7.2.3 同角三角函数的基本关系式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 13.利用三角函数线证明：若0<a<A<乏，则B-a> sin B-sin a. 证明：如图所示，单位圆O与x轴 (3) 正半轴交于点A, (3)如图(3)所示，过点 0作x轴的垂线，与 √3 与角B,a的终边分别交于点P,Q, 过点P,Q分别作OA的垂线，垂足 单位圆交于点P和P',则∠OP= 6∠aOp'= 分别是M,N,则sina=|NQl,sin 元 B=|MP|.过点Q作QH⊥MP于H,则|HP|= 61 所以满足条件的角a的集合是 MP|-|NQ|=sinB-sina.连接PQ,由图可 a-晋+2m≤a≤晋+2，kcz 知HP<PQ=AP-AQ=B-a,即B-a>sinB 6 sin a. 7.2.3 同角三角函数的基本吴系式 课程标准 素养解读 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关 1.通过同角三角函数基本关系式的推导提升学 系式 2.理解同角三角函数的基本关系式 生数学抽象和逻辑推理素养 2.通过同角三角函数的基本关系式的应用，培 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化 养学生数学运算素养 简、求值和证明 课前。预习学案 对应学生用书P14 [情境引入] sin a tan a,a 同一个角a的正弦、 1.角的三角函数的定义是什么？ 商数关系 cos a 余弦的商等于角a 提示：sina=,cosa=号，ana= kx十于k∈Z 的正切. x 2 2.设角α的终边与单位圆位于点P(x,y),根据三角 ?思考1.“同角”一词的含义是什么？ 函数的定义知y=ina,2-c0sa, -tan a. 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是 (1)能否根据x,y的关系得到sina,cosa,tana的 “角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义 关系？ 的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无 提示：sin'a十cos'a=l,tana=sina 关，如sin23a十cos23a=1成立，但是sin2a十cos29 cos a =1就不一定成立. (2)公式sin'a十coS'a=1与tana=sng对任意角 2.两个公式成立的条件分别是什么？ cos a 提示：公式sina十cos2a=1对a∈R成立， 都成立吗？ 提示：sin2a十cos2a=1对任意角a均成立，当a≠kπ 公式ng=tana适用的条件为aa≠受十k,人 cos a 十牙，k∈Z时，tana= ina成立. ∈Z}. 2 cos a 3.对任意的角a,sin2a十cos22a=1是否成立？ [知识梳理] 提示：成立 [知识点]同角三角函数的基本关系 2.基本关系式的变形公式 1.同角三角函数的基本关系 sin'a-1-cosa, 基本关系式 语言描述 cos'a=1-sin'a, 同一个角a的正弦、 sina+cos2a=1→ sina=±√1-cosa, 平方关系 sin'a+cos2a=1 余弦的平方和等 cosa=±√1-sina, 于1. (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. ·22· 第七章三角函数 sin a=tan acos a, sin a 解析：C[,sin9=一 tan a- 6, cos a sin a cos a- tan a .'.cos2o=1-sin2o=1-(- )2=16 [预习自测] 5 25 3,且a为第四象限角，则tana的值等 1.若sina= 又g<受即-<< 于 ( ) c0s9=5 12 A. B.-12 5 c品 从而tanp= sin o 3 D.一12 cOS 解析：D ['.sin a=- 3,且a为第四象限角， 3.若sin0=是，am9<0,则caos0 .'.cos a= √/1-sina= 1 13,.tan a= sin a cos a 12 解析：由sin=号>0，an长0祥c0s<0、 故选D.] 2.已知sin9= 3 且p<受，则1an9= 故c0s0=--sin0=-青 4 A.- 3 B. C.- 3 3 答案：青 4 D. 课堂。 互动学案 对应学生用书P15 题型 利用基本关系武求值 ⊙[变式训练] [例1]已知cosa= 奇，求sin a,tan d. L.已知tana= 3,且a是第三象限角，求sina,cosa 的值. 汇思路点拨] 先由平方关系求sina,再由商数关 系求tana 解：由ana=&音得na= 3 cos a, ① [解]由sina十cosa=1 又sin2a+cos2a=1, ② 得ma=1-()-(得 由①@，得9cosa+easa=1,即cosa=0 9 又Q在第三象限， 又因为cosa=一 0， ∴.cosa= 3 5,sin a= 3 cos a=- 4 所以α是第二或第三象限角. 5 当a在第二象限时，sina>0, 题型二 正弦、余弦的齐次式化切求值 sin a 3 [例2]已知tana=3,求下列各式的值. sina=号，tana= cos a 4 (1)3cos a-sin a 当a在第三象限时，sina<0, √3cosa+sina sin a-- tan a=sin a3 (2)2sina-3sin acos a. cos a 4' [思路点拨化正弦、余弦为正切，再代入正切的 规律方法 值求式子的值. 求三角函数值的方法 3cos a-sin a (1)已知sin(或cos),求tan0常用以下方式求解 [解] (1)原式 cos a √3-tana cos20=1-sin20 3cos a+sin a √3+tana sin20+cos20=1 tan o-ns cos a sin20=1-cos20 5-3=5-2. (2)已知tan0,求sin0(或cos0)常用以下方式求解 5+3 方法 2sin a-3sin acos a sin20+cos20=1 (2)原式=2sin'a-3 sin acosa coS a 求sin20,cos20 求sin0,cos0 sin a+cos a sin'a+cos a 方法二 tan0 =1-cos0 c0s20 cos'a 当角日的范围不确定且涉及开方时，常因三角函 2tan'a-3tan a2X32-3X3 9 数值的符号问题而对角日分区间（象限）讨论， tan'a+1 32+1 10 ·23· 必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 己知角a的正切求关于sina,cosa的齐次式的方法 3.化简下列各式： (1)关于sin a,cos a的齐次式就是式子中的每 (1)cos'a+sin'a(1++cos'a); 项都是关于sina,cosa的式子且它们的次数 (2)tan attan asina.(1+1). sin a 之和相同，设为n次，将分子、分母同除以c0s tan asin a cos a 1+sin a' a的n次幂，其式子可化为关于tana的式子， 解：(1)原式=cosa十sin'acos2a十sina 再代入求值. =cos a(cos a+sin a)+sin'a (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sina十 =cos a+sin'a=1. cos2a来代换，将分子、分母同除以cos2a,可化 (2)原式=tana(1+sina) 1十cosa. sin a tan atan acos a cos a 为关于tana的式子，再代入求值. 1-sin a 1+sina.1十cosa ⊙[变式训练] 1+cos a sin asin a=tan a. cos a 1-+sin a cos a 2.已知tana=2,则 题型四 利用同角三角函数关系证明 (1)2sin a-3cos a 4sin a-9cos a [例4]求证，1-2 sin_1-tana (2)4sina-3sin acos a-5cos a= cos a-sina 1+tan a 解析：1)2sina-3cosg_ 2tan a-3 2×2-3 [思路点拨了等式的左边相对复杂，因此可考虑 4sin a-9cos a 4tan a-9 4×2-9 从左边向右边证明. 1. (2)4sin2 a-3sin acos a-5cos'a [证明] 左边=sina-2 sin acosa十cos2a cosa-sin a 4sin a-3sin acos a-5cos a (cos a-sin a)2 sin a+cos a (cos a-sin a)(cos a+sin a) 4tan'a-3tana-5_4X4-3X2-5=1. cos a-sin a 1一tang=右边， tan a+1 4+1 cos a-+sin a 1+tan a 答案：(1)-1(2)1 .原等式成立 题型写 三角函数的化简 规律方法 tan a-sin a 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差 [例3] sin a 化简：1-cosa'√tana+sina 异，有目的的化简 (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简， [思路点拔]本题中需化简的式子既有正弦、余弦， 也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简， (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两 边同时证 为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关 系”开方化简。 (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等 ◇[变式训练] sin a -sin a 1+cos 0 [解 原式 sin a coS a 4.求证：tan·sin0 tan 0-sin sin0· -cos a sing十sina cos a sinθ cos a ·sin0 sin20 sin a 1-cos a sin a (1-cos a)2 证明：左边= sin 0 sin 0-sin 0cos 6 1-cos a 1-cos a 1-cos a 1-cos a cos 0 -sin 0 sin a 1-cos a_ 士1. 1-c0s20 (1-cos0)(1+cos6) 1-cos a sin al sin 0(1-cos 0) sin 0(1-cos 0) 规律方法 1十c0s0=右边， 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析 sin 0 好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方 原等式成立 法有： 题型五sin&王cosa与sin acos a关系的应用 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从 > 而减少函数名称，达到化繁为简的目的， [例5]已知0<a<,sin a-cos a=-3,求tana (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 [思路点拨]先求sina十cosa的值，再联立方程组， 平方式，然后去根号达到化简的目的. 求出sina、cosa,再求tana. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式 [解]方法一：：(sina-cosa)2=1-2 sin acos a 分解，或构造sina十cos2a=1,以降低函数次数，达到 49 化简的目的 169 24· 第七章三角函数 ∴.sin acos a= 规律方法 (1)sina+cosa,sin acos a,sina-cosa三个式子 又由0<a<元知sina>0, 中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求 .'cos a>0,.'.sin a+cos a>0. 二”，它们的关系是：①(sina十cosa)2=1十 .'sin a+cos a=(sin a+cos a)2= 1十169 120 2sin acos a;2(sin a-cos a)2=1-2sin acos a; 17 3(sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; (sina-cos a)2=(sin a+cos a)2-4sin acosa. 12 (2)求sina+cosa或sina一cosa的值，要注意判 sin a-cos a- 13' sin a= 131 断它们的符号. 得 17 cos a-13" (3)由sin2a+cos2a=1联立方程组也可以解得， sin a+cos a- 13 但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量 .'tan a- sin a12 较大. cos a ◇[变式训练] 7 方法二：由题意得 sin a-cos a-13' 5.已知sina十cosa= (sin'a+cos a=1. (1)sin acos a;(2)sin a-cos a. 5 sin a= 13' （sina=是 解得 或 解：(1)由sina十cosa=5' c0sa=一 12 1 cos a=13 平方得2 sin acos a= 24 25, .0<a<元，.sina>0, 12 [sin a= 2 .'sin acos a-- 251 13 24 cos a-13 (2)'.(sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+ 25 .∴.tana sin a12 4 5 cos a .sina-cosa=± 5 随堂。步步夯实 对应学生用书P17 1,（多选题)若tana=t(t≠0)，且sina t ，则 3.已知sina一cosa=√2，则tana= √1+t A.-1 a可能是 B.-2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 e号 D.1 解析：A[将等式sina一cosa=√2两边平方，得到 解析：BC[由tana=snC得cosa cos a 品2所以 2 sinacosa=-1,整理得1十2 sin acos a=0,即sina +cos2a+2 sin acos a=0,所以(sina十cosa)2=0, 1 cos a= <0,故α是第二、三象限角.] 所以sina十c0sa=0, 1+ 由sina-cosa=√2和sina十cosa=0, 2.若tana=2,则sina-cos2a的值为 A 解得sina= 2.cos a=- 2 2 故tana=sing=-1.] c. n告 cos a 4已知0≤a≤ 解析：C[由tana=2,得sina=2cosa,且sina十 2,sin acos=2,则sina十cosa 1 cosa=1,所以5c0sa=1,得c0sa=号，所以sina 解析：由题意得sina+cosa=√(sina十cosa)= √1+2 sin acos a=√2. 答案W2 ·25· 必修第三册 数学B 5.求证：sina一cosa十1_1+sina (sin2a+2sin a+1)-(1-sin2a) sin a+cos a-1 cos a sin'a+cos'a+2sin acos a-1 证明：左边=sina一cosa十1)(sina+cosa+1) 2sin2a+2sin a 2sin a(sin a+1)1+sin a (sin a+cos a-1)(sin a+cos a+1) 1+2sin acos a-1 2sin acos a cos a -(sin a+1)2-cos'a =右边，所以原等式成立. (sin a+cos a)2-1 课后。素养提升 对应学生课时P9 基础过关 JI CHU GUO GUAN ,则 5.若0是△ABC的一个内角，且sin0cos0=-。 1.a是第四象限角，tana= 5 12,sin a= sin0-cos0的值为 A. A.-3 2 号 c是 c-9 n 解析：D ['tan a= sin a- 12'sin'a+cos'a= 解析：D[由题意知∈(0，元). cos a 1,sina=±是a是第四象限角，sina 5 因为sin0cos0= 8,所以sin0-cos6>0, 即sin0 cos0=√/(sin0-cos0) 2.化简sin2a十cosa十sin2acos2a的结果是( ) V-2s5n6cos0=5.故选D.] A} 6.(多选题)若tana=3,则sina十2cosa= C.1 D是 B.-0 2 解析：C[sina十cosa十sin acos'a =sin'a+cos a(cos a+sin a) c n-号 sin'a+cos'a=1. 解析：AB[(sina+2cosa)2=sina+4 sin acos a 3.已知sina= 号，则sina一cosa的值为 ( +4cos'a A -号 sin'a+4sin acos a+4cos'a tan'a+4tan a+4 sin a+cos"a tan a+1 D 32+4×3+4_=5 32+1 Γ2 解析：B [sin'a-cos'a=(sin'a+cos'a).(sin'a 又tana=3>0,所以sina,cosa同号，故sina+ -coga)-sin'a-cos'a-2sin'g-1-2X-1- 2a四.] 2 ] 4.若3sina十c0sa=0,则eosa十2 sin acos& 1 7.已知ma=m(<a<到）则sna= 的值为 解析：因为tana=m,所以sinc=m. ( cos a 号 B号 又因为sina十cos2a=1, 1 m2 c号 D.-2 所以c0s2a= m2F1'sin'a= m2+11 2 解析：A[由3sina十cosa=0,得tana=一 又因为<。<经 1 sin a++cos a 所以sina<0,tana>0,即m>0. cos a++2sin acos a cos'a+2sin a cos a 因而sina= m 1 √m2+1 tan2 a+1 3 +1 1-2tan a 1-2×3 答案： m+1 ·26· 第七章三角函数 8已知n。一)号则o。-) cos z sin cos cos 1十tanX-右边. cos x sin a 1-tan x 解析：os(。-)=士√-sm。-)】 cos cos a =±)±2 1+2sin zcos 21+tan cos'x-sin2z 1-tan x' 答案： 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知sina+c0sg=2,计算下列各式的值： 9.(多空题)已知tana=3,则 sin a-cos a (1)2sin a-3cos a (1ca(2)sin'a-2sin acosa+1. 4sin a-9cos a 2sin a+3cos a' (2)sin'a-3sin acos a++1= 解析：由ina+cosg-2,化简得sina=3cosa,所 解析：(1)2sina-3c0se-2tana-3_ sin a-cos a 2×3-3 4sin a-9cos a 4tan a-9 4×3-9 以tana=3. =1； (1)原式=3tana-1_3X3-18 (2)sin2a-3sin acos a+1 2tana+32×3+39 sin'a-3sin acos a+sin'a+cos'a (2)原式=sina2 sin acos+1 sin'a+cos a sin a+cos a 2sin'a-3sin acos a+cos a2tan'a-3tan a+1 .tan'a-2tan a12X31-13 tan'a+1 32+1 -10 sin'a+cos'a tan'a++1 2×32-3×3+1=1. 13.已知关于x的方程2x2-(W3+1)x+2m=0的两 32+1 根为sin0和cos(0∈(0，元))，求： 答案：(1)1(2)1 (1)m的值： 10.化简：(1)0s36°√-c0s36 (2)-sin0 cos 0 √J/1-2sin36c0s36 1、1 1一tan的值： tan g (2)sin月-cos9, tan 0-1 (3)方程的两根及此时0的值. 解析：(1)由一元二次方程根与系数的关系可知， (3)tan+ 1 tan cos'Osin 0. sin 0+cos01,Dsin 0cos 0m. 2 解析：(1)原式= cos36√sin36 √sin360+cos36°-2sin36cos36 将①式平方，得1+2 sin os0=2士5 2 ,所以sin Ocos0 cos36°-sin36 cos36°-sin36° W√(cos36°-sin36)7 -Tcos36°-sin36T -代入②得阳 4 cos36°-sin36 cos 36-sin 36=1. (2) sin 0 cos sin20 1 (2)原式=sin0-cos0_cos9sin9-cos) 1 1-tan 0 sin 0-cos 0 tan 黑81 sin 0-cos 0 c0s20 sin'0-cos20 cos 0-sin 0 sin 0-cos 6 =sin 0+cos 0 cos 0. (3)原式 (cos sin cos'osin sin 6 cos =3+1 21 sin0+cos20 sin0·cos0 ·cos2sin0=cos0 sin a ·sin0=cos0. (3)由(1)得m-,所以原方程化为2-（十 11.求证：1+2sin2c0sx-1+an2 cos'x-sin'x 1-tan z' 2 证明：左边=1十2 sin xrcos x cosx-sinx sin 0=3 , sin 0=1 -21 所以 或 sin'z+cos'x+2sin ccos 2 cos'x-sin x cos 0=- 2 cos 0=13 (cosx十sinx)2 cos x+sin x (cos a-sina)(cos x+sin x) cos x-sin x 又因为9e(0,),所以0=号或晋 ·27·