7.2.2 单位圆与三角函数线（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 ②若t<0,则r=一√5t, 从而sna子后，se t -√5t -√5t 5,tana= ￥=2 变式训练 2.解析：因为y=3.x,sina<0,所以点P(m,)位于y=3.x 在第三象限的图像上，且m<0,n<0,n=3m. 所以OP=√m2+n2=√/10m=-√10m=√10. 所以m=-1,n=一3，所以m-n=2. 答案：2 [例3][解](1)，191是第三象限角， .tan191>0,cosl91<0, .tan191°-cos191>0. (2):受<2<，号<3<<4<经， .2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角. .'sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. .∴.sin2cos3tan4<0. 变式训练 3.解析：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. 所以tan120°sin269°>0. (2)因为<4<警，所以4孤度角是第三象限角， 所以c04<0,固为-2=-6x+至 4 所以-23严是第一象限角，所以tan(-23)>0, 4 4 所以cos4an(-23)<0. 4 随堂步步夯实 1.D[依题意可知点(2sin30°，-2cos30),即(1，-√5)，则 r=+(-=2,周北na=之=-] 护 2.C[由sim0K0.cos0K0知x+2kx<0<经+2kx,k∈乙。 ÷受+x号<要+，eZ “号是第二成第四象限角门 3,解析：因为sin0=y -26 /42+y2 5 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案：-8 4.解析：因为点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina>0,cos ≤0，所以{+20，解得-2<u≤3. 13a-90, 答案：-2<a≤3 5,解析：根据三角函数的定义，tana=4= 5 一吕，所以口= 12 -12,所以P(5,-12)r=13,所以sina=一13，cosa= 7 3,从而sina十cosa=一 7.2.2单位圆与三角函数线 课前预习学案 情境引入 提示sina=MP,cosa=OM,tana=AT. ·9 数学B 知识梳理 知识点一、1.x2十y2=12.横坐标纵坐标 知识点二、1.MP OM AT2.三角函数线 [思考] 1.提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之， 为负值， 2.提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数 值的正负。 预习自测 1.B[由三角函数线的定义知①③④正确，②错误.] 2.C[依题意cosa= 3 ，sima=， 所以s一sa=] 3解析：如图所示，作出受和平的正弦线，可得n0 (9 2 M 5π/ 课堂互动学案 [例1】[解]如图，作一号的终 边与单位圆交于点P,作PM⊥ x轴，M为垂足. (1,0) 直线x=1过点A(1,0)且与 /5πA 6 晋终边所在直线交子点工 所以一警的正弦线为应，余孩 线为OM,正切线为AT 依题毫∠POM=吾 所以Mp-名OM=AT-， 3 所以点P坐标为（一E 2 2 故sin(一 =-2 cs(）9am(） 变式训练 1.解：已知角a的正弦值，可知MP y 子则P点纵坐标为子所以 6 在y轴上取点(0，宁)，过该点作 x轴的平行线，交单位圆于P1, P2两点，则OP1,OP2是角a的终边，因而角a的取值集 合为{0口=2张x+否，成a=2kx+晋keZ [例2】[解】如图，sn否-=市，cos暂=-Oi,an 誓=-img-MP产， cos =-1OM1,an4红=- 2 5 6 P At'l. 0 显然|MP|>|MP|,符号 41,0)元 皆正， 1OM<OM1,符号皆负， 2xcos5 ..cos 4π 1AT>A7产1，符号皆负， 2g∠tan5 ".tan 3 4π 变式训练 2.解：如图，在单位圆O中分别作 出角要的正孩线M和要的余 弦线OM,、正切线AT! 由警-x一答知，MP-MP, M.A 又<2<x 472’ 易知cos与π<sin7 n5<tan2牙，故b<a<c. [剂8】[解]作直线y-号交单位圆于A,B两点，连 接OA,OB,则OA与OB围成的区域（如图(1）所示的阴 影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 2 0 (1) (2) 故满足要求的角a的集合为 {2+音<a≤红+晋e公 3 (2②)作直线=-号交单位圆于C,D两点.连接OC,OD, 则OC与OD围成的区域（如图(2）所示的阴影部分，包括 边界)，即为角α的终边的范围 故满足条件的角α的集合为 {e2x+≤a≤2a+gkez 变式训练 3.解析：点P在第一象限内， fsin a-cos a0 Itan a0, .fsin acosa, Itan a>>0. 0 结合单位圆（如图所示）中三角函 4 数线及0α2π. 可知子<a<受我x<a<职 [例4][解]由题意，自变量x应满足不等式组 11-2cosx≥0， ·9 参考答案 公 则不等式组的解的集合如图（阴-1 0 影部分)所示， {女2kx+晋<<2kx+子，∈Z 3 变式训练 4将俊题态侣。1 yx= ,sin a≥0， cos a 即 在直角坐标系中作单位圆，如图 所示， 由三角函数线可得 (2kr≤a≤2kx十x(k∈Z), 2kx-哥<a<2kx+号k∈Z, 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集 为{a2k≤a<2m+晋k∈zZ, 随堂步步夯实 1.B[依题意sina=1或sina=-1, .角a的终边在y轴上.] 2C[管和警的正孩线关于y轴对称，长度相等， 6 晋和号两角的正切线相同： 平和平的余孩线长度相等。 故①②③都正确，故选C.] 3.A[知图所示，当x=于和x= 3π 4 时，sinx=cosx,故使sin xcos x成 立的x的一个变化区间 [要]门 3π 4.解析：不等式的解集如图所示（阴影部 分)， “{ekx-吾<a<kx+受k∈Z}: 答案：{akm-答<a<kx+空，k∈z 5.解：由题意知，自变量x应满足1 2cosx≥0， 即cos≤， 则不等式组的解的集合如图（阴影部 分)所示， 函数的定义域为 {女2r+音<r<2kx+经k∈z} 7.2.3同角三角函数的基本关系式 课前预习学案 情境引入 1k提示：sina=兰，eosa=号，lana=兰 2.(1)提示：sin2a十cos2a=1,tana sin a cos a'必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 1.判断三角函数值正负的两个步骤 3.判断下列各式的符号： (1)定象限：确定角a所在的象限， (1)tan120°sin269°； (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全 正二正弦，三正切，四余弦”来判断. (2)cos4tan(-235. 4 提醒：若sina>0,则a的终边不一定落在第一象 限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半 轴上 2.正弦、余弦函数值的正负规律 终边在x轴上方的角的 终边在x轴下方的角的 正弦值为正 正弦值为负 上正) 正弦函数值 下负 左负) 余弦函数值 (右正 终边在y轴左侧的角的 终边在y轴右侧的角的 余弦值为负 余弦值为正 随堂。步步夯实 1.如果a的终边过点(2sin30°，-2cos30°)，那么sina 4.已知角a的终边经过点(3a-9,a十2)且sina>0, ( cosa≤0，则实数a的取值范围是 A号 B-号 5.已知角a的终边过点P(5,a),且tana=- 求 C D. sina十cosa的值. 2 2.若in0长0，c0s0<0,则号是 ( A.第二象限角 B.第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半 轴，若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 则 7.2.2 单位圆与三角函数线 课程标准 素养解读 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 正弦、余弦和正切 解决问题，提升直观想象与数学抽象素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 课前。预习学案 [情境引入] 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓 地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向 美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些 什么呢？ ·10· 第七章三角函数 [问题]将图中的水车抽象出 y α的 则角 α 的正弦线为，余弦线为 T 终边 一个数学模型，建立平面直角坐 正切线为. 标系(如图所示)，设水车的轮廓 P A(1，0) 为单位圆.在平面直角坐标系 M 2.正弦线、余弦线和正切线都称为. 中，任意角 α 的终边与单位圆交 ?思考 1.三角函数线的方向是如何规定的? 于点P，过点P 作 PM⊥x 轴， 过点A(1，0)作单位圆的切线， 交 α 的终边或其反向延长线于点 T， 结合三角函数的 定义， 你能得到sin a， cosa， tana与 MP，OM，AT 的 关系吗? 2.三角函数线的长度和方向各表示什么? [知识梳理] [知识点一]单位圆 1.在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成 的集合称为单位圆. [预习自测] 2.角 α 的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为 (cosa， sina) ， 即角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 1.下列四个命题中： 终边与单位圆交点的和. ①当 α 一定时，单位圆中的正弦线一定； [知识点二]三角函数线 ② 在单位圆中，有相同正弦线的角相等； 1.角a的终边与单位圆交于点P，过P作 PM⊥x 轴， M为垂足，点A(1，0)，直线 x=1 与角 α 终边所在 ③a和 α+π 有相同的正切线； 直线交于点T，如图. ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直 α 的终边 α的终边 T 线上. P 则错误命题的个数是 () A(1，0) A(1，0) M MO A.0 B.1 C.2 D.3 T 2.角 α 的终边与单位圆交于点 $$P \left( - \frac { 3 } { 5 } ， \frac { 4 } { 5 } \right) ，$$ 则 sin a T ty -cosα 等于 () M A(1，0) A(1，0) $$A . - \frac { 7 } { 5 }$$ $$B . - \frac { 1 } { 5 }$$ $$C . \frac { 7 } { 5 }$$ $$D . \frac { 1 } { 5 }$$ P p T α的终边 α的终边 3. $$\theta \in \left( \frac { \pi } { 2 } ， \frac { 5 \pi } { 4 } \right)$$ ，则 sinθ 的取值范围是. 课堂·互动学案 题 题型一 三角函数线 规律方法 [例1] 作出 $$- \frac { 5 \pi } { 6 }$$ 的正弦线、余弦线和正切线，并利 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单 数线求出 $$- \frac { 5 \pi } { 6 }$$ 的正弦、余弦 和正切. 位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到 垂足，从而得到正弦线和余弦线 [思路点拨] ] 作出单位圆，再作出 $$- \frac { 5 \pi } { 6 }$$ 角. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线， 交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可 得到正切线 $$\overrightarrow { A T } .$$ 11 · 必修第三册 数学B ⊙[变式训练】 题型三利用三角函数线解不等式（组） 1.在单位圆中，画出满足sina= 号的角。的终边，并 [例3]在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边 求角a的取值集合 的范围，并由此写出角α的集合. (1)sina≥ 2 (2)cosa≤-分 [思路点拨]在单位圆中画出角的三角函数线， 观察图形即可求解， 题型三利用三角函数比较大小 [例2] 利用三角函数线比较sm答和sin悟，c0 2元 和c0s悟，an彩和an行的大小， [思路点拔先作出三角函数线，再比较大小. 规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不 等式，应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间，即0~2π内满足条件的角 日的范围，然后再加上周角的整数倍 规律方法 (2)注意区间是开区间还是闭区间. 。 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般 ◇[变式训练] 分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角 3.己知点P(sina-cosa,tana)在第一象限，若a∈ [0,2π)，求a的取值范围. 函数线的长度.(3)确定有向线段的正负， ◇[变式训练] 2.利用三角函数线比较a=sn受6-sΞc=m亭的 大小 ·12· 第七章三角函数 题型四“利用兰角函数线求函数的定文域“ ◇[变式训练] [例利求函数f)-2a7+nanr号)的定 4.已知函数f(a)=√Sina+lg(2cosa一1)，求函数f(a) 的定义域 义域 [思路点拔]在单位圆中画出三角函数线，构造 不等式组求解： 规律方法 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式 (组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三 角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在 单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再 取公共部分 随堂⊙步步夯实 1.已知角a的正弦线是单位的有向线段，那么角a的 5.求函数y=√1-2cosx的定义域. 终边 A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=一x上 2.有三个命题：①晋和的正弦线长度相等，②号和 的正切线相同；③不和平的余弦线长度相等.其 3 中正确说法的个数为 A.1B.2 C.3 D.0 3.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 ( A[] B[,] c【-] D.[0,x] ©温馨提 4.不等式tan&十>0的解集是 学习至此，请完成配套训练 ·13·