7.2.3 同角三角函数的基本关系式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 7.2.3同角三角函数的基本吴系式 课程标准 素养解读 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关 1.通过同角三角函数基本关系式的推导提升学 系式 生数学抽象和逻辑推理素养 2.理解同角三角函数的基本关系式 2.通过同角三角函数的基本关系式的应用，培 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化 养学生数学运算素养 简、求值和证明 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.“同角”一词的含义是什么？ 1,角的三角函数的定义是什么？ 2.两个公式成立的条件分别是什么？ 2.设角a的终边与单位圆位于点P(.x,y),根据三角 3.对任意的角a,sin2a十cos22a=1是否成立？ 函数的定义知y=sina,x=cosa,义=tana. (1)能否根据x,y的关系得到sina,cosa,tana的 关系？ (2)公式sin'a十cosa=1与tana=simg对任意角 2.基本关系式的变形公式 cos a sin'a=1-cos a, 都成立吗？ cosa=1-sin'a, sina+cos2a=1→ sina=±√/1-cos'a, cosa=±√1-sina, (sina±cosa)2=1土2 sin acos a. sin a=tan acos a, tan a=sin a cos a cos a= sin a tan a [预习自测] l.若sina= 后，且a为第四象限角，则tana的值等 [知识梳理] 于 ( [知识点]同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 B.-I2 5 基本关系式 语言描述 c n音 同一个角a的正弦、 平方关系 2.已知sing=- sin a+cos a=1 余弦的平方和等 号，且g<受则mg=（) 于1. sin a tan a,a 同一个角a的正弦、 商数关系 cos a C-3 余弦的商等于角a ≠kx+西(k∈ZD 2 的正切. 3.若sim9=号，am0<0,则cos0 14· 第七章三角函数 课堂。互动学案 题型一 利用基本关系式求值 规律方法 专求sna,ana, 己知角a的正切求关于sina,cosa的齐次式的方法 [例1]已知cosa= (1)关于sina,cosa的齐次式就是式子中的每 思路点拔]先由平方关系求sina,再由商数关 项都是关于sina,cosa的式子且它们的次数 系求tana 之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos a的n次幂，其式子可化为关于tana的式子， 再代入求值. (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2a十 cos2a来代换，将分子、分母同除以cos2a,可化 为关于tana的式子，再代入求值， 规律方法 ◇[变式训练] 求三角函数值的方法 2.已知tana=2,则 (1)已知sin(或cos),求tan0常用以下方式求解 (1)2sin a-3cos a cos20 =1-sin20 4sin a-9cos a sin 0 sin20+cos20=1 sin20=1-cos20 cos 6 (2)4sin'a-3sin acos a-5cos'a- 题型写 三角函数的化简 (2)已知tan0,求sin0(或cos0)常用以下方式求解 tan a-sin a 方法 [例3] sin20+cos20=1 化简：-cos atan a+sina tan=sin 0 求sin20,cos20→求sin0,cos0 方法二 tan20=1-cos0 思路点拨]本题中需化简的式子既有正弦、余弦， c0s20 当角日的范围不确定且涉及开方时，常因三角函 也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简， 数值的符号问题而对角日分区间（象限）讨论. 为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关 ⊙[变式训练] 系”开方化简。 1,.已知tana=青，且a是第三象限角，求sina,cosa 的值. 题型二正弦、余弦的齐次式化切求值 [例2]已知tana=3,求下列各式的值 (1cos asin a 规律方法 √5cosa+sina 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析 (2)2sin'a-3sin acos a. 好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方 汇思路点拨]化正弦、余弦为正切，再代入正切的 法有： 值求式子的值. (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从 而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式 分解，或构造sina十cosa=1,以降低函数次数，达到 化简的目的. ·15· 必修第三册 数学B ◇[变式训练丁 题型五sina主cosa与sin acos关系的应用] 3.化简下列各式： 7 (1)cos'a+sin a(1+cos a); [例5]已知0<a<π，sina-cosa= ,求tana. sin a 2)tana十tan asin a.(1+)·1十sina [思路点拨]先求sina十cosa的值，再联立方程组， tan a+sin a cos a 求出sina、cosa,再求tana. 题型四 利用同角三角函数关系证明 [例4幻求证，-2 sin cs&_1-tana cos a-sina 1+tan a [思路点拨]等式的左边相对复杂，因此可考虑 从左边向右边证明. 规律方法 (1)sina+cosa,sin acos a,sina-cosa三个式子 中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求 二”，它们的关系是：①(sina+cosa)2=1十 2sin acos a;2(sin a-cos a)2=1-2sin acos a; 3(sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; (sina-cos a)2=(sin a+cos a)2-4sin acosa. (2)求sina+cosa或sina一cosa的值，要注意判 规律方法 断它们的符号. 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差 (3)由sina+cos2a=1联立方程组也可以解得， 异，有目的的化简. 但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量 (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简. (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两 较大 边同时证 ◇[变式训练] (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等。 1 5.已知sina+cosa=5,求： ◇[变式训练] (1)sin acos a;(2)sin a-cos a. 4.求证：an9,sin0=1十cos0 'tan 0-sin 0 sin 0 ·16· 第七章三角函数 随堂。步步夯实 1.（多选题)若tana=t(t≠0)，且sina= 三，则 √1+ 4.已知0≤a≤受，sin acosa=2,则sine十cosa a可能是 A.第一象限角 B.第二象限角 C,第三象限角 D.第四象限角 5求证需88当-1 2.若tana=2,则sin2a-cos2a的值为 ( A.号 号 c n 3.已知sina-cosa=√2，则tana= A.-1 B.- 2 C温蓉提西 c号 学习至此，请完成配套训练 D.1 7.2.4话导公式 第1课时 诱导公式（一） 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（二）（三）（四） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 2.了解诱导公式的意义和作用 和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 证明问题 算素养 课前。预习学案 [情境引入] (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变 如图，作P,关于原点的 化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将 对称点P2,以OP2为终边的 重复出现 角3与角a有什么关系？角B, (3)此公式也可以记为：sin(a+k·360°)=sina, a的三角函数值之间有什么 cos(a+k·360°)=cosa,tan(a+k·360°)=tana. 关系？ 其中k∈Z. ?思考1.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三 角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数 值相等，则这两个角终边相同吗？ [知识梳理] [知识点一]诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 ,即 sin(a+k·2π)= ； cos(a十k·2π)= tan(a十k·2r)= (其中k∈Z). 注：诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为a十2kπ， 右边角为a. ·17·cos =-1OM1,an4红=- 2 5 6 P At'l. 0 显然|MP|>|MP|,符号 41,0)元 皆正， 1OM<OM1,符号皆负， 2xcos5 ..cos 4π 1AT>A7产1，符号皆负， 2g∠tan5 ".tan 3 4π 变式训练 2.解：如图，在单位圆O中分别作 出角要的正孩线M和要的余 弦线OM,、正切线AT! 由警-x一答知，MP-MP, M.A 又<2<x 472’ 易知cos与π<sin7 n5<tan2牙，故b<a<c. [剂8】[解]作直线y-号交单位圆于A,B两点，连 接OA,OB,则OA与OB围成的区域（如图(1）所示的阴 影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 2 0 (1) (2) 故满足要求的角a的集合为 {2+音<a≤红+晋e公 3 (2②)作直线=-号交单位圆于C,D两点.连接OC,OD, 则OC与OD围成的区域（如图(2）所示的阴影部分，包括 边界)，即为角α的终边的范围 故满足条件的角α的集合为 {e2x+≤a≤2a+gkez 变式训练 3.解析：点P在第一象限内， fsin a-cos a0 Itan a0, .fsin acosa, Itan a>>0. 0 结合单位圆（如图所示）中三角函 4 数线及0α2π. 可知子<a<受我x<a<职 [例4][解]由题意，自变量x应满足不等式组 11-2cosx≥0， ·9 参考答案 公 则不等式组的解的集合如图（阴-1 0 影部分)所示， {女2kx+晋<<2kx+子，∈Z 3 变式训练 4将俊题态侣。1 yx= ,sin a≥0， cos a 即 在直角坐标系中作单位圆，如图 所示， 由三角函数线可得 (2kr≤a≤2kx十x(k∈Z), 2kx-哥<a<2kx+号k∈Z, 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集 为{a2k≤a<2m+晋k∈zZ, 随堂步步夯实 1.B[依题意sina=1或sina=-1, .角a的终边在y轴上.] 2C[管和警的正孩线关于y轴对称，长度相等， 6 晋和号两角的正切线相同： 平和平的余孩线长度相等。 故①②③都正确，故选C.] 3.A[知图所示，当x=于和x= 3π 4 时，sinx=cosx,故使sin xcos x成 立的x的一个变化区间 [要]门 3π 4.解析：不等式的解集如图所示（阴影部 分)， “{ekx-吾<a<kx+受k∈Z}: 答案：{akm-答<a<kx+空，k∈z 5.解：由题意知，自变量x应满足1 2cosx≥0， 即cos≤， 则不等式组的解的集合如图（阴影部 分)所示， 函数的定义域为 {女2r+音<r<2kx+经k∈z} 7.2.3同角三角函数的基本关系式 课前预习学案 情境引入 1k提示：sina=兰，eosa=号，lana=兰 2.(1)提示：sin2a十cos2a=1,tana sin a cos a' 必修第三册 (2)提示：sina十cos2a=1对任意角a均成立，当a≠kπ十 牙，k∈Z时，ana-02成立. cos a 知识梳理知识点 [思考] 1.提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相 同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关 系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23a十cos23a =1成立，但是sin2a+cos2B=1就不一定成立. 2.提示：公式sin2a十cos2a=1对a∈R成立， 公式识。=ana造用的条件为aa子受+，∈Z. 2 3.提示：成立 预习自测 1.D ['.'sin a=- 且。为第回泉保角， csa=-sna=号，.tana=ne=宁 cos a 选D.] 2.C[:sin9=-亏， 3 os9=1-img-1-（-是=28. 251 4 .c0s9=5 3 从而tanp sin 5 cos 4 5 3.解析：由sin0= 3>0,tan0<0得cos0<0, 故cs0=一V-0=-告 答案：台 课堂互动学案 [例1][解]由sin2a十cos2a=1 得sin2a=1- ()-() 4∠0， 又因为cosa=- 所以α是第二或第三象限角， 当a在第二象限时，sina>0, 3 sina=5,tana=na=-子； 4 当a在第三象限时，sina<0, sna=-g,ama=0名子 3 变式训练 1解：由ana热&专得me-专os8, 0 又sin2a十cos2a=1, ② 由①@，将5cos2a十cosa=1,即cosa=易 又a在第三象限， 4 4 ·9 数学B √3cosa-sina [例2][解](1)原式 cos a √J3cosa+sina cos a 5-tanc_B-3=5-2. √3+tana +3 2sin2a-3sin acos a (2)原式=2sin2a-3 sin acos a cosa sin'a+cos2a sin'a+cos2a cosa _2tan2a-3tan a2X32-3X39 tan2a+l 32+1 101 变式训练 2.解析：(1)2sina-3cosg_2tana-32X2-3 4sin a-9cos a 4tan a-9 4X2-9=-1. (2)4sin2 a-3sin acos a-5cos2a 4sin2a-3sin acos a-5cos2a sin2a+cos2a 4tam㎡a-3tana-5_4×4-3X2-5=1. tan a+1 4+1 答案：(1)一1(2)1 sin a sina -sin a [例3][解]原式= cos a 1-cos a sin a+sin a cos a sin a /1-cos a sin a /(1-cos a)2 1-cos a /1+cos a 1-cos a 1-cos a sin a =1一cosa 1-cosg=±1. sin a 变式训练 3.解：(1)原式=cosa十sin2acos2a+sin2a =cos2a(cos2a+sin2a)+sin2a cosa+sin2a=1. (2)原式= tan a(1+sin a) ·1+cos. sin a tan a+tan acos a cos a 1+sin a 1+sin a.1+cos a, sin a 1十cosa cos a sin a=tan a. 1+sin a cos a [例4][证明]左边=sin2a-2 sin acosa十cos2a cos a-sina （cosa-sina)2 (cos a-sin a)(cos a+sin a) =osa一sin&=}tanc=右边. cosa十sina1+tana 原等式成立 变式训练 sin 0 4证明：左边=os分·sin0 sin20 sin -sin 0 sin 0-sin Ocos cos 1-cos20 (1-cos0)(1+cos0) sin (1-cos 0) sin (1-cos 0) 1+cos 0 =右边， sin 0 “原等式成立 [例5][解]方法一：，(sina-cosa)2= 1-2sin acos a-169' 49 ÷in co-0>0 又由0<a<π知sina>0, ∴.cosa>0,∴.sina+cosa>0. ∴.sina+cosa=√(sina+cosa)2= 12017 169131 12 sin a-cos a= 13' sin a-13' 由 得 17 sina十cosa 13' cos a=13' ,∴.tana sin a 12 cos a 5 方法二：由题意得 (sin a-cos a-13 sin2a+cos2a=1. 5 12 sin a=- 解得 13 sin a-13' 或 12 5 coS a=- 13' cos a=13 0<a<r,∴.sina>0, 12 (sin a-13' cos a=13' ..tan a= sin a12 cos a 5 变式训练 5.解：(1)由sina十cosa= 1 5 平方得2 sin acos a= 24 251 12 .'sin acos a=- 25 (2)'(sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+ 2449 2525 7 :sina-cosa=士 随堂步步夯实 1BCT由tan。ng得cosa=Dg,所以cosa cos a 1 =<0,故a是第二、三象限角.] 1+ 2.C[由tana=2,得sina=2cosa,且sin2a十cos2a=1,所 以5co2a=1,得oma=日，所以na-cos2a=是.] 1 3.A[将等式sina-cosa=√2两边平方，得到2 sinacosa= -1,整理得1+2 sin acos a=0,即sina+cos2a+2sin acos a=0,所以(sina十cosa)2=0,所以sina十cosa=0, 由sina-cosa=√2和sina十cosa=0, 解得na=号a。=号。 故tana=ing=-l.] cos a 4.解析：由题意得sina十cosa=√(sina十cosa)2= W/1+2 sin acos a=√2. 答案：√瓦 5.证明：左边= (sin a-cos a+1)(sin a+cos a+1) (sin a+cos a-1)(sin a+cos a+1) -(sin a+1)2-cos2a (sin a+cos a)2-1 (sin2a+2sin a+1)-(1-sin2a) sin2a+cos2a+2sin acos a-1 2sin a+2sin a =1千2 2sin acos a- 2sina(sina十1)_1十sing=右 2sin acos a cos a 边，所以原等式成立. ·9 参考答案 7.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） 课前预习学案 情境引入 提示B=π十a,P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数. 知识梳理 知识点一、相等sin a cos a tan a 知识点二、l.-sina-cos a tan a-sin a cos a -tan a sin a -cos a -tan a [思考] 1,提示：这两个角的终边不一定相同，如sina=sin月=2， 1 则有可能是a=30°，3=150°. 2.提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化 简记：函数名不变，符号看象限. 3.提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中 要求a≠kx十受，k∈乙 预习自测 1.B[.1140°=3×360°+60°，.sin1140°=sin(3×360° +60)=sin60=57 2 2.-4 3 2 课堂互动学案 [例[解])sn2答+tam(1) =sin(8x+苓)十iam(-4x+) n-5+1=B+2 -sin 3+tan42 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125 =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360)-tan(3×360°+45) =sin90°+cos0°-tan45 =1+1-1=1. 变式训练 1 1.解：(1)因为cos =cs(晋+8)=c0s=， 3 tan( l5瓜)=tan(-4x+天)=tan交=1， 4 所以cos 3 3 (2)因为sin420°=sin(360°+60)=sin60°- 2 cos750°=c0s(2X360°+30°)=c0s30°=￥ 2 sin(-690)=sin(-2×360°+30)=sin30°= c0s(-660)=cos(-2×360°+60)=c0s60°= 1 2 所以sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°) -5x5+×=1. 222 、2 [例】[解]1eos1号要-cox2x+=a 6 =0s(x-吾) =一cos6 3 2