得sin2a十3cos2a=2, ③ cos(π-a)sin(3x a)sin(--e)sin(+a） 又因为sin2a十cos2a=1, ④ -tan a. 由@得ma=分：即ina=士 21 证明：左边= 4 (-sin a)(-cos a)(-sin a)cos 5x+(受-a] a)[- sinx+a小sin[4红++a] 当a一于时，代入②得c0sg9,又c0,. (-cosa)sin(元 所以月吾，代入①可知符合. sin acos a cos(j]】 当a=一 (-cos a)sin a[-(-sin a)]sin 2+a 时，代入②得ms月9，又E(0 sin'xcos a sin a_ 所以=否，代入①可知不符合。 =一tana=右边，所以原 -cos asin a cos a 式成立 综上所述，存在a=至9=晋满足条件 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦涵数的性质与图像 第1课时 正弦函数的性质与图像（一）》 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 通过探索正余弦函数y=sinx的周期性、奇偶 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 性，重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 函数的奇偶性 素养 课前。预习学案 对应学生用书P24 [情境引入] 日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几 否有这样的周期性呢？ 点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为 继续探究： 你很清楚，0，点、1点、2，点、3，点…23点，每隔24小 观察f(x)的部分图像，思考下列问题： 时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以 后是星期几？你也会回答：还是星期一，因为你很清 楚，星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现 34 一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如 “24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所 (1)观察图形，函数图像每相隔多少个单位重复出现？ 熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出 提示：每相隔1个单位重复出现. ·39·