7.2.4 第1课时 诱导公式(一)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 7.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（二）（三）（四） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 2.了解诱导公式的意义和作用 和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 证明问题 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P17 [情境引入] 如图，作P,关于原点的 对称点P2,以OP2为终边的 图 角B与角α有什么关系？角3， 形 a的三角函数值之间有什么 关系？ 提示B=π十a,P1与P2横坐 sin(元-a） 标，纵坐标都互为相反数. sin(π+a)= sin(-a)= [知识梳理] =sin a,cos 一sina,cos(π sin a,cos(-a) (π一a)= [知识点一]诱导公式一 式 十a)=-cosa -cos a,tan cos a,tan 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 tan(r十a)= a (元-a）= sin(a+k·2x)=sina; tan a. --tan a. tan a. cos(a十k·2x)=cosa: tan(a十k·2x)=tana(其中k∈Z), 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角 注：诱导公式一的结构特点 的三角函数之间的关系. (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α十2π， 3.作用： 右边角为a. 公式二 将0~2π的角转化为0一π的角求值. (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变 化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将 公式三 将负角转化为正角求值 重复出现 (3)此公式也可以记为：sin(a十k·360°)=sina, 公式四 将受~x的角转化为0~受的角求值。 cos(a+k·360°)=cosa,tan(a+k·360°)=tana. 4.应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为 其中k∈Z. 锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中. ?思考1.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三 ?思考2.从函数名称和符号变化两个方面观察公 角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数 式一至公式四，你能发现什么规律？ 值相等，则这两个角终边相同吗？ 提示；函数的名称都没有变化，符号随角的象限而 提示：这两个角的终边不一定相同，如sina=sin3 变化.简记：函数名不变，符号看象限 2,则有可能是a=30°，9=150 3.诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角《可以是任意角，要注意正切 [知识点二]诱导公式二、三、四 1.诱导公式 画教中要求a≠r十空k∈Z 公式二 公式三 公式四 [预习自测] 终 边 角π十a与角 角元一a与 1.sin1140°的值为 角-a与角a 角a的终 关 a的终边关于 的终边关于x 边关于y A.- 2 B 2 原点对称。 轴对称. 轴对称. C. 28· 第七章三角函数 解析：B[,1140°=3×360°+60°，.sin1140°= 3.c0s(-30)°= 2π ,sin sin(3x360+60)=sin60°-9.] 2.已知tana=4,则tan(π一a) 答案99 2 答案：一4 课堂。互动学亲 对应学生用书P18 题型 诱亭公式二及运用 [例1]求下列各式的值： (2)因为sin420=sin(360°+60)=sin60°=5】 2 asn2+am(） c0s750=c0s(2X360°+30°)=0s30°= 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125°. sin(-690)=sin(-2X360°+30)=sin30°= 1 汇思路点拨了此类问题的解答应先将角改写为 cos(-660)=c0s(-2×360°+60)=c0s60°= 1 2k元十a或k·360°十a(k∈Z)的形式，再运用诱导 2 公式一求值 所以sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°) [解](1)sin 25元 3 +tan 15π 一4 2 题型二 给角求值问题 [例2]求下列各三角函数值： n红=5+1=5+2 =sin号+ian=号 2 (1)c0s :(2an(-855):(3an+sn1g (2)sin810°+cos360°-tan1125 =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360)-tan(3×360° 汇思路点拔了()利用诱导公式化正角为负角，化 +45°) 大角为小角，化小角为锐角，再求值 =sin90°+cos0°-tan459 (2)注意观察不同角之间的联系. =1+1-1=1. [解](1)cos 7π 5π 规律方法 6 6 (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函 数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化 为0一2π角的三角函数值. =-c0s=-5 (2)一些特殊角的三角函数值： (2)tan(-855)=-tan855°=-tan(2×360°+ 角a 0° 301 45 60 90 120 150° 180 270°360 135)=-tan135=-tan(180°-45)=tan45° =1. 角a的 个 5π 3π 弧度数 4 3 3 6 2 2π (3)原式=tan(元- 平)+sin(2x一吾) sin a 1 0 2 2 2 2 1 0 =-tan至-sn晋=-1一号 1 1 cos a 1 2 2 2 0 0 1 3 2 2 0 不存 3 不存 tan a 0 0 规律方法 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ⊙[变式训练] “负化正” 用公式一或三来转化 1.求下列各式的值 “大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角 (1)cos 25x+tan( 3 15亚) 4 “小化锐” 用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 (2)sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°). “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 解：1)为cs2-c0s(号+8x)=0s- ⊙[变式训练] tan(- 15)=tam(-4r+)=tan=1， 2.求下列各三角函数式的值： 4 ①cos210°： 所以co25+am(-15)=+1= @sm平 ·29· 必修第三册 数学B ③sin(- 题型四 化简求值问题 ④c0s(-1920°). [例4]已知a是第四象限角，且 解：①c0s210°=c0s(180°+30°)=-c0s30 f(a)=Sin(r-a)cos(2x-a)tan(-a+2x) tan(-a十x)sin(3π-a) 2 (1)化简f(a): ②sin1 3 (2)若sina=- 3 -sin(2x+ )=sin 4 3r=sin(元一 求fa): =sin 42· (3)若a= 求fa. ③sin(- 43π )=-sin(6π+ 7π =-sin6 元 汇思路点拨]利用诱导公式将任意角的三角函数 6 6 转化为锐角的三角函数： 1 [解析] (1)f(a)= -sin acos atan a=cos a. ④cos(-1920°)=cos1920°=cos(5×360°+120°) tan asin a =c0s120°=c0s(180°-60)=-c0s60°= (2)因为sina= 后，且a是第四象限角， 3 题型 给值（式）求值问题 所以f(a)=cosa=√1-sina1- 94 25-5 [例3]已知cos( 十a)的值. (3)f(-3到)=cos(-3)=c0s( 3 3 )=cos [思路点拨] +a=元-( 1 6 6 a),利用诱导公 式把要求角用已知角整体表示， 规律方法 [解] cos(+a)=cos[x-(-)] 1.利用诱导公式一~四化简应注意的问题 -a)= 3 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到 3 统一角的目的； 规律方法 (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的 (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与 符号有没有改变； 所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 (3)同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化 差异及联系. 简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所 求式进行变形向已知式转化 2.三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 ⊙[变式训练] 3.(1)已知A= sin(kr十a)+cos(kr+a)(kEZ),则 角三角函数. sin a cos a (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数 A构成的集合是 ( 化为弦函数. A.{-1,1,-2,2} B.{1,-1} (3)注意“1”的变形应用. C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2} ⊙[变式训练] (2)已知cos(a-55°)= },且。为第四象限角， 4.化简： 则sin(a+125°)= (1)cos(-a)tan(7x+a) 解析：(1)当为偶数时，A=2;当为奇数时，A= sin(π-a) 一2.故A构成的集合为{-2,2. (2)sin1440+a)·cos(a-1080°) <0,且a为第四象限 cos(-180°-a)·sin(-a-180) (2)因为cos(a-55°)= 3 解：(I)原式=cos atan(r十a)-cosa·tana 角，所以a一55°是第三象限角， sin a sin a 所以sin(a-55)=-√-cosa-55)=-2y2 sin a=1. sin a 所以sin(a+125°)=sin[180°+(a-55)] (2)原式=sin(4X360°+a)·cos(3×360°-a) cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] sin(a-55)=2V2 3 sina·cos(-a）=cos&=-1. (-cosa)·sina-cosa 答案：(1)C(2)22 3 ·30· 第七章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P20 1.cos(- )tan- 4 灭的值为 6 4.已知sin(45°+a)= 是.则sin(25°十a） A.- 2 B.B 3 解析：sin(225°+a)=sin[(45°十a)+180] c-誓 =-sin(45°+a)= 5 解析：C[因为cos( 15)=es17=c0s(4+) 4 4 答案：品 =s子-竖.m1=an3-=-an 4 6 5.已知f(a)=sin(r十a)cos(2m-a)tan(-a) tan(-元-a)sin(-x-a) 所以co(-1)ml-=成选C] (1)化简f(a): 4 6 2.已知tam(受-a)=了则tan(5+a） (2)者e是第三象限角，且sina-x)=号，求fa) A司 的值； (3)若a=- c D.-2 号，求o)的值。 3 解：(1)fa)=一sin acostan）=-cosa. 析：B[an(管+e)=tanx一（受-a] (-tan a)sin a (2)sina-x)=-sin&-号 3.计算sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°) .'sin a=- 号又a是第三象限商， sin1410°等于 解析：sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°) cos a=- 25.fa)25 5 5 ·sin1410 =sin(-4×360°-120°)c0s(-3×360°+150°)- (3):-3=-6×2x+受 3 cos(-4×360°+60°)sin(4×360°-30°) =sin(-120)cos150°-cos60°sin(-30°) ∴f(-3)=-e0s(-6X2x+5) 3 =9×(-9+×是+}1 元1 2 3 =-cos 3=-2 答案：1 课后。素养提升 对应学生课时P11 基础过关 解析：C[原式=sin(360°-45)+sin(-360° JI CHU GUO GUAN 120)+cos(-360°+30)=-sin45°-sin60°+ 1.已知角a和3的终边关于x轴对称，则下列各式中 正确的是 ( ) c0s30°= 巨巨+巨一故选C] A.sin a=sin B 222 2 B.sin(a-2x)=sin B 3.sin2020的值等于 3 C.cos a=cos B D.cos(2π-a)=-cos3 A. 1 解析：C[由角a和B的终边关于x轴对称，可知阝 =-a十2kπ(k∈Z),故cosa=cosB.] 2.sin315°+sin(-480°)+c0s(-330°)的值为( c D. 1 A. B.-2 1 解析：D [sim 2020x-sin672 4π 4红 3 3 c号 n号 9数远n ·31· 必修第三册 数学B 4.化简sin(元+a)-cos(π十a)·cos(-a)+1的 .sin(r十a)=-sina=- 值为 ( ) 2, A.1 B.2sin'a tan(x+a)=tan a=- C.0 D.2 3 解析：D[原式=（一sina)2-(-cosa)·cosa+ 1=sin2a+cos2a+1=2.] 答率：日 3 5.若sin(x十a)= 2则sin(4-e)的值是( 10.求证：am2 a)sin(一2racs6r-@）=一tna. cos(a-元)sin(5ra） A 证明：左边=二tan asin(a)cos(一a) cos(π一a)s1n(元一a) C.- 2 n号 -tana(-sina)cosa=一tana=右边，原式 -cos asin a 解析：B[由题知，sina= 2,所以sin(4x-a)= 1 得证 11.求下列各三角函数值. -sin=一 (1)sin 1g）.c2co 29元 6: 6.(多选题)若cos(元十a)=一 ,则sin(2x+a)等于 (3)tan(-855). ( ) 解析：(1)sin 10π 3 -sin 10x 3 号 1 B.-2 4π c --sin 4π sin 3 D.3 2 2 解析：CD[由cos(π十a)=- 得sa=故 in(2x+a)=sina=±V1-cosa=士5.了 7.√2十2sin(2x一)一cos2(x+)可化简为 解析√2+2sin(2r-0)-cos(π+0) (3)tan(-855)=-tan855 -tan(2×360°+135°)=-tan135 2+2sin(-0)-cos0=1-2sin 0+sin0-1-sin 0 =-tan(180°-45°)=-tan(-45°) =1-sin0. 答案：1-sin0 am号×号+×号1 8.记cos(一80)=k,那么tan100等于 解析：，c0s(-80)=k,∴cos80°=k,.sin80°= 能力提升 NENG LI TI SHENG √1-k2,.tan80°=tan100tan809 12.化简下列各式， asin(号)os 7 √1-k (2)sin(-960)cos1470°-cos(-240°)sin(-210°). 答案：-二 7 k 解桥：n(号)m名 (多空恩已知os(x-e)-号（受a小则 sin(元+a)= ,tan(π+a)= 解析：cos(元-a)=一cosa=5 2 (2)sin(-960°)cos1470°-cos240°sin(-210°) cos a=_3 =-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°) , +cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin60°cos30° :受<a<sina= 2,tan a=3 2 ·32· 第七章三角函数 13.在△ABC中，若sin(2π-A)=-√2sin(π-B), 当A= 4元时，c0sB= ∠0， √3cosA=-√2cos(元一B),求△ABC的三个 内角. 所以B∈（三 解析：由条件得sinA=√2sinB,√3cosA=√2 所以A,B均为钝角，不合题意，舍去 cos B, 所以A= 1,cos B=3 平方相加得2cos2A=1,cosA= 2, 2 所以B=音，所以C- 又因为A∈(0，x),所以A=元或 3 4 4 综上所速A=子B=C= 第2课时 诱导公式（二） 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 通过诱导公式的应用提 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊 升数学抽象和逻辑推理 到一般的数学推理意识和能力 素养 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 课前。预习学案 对应学生用书P20 [情境引入] 知识梳理] 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 [知识点]诱导公式五、六 的巍娥、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 1.诱导公式五、六 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 公式五 公式六 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 当然会准确地回答出来：对称，角α关于水平面对称 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 终边 角受-a与角a的终 角受十a与角a的终 关系呢？ 关系 边关于直线y=x 边垂直 观察如图单位圆及角a与号-a的终边. 对称 P /P. y=x P + 图形 )角a的终边与受 a的终边有何关系？ 提示它们的终边关于y=x对称， 6n sin(g十a)=cosa, -a)=cos a, 2 (2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P,的坐标 公式 cos(+a)- 为(x,),那么角受-a的终边与单位圆的交点P,的 e0s -a)=sin a. -sin a. 坐标是什么？ 2.诱导公式五、六可用语言概括 提示由于角。的终边与角罗一。的终边关于y=x (1)函数值：受士a的正弦（余弦）值，分别等于a的余 对称，所以P2与P1关于y=x对称，所以P,点的坐 标为(y,x) 弦（正弦）函数值， ·33·