7.2.4 第1课时 诱导公式(一)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 随堂。步步夯实 1.（多选题)若tana=t(t≠0)，且sina= 三，则 √1+ 4.已知0≤a≤受，sin acosa=2,则sine十cosa a可能是 A.第一象限角 B.第二象限角 C,第三象限角 D.第四象限角 5求证需88当-1 2.若tana=2,则sin2a-cos2a的值为 ( A.号 号 c n 3.已知sina-cosa=√2，则tana= A.-1 B.- 2 C温蓉提西 c号 学习至此，请完成配套训练 D.1 7.2.4话导公式 第1课时 诱导公式（一） 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（二）（三）（四） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 2.了解诱导公式的意义和作用 和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 证明问题 算素养 课前。预习学案 [情境引入] (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变 如图，作P,关于原点的 化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将 对称点P2,以OP2为终边的 重复出现 角3与角a有什么关系？角B, (3)此公式也可以记为：sin(a+k·360°)=sina, a的三角函数值之间有什么 cos(a+k·360°)=cosa,tan(a+k·360°)=tana. 关系？ 其中k∈Z. ?思考1.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三 角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数 值相等，则这两个角终边相同吗？ [知识梳理] [知识点一]诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 ,即 sin(a+k·2π)= ； cos(a十k·2π)= tan(a十k·2r)= (其中k∈Z). 注：诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为a十2kπ， 右边角为a. ·17· 必修第三册 数学B [知识点二] 诱导公式二、三、四 4.应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为 1.诱导公式 锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中。 公式二 公式三 公式四 2思考2.从函数名称和符号变化两个方面观察公 终 角元十a与角 角一a与角a 角元一a与 角a的终 式一至公式四，你能发现什么规律？ a的终边关于 的终边关于x 关系 原点对称 轴对称. 边关于y 轴对称. y 图 形 3.诱导公式中角a不能是锐角吗？ s1n(元a) sin(x+a)= sin(-a)= 公 a)= a)= C0s(π一a) tan(π十a)= tan(-a)= tan(π-a) 预习自测] 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角 1.sin1140°的值为 的三角函数之间的关系. A.-③ 3.作用： 2 B③ 2 公式二 将0~2π的角转化为0~元的角求值. c-2 公式三 将负角转化为正角求值. 2.已知tana=4,则tan(π一a)= 公式四 将 一π的角转化为0一交的角求值。 3.c0s(-30)°= sin 2 3 课堂。互动学亲 题型 诱导公式二及运用 规律方法 (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函 [例1]求下列各式的值： 数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化 asm2产+a(-1: 为0~2π角的三角函数值. (2)sin810°+cos360°-tan1125° (2)一些特殊角的三角函数值： 思路点拨了“此类问题的解答应先将角改写为 2kπ十a或k·360°+a(k∈Z)的形式，再运用诱导 角a 0°309 45°60 90% 120 150°180270°360 公式一求值 角a的 0 4 3 晋 5π 暨 2元 弧度数 sin a 0 竖 1 0 0 2 2 cos a 哈 0 1 ③ -1 0 不存 不存 tan a 0 1 3 V3 0 0 在 在 ⊙[变式训练] ·18· 第七章三角函数 1.求下列各式的值， 题型写 给值（式）求值尚题 (1)cos 25r+tan(-15): 4 [例3]已知cos( 6 ,求cos(5 十a)的值 (2)sin420°cos750°+sin(-690)cos(-660°). [思路点拨] 5元 十a=-（6 a),利用诱导公 式把要求角用已知角整体表示： 题型二 给角求值问题 [例2]求下列各三角函数值： (1co1:(2an(-85,(3)an要+sim 规律方法 [思路点拔了(1)利用诱导公式化正角为负角，化 (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与 所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 大角为小角，化小角为锐角，再求值。 差异及联系 (2)注意观察不同角之间的联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所 求式进行变形向已知式转化. ◇[变式训练] 3.(1)已知A= sin(kr+a+cos(kr十a）(k∈Z),则 sin a cos a A构成的集合是 A.{-1,1,-2,2} B.{1,-1} C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2} 规律方法 (2)已知c0s(a-55°)= 片，且。为第四象限角 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 则sin(a十125°)= “负化正” 用公式一或三来转化 题型四 化简求值问题 ------ “大化小” [例4幻已知a是第四象限角，且 用公式一将角化为0°到360°间的角 f(a)-sin(x-@)cOs(2x-a)tan(-a+2x) “小化锐” 用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 tan(一a+π)sin(3π一a) (1)化简f(a): “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 (2)若sina=- ⊙[变式训练 子，求fa: 2.求下列各三角函数式的值： (3)若a=- 求fo. ①cos210°； sin115 汇思路点拔]利用诱导公式将任意角的三角函数 转化为锐角的三角函数. ③sin(-袋)： ④c0s(-1920°. ·19· 必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 1.利用诱导公式一~四化简应注意的问题 4.化简： (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到 统一角的目的： (1)cos(-a)tan(7x+a) sin(元-a) (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的 (2)sin1440+a)·cos(a-1080°) 符号有没有改变； cos(-180°-a)·sin(-a-180) (3)同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化 简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 2.三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 角三角函数. (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数 化为弦函数。 (3)注意“1”的变形应用. 随堂。步步夯实 -● 1.cos(- 1平am的值为 sin(+a)cos(2x-a)tan(-a) 4 ( 5.已知f(a)= tan(-元一a)sin(-元-a) 2 A.2 (1)化简f(a); D③ (2)若。是第三象限角，且na-x)=,求fa) c.- 6 2 的值； 2.已知an(号-o)=子，则am(+a)= 3 (3)若。=-求fa)的值。 司 c D.-2 3 3.计算sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°)· sin1410°等于 4.已知sin(45°十a)= 5 则sin(225°十a) ⊙温馨提 学习至此，请完成配套训练 第2课时 诱导公式（二） 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 到一般的数学推理意识和能力 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 素养 课前。预习学案 [情境引入] 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 观察如图单位圆及角。与受-a的终边. 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 当然会准确地回答出来：对称，角α关于水平面对称 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 关系呢？ ·20·∴.sina+cosa=√(sina+cosa)2= 12017 169131 12 sin a-cos a= 13' sin a-13' 由 得 17 sina十cosa 13' cos a=13' ,∴.tana sin a 12 cos a 5 方法二：由题意得 (sin a-cos a-13 sin2a+cos2a=1. 5 12 sin a=- 解得 13 sin a-13' 或 12 5 coS a=- 13' cos a=13 0<a<r,∴.sina>0, 12 (sin a-13' cos a=13' ..tan a= sin a12 cos a 5 变式训练 5.解：(1)由sina十cosa= 1 5 平方得2 sin acos a= 24 251 12 .'sin acos a=- 25 (2)'(sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+ 2449 2525 7 :sina-cosa=士 随堂步步夯实 1BCT由tan。ng得cosa=Dg,所以cosa cos a 1 =<0,故a是第二、三象限角.] 1+ 2.C[由tana=2,得sina=2cosa,且sin2a十cos2a=1,所 以5co2a=1,得oma=日，所以na-cos2a=是.] 1 3.A[将等式sina-cosa=√2两边平方，得到2 sinacosa= -1,整理得1+2 sin acos a=0,即sina+cos2a+2sin acos a=0,所以(sina十cosa)2=0,所以sina十cosa=0, 由sina-cosa=√2和sina十cosa=0, 解得na=号a。=号。 故tana=ing=-l.] cos a 4.解析：由题意得sina十cosa=√(sina十cosa)2= W/1+2 sin acos a=√2. 答案：√瓦 5.证明：左边= (sin a-cos a+1)(sin a+cos a+1) (sin a+cos a-1)(sin a+cos a+1) -(sin a+1)2-cos2a (sin a+cos a)2-1 (sin2a+2sin a+1)-(1-sin2a) sin2a+cos2a+2sin acos a-1 2sin a+2sin a =1千2 2sin acos a- 2sina(sina十1)_1十sing=右 2sin acos a cos a 边，所以原等式成立. ·9 参考答案 7.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） 课前预习学案 情境引入 提示B=π十a,P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数. 知识梳理 知识点一、相等sin a cos a tan a 知识点二、l.-sina-cos a tan a-sin a cos a -tan a sin a -cos a -tan a [思考] 1,提示：这两个角的终边不一定相同，如sina=sin月=2， 1 则有可能是a=30°，3=150°. 2.提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化 简记：函数名不变，符号看象限. 3.提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中 要求a≠kx十受，k∈乙 预习自测 1.B[.1140°=3×360°+60°，.sin1140°=sin(3×360° +60)=sin60=57 2 2.-4 3 2 课堂互动学案 [例[解])sn2答+tam(1) =sin(8x+苓)十iam(-4x+) n-5+1=B+2 -sin 3+tan42 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125 =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360)-tan(3×360°+45) =sin90°+cos0°-tan45 =1+1-1=1. 变式训练 1 1.解：(1)因为cos =cs(晋+8)=c0s=， 3 tan( l5瓜)=tan(-4x+天)=tan交=1， 4 所以cos 3 3 (2)因为sin420°=sin(360°+60)=sin60°- 2 cos750°=c0s(2X360°+30°)=c0s30°=￥ 2 sin(-690)=sin(-2×360°+30)=sin30°= c0s(-660)=cos(-2×360°+60)=c0s60°= 1 2 所以sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°) -5x5+×=1. 222 、2 [例】[解]1eos1号要-cox2x+=a 6 =0s(x-吾) =一cos6 3 2 必修第三册 (2)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)= -tan135=-tan(180°-45)=tan45°=1. (3)原式=an(-至)十im(2x-吾) =-am-sin吾=-1- 3 =一21 变式训练 2.解：①cos210°=cos(180°+30°)=-cos30° = 2 ②n=in(2x+)=sin平=sin(x-平〉 4 4 4 =sin=2 421 @s(-g)=-n6x+3)=-s号 6 =m(x+)=sm吾-子 ④c0s(-1920)=c0s1920°=cos(5×360°+120) =c0s120=c0s(180°-60)=-c0s60=-2 [例3】[解]o(爱+a)=cos[x-(答-a门 3 变式训练 3.解析：(1)当k为偶数时，A=2:当k为奇数时，A=一2.故 A构成的集合为{一2,2. (2)因为cos(a-55)= <0，且。为第四象限角，所以 3 a-55°是第三象限角， 所以sin(a-55)=-√1-cos(a-555=-22】 3 所以sin(a+125)=sin[180°+(a-55°)] =-sin(a-55)=22 3 答案：(1)C(2)22 3 [例4][解析](I)f(a)=二sin coan&=cosa. -tan asin a (2)因为sina= 号，且a是第四象限角， 所以@=ms&=个s8茶=号 (3)f(-3)=c0s(-3到)=c0s(- 元1 3 3 31 变式训练 4.解：()原式=cos atan(π十a_cosa·tana sin a sin a =sin a=1. sin a (2)原式=sin4X360+a)·cos(3X360°-a cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] =sina·cos(-a）=cosa=-1, (-cosa)·sina 一COsa 随堂步步夯实 1.C[因为s(-)=w平=c(红+子)=eos子 2 tan 6 〔-)tm1g=-选C] 6 ·9 数学B 2B[a管+a)=iamx-(号-a]- 3.解析：sin(-1560)cos(-930)-cos（-1 380)sin1410 =sin(-4×360°-120°)cos(-3×360°+150°)-cos(-4 ×360°+60°)sin(4×360°-30°) =sin(-120°)cos150°-cos60°sin(-30°) 2 答案：1 4.解析：sin(225°+a)=sin[(45°+a)+180°] 一sin(45+a)=-3 答案：一3 5 5.解：(1)f(a)=-sin acosa(-tana) (-tan a)sin a =一cosa. 1 (2)sin(a-x)=-sina= .∴.sina= 5又a是第三象限角， ∴cosa= 25o)2 5 (3) 31π=-6×2x+ 5π 3 ..f(-3 3 ）=-cos(-6X2x+5) 3 =-cos 57 1 2· 第2课时诱导公式（二） 课前预习学案 情境引入 (1)提示它们的终边关于y=x对称， (2)提示 由于角。的终边与角登-口的终边关千)=x 对称，所以P2与P1关于y=x对称，所以P2点的坐标为 (y,x). 知识梳理 知识点1.cos a sin a cos a-sina2.(1)余弦（正弦） [思考] 1L.提示：in(受十a)=sin[x-(受-a)】 =sin( -a)=cos a. os(受+a)=cos[x-(受-a] =-cos(5-a）=-sina 2.提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名 改变，符号看象限。 预习自测 1.B[由于sin(5+)=cos0<0,cos(5-)=sin9>0, 所以角日的终边落在第二象限，故选B.] 2 2. 3.解析：sn(受+e)=sin[受-（答-a)] =s(答-a）=号 答案：3