7.2.2 单位圆与三角函数线（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 10.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴 (1)当>0时，r=√10k,a是第四象限角， 重合，角a的终边经过点P(4,一3)， -3k_ 3W√10 求sina,cosa,tana. sin a= √10k 10 解析：由x=4,y=一3，得 1 r_√10x r=OP=√4+(-3)7=5. =√/10， cos a x 故sina=_3=- 5 5.cos a-4 5,tan a=-3 4 .10sin a+3 =10× 3/10 +3√10 cos a 10 3 =-3√10+3√10=0. 11.判断下列各式的符号： (2)当k<0时，r=一√10k,a为第二象限角， (1)sin340°·cos265°. sin a=y -3k3√/10 23π -√10k 10 )sin4·tang 1 √10k 解析：(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象 =-√/10， cos a 2 限角， 所以sin340°<0，cos265°<0， 10sin a+-3 =10x3v 10 +3×(-√10) cos a 所以sin340°·cos265>0. =3√10-3√10=0. (2)因为π<4<3，所以4是第三象限角， 综上所述，l0sina十3 =0. cos a 因为-23 13.已知点M是圆x2+y=1上的点，以射线OM为 4 =一6元+ 4 所以一23π是第一象限角。 终边的角a的正孩值为一罗，求c0s。和1m。 4 的值 所以sin4<0,tan 0p0 解析：设，点M的坐标为(x1,y).由题意，可知sina= 所以sin4·tan ,即=- 2 .因为点M在圆x+y=1上 2 能力提升 所以x十y=1, NENG LI TI SHENG 12.已知角a的终边在直线y=一3x上，求10sina十 =1, c的值 解得x,= 21 解：由题意知，cosa≠0. 设角a的终边上任一点为P(k,一3k)(k≠0)，则x 所以c0sa= 或cosa 2 2 =k,y=-3k,r=√R+(-3k)=√10k1. 所以tana=-1或tana=l. 7.2.2 单位圆与三角画数线 课程标准 素养解读 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 正弦、余弦和正切 解决问题，提升直观想象与数学抽象素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 课前。预习学案 对应学生用书P10 [情境引入] 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓 地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向 美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些 什么呢？ ·16· 第七章三角函数 [问题]将图中的水车抽象出 a的 2.正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线 一个数学模型，建立平面直角坐 终边 2思考1.三角函数线的方向是如何规定的？ 标系（如图所示），设水车的轮廓 A(1,0) 提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正 为单位圆.在平面直角坐标系 0 值，反之，为负值 中，任意角a的终边与单位圆交 2.三角函数线的长度和方向各表示什么？ 于点P,过点P作PM⊥x轴， 提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示 过点A(1,0)作单位圆的切线，交a的终边或其反向 三角函数值的正负. 延长线于点T,结合三角函数的定义，你能得到sina, [预习自测] cosa,tana与MP,OM,AT的关系吗？ 1.下列四个命题中： 提示sina=MP,cosa=OM,tana=AT. ①当α一定时，单位圆中的正弦线一定； [知识梳理] ②在单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③a和a十π有相同的正切线； [知识点一]单位圆 ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直 1.在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y2=1的点组 线上. 成的集合称为单位圆。 则错误命题的个数是 ( 2.角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为 A.0B.1C.2 D.3 (cosa,sina),即角a的余弦和正弦分别等于角a 解析：B[由三角函数线的定义知①③④正确， 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 ②错误.] [知识点二]三角函数线 2角a的终边与单位圆交于点P(号，号)，则in@ 1.角a的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴， cosa等于 M为垂足，点A(1,0),直线x=1与角a终边所在 直线交于点T,如图 A.-5 B.-3 c D.5 α的终边 解析：C[依题意cosa=一 3 α的终边 y 所以sina-cosa= 7 A(1,0) A(1,0) 5 3.若c(〔三，)则sim9的取值范固是 解析：如图所示，作出受和5的正孩线，可得sin0 4 A(1,0) M4(1,0) 〔 P a的终边 a的终边 则角a的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线 为AT. 课堂。互动学案 对应学生用书P11 题型 三角函数线 [解] 如图，作一5严的终边 6 [例1] 作出 5严的正弦线、余弦线和正切线，并利 与单位圆交于点P,作PM ⊥x轴，M为垂足 (1,0) 用三角函数线求出 的正弦、余弦和正切. 6 直线x=1过，点A(1,0)且 [思路点拔] 作出单位圆，再作出一号角。 与晋 终边所在直线交于 点T 17· 必修第三册 数学B 所以一 晋的正孩线为M,余弦线为O成，正切袋 .sin >sn 为A六 OM<OM1,符号皆负， 依题意∠POM=否， .cos rcos 3 所以MP7 OM-AT=B 1 1A7>A了1，符号皆负， 3 所以点P坐标为（一】 2 2 规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般 分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角 5x 函数线的长度.(3)确定有向线段的正负 ◇[变式训练] 规律方法 2.利用三角函数线比较：a=sin (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单 大小 位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到 解：如图，在单位圆O中分别 垂足，从而得到正弦线和余弦线 (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线， 作出角牙的正弦线M,P和 交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可 2红的余弦线O、正切 0 得到正切线AT, 线AT ⊙[变式训练] 1.在单位圆中，画出满足sina= 2的角a的终边，并 由5=元 7 吾知，ME=MP, 求角a的取值集合， 又<2r<元 472 解：已知角a的正弦值，可知 MP-,则P点纵坐标为 6 易知eos号x<in受<ian受，故ba<c 题型利用三角函数线解不等式（组） 所以在y轴上取点0，宁》，过 [例3]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边 该点作x轴的平行线，交单位圆于P,P2两点，则 的范围，并由此写出角a的集合. OP1,OP2是角a的终边，因而角a的取值集合 (1)sina≥ 2: 为{=2x十吾，或a=2kx十，∈Z} (2)cos≤- 1 题型二 利用三角函数比较大小 [思路点拨]“在单位圆中画出角的三角函数线， [例2] 利用三角函数线比较sin和sin，os号 观察图形即可求解. 和cos誓，an和1amF的大小 [解] (1)作直线y-停交单位周于A,B两点，连 接OA,OB,则OA与OB围成的区域（如图(1）所 [思路点拔]先作出三角函数线，再比较大小， 示的阴影部分，包括边界)，即为角。的终边的 [解]如图，si 2红=1MP, 2T 范围 y cos=-OMI,tan 2π 3 41,0)x -A,sim5-MP产1. cos=-0i.tm (1) (2) -A1. 故满足要求的角a的集合为 显然|MP>|MPI,符号皆正， {e2x+≤a≤2+ez ·18· 第七章三角函数 (2)作立线x=一号交单位国于C,D两点，连接 [解]由题意，自变量x应 满足不等式组 OC,OD,则OC与OD围成的区域（如图(2）所示的 ,1-2c0sx≥0， 阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为 {o2x+≤a≤2kx+誓cz co 规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不 sinx>y② 2· 等式，应注意以下两点 则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示， (1)先找到“正值”区间，即0一2π内满足条件的角 {女2x+晋≤<2x+,∈Z 日的范围，然后再加上周角的整数倍： 规律方法 (2)注意区间是开区间还是闭区间. 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式 ◇[变式训练] (组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三 3.已知点P(sina一cosa,tana)在第一象限，若a∈ 角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在 [0,2元)，求a的取值范围. 单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再 解析：，点P在第一象限内， 取公共部分： sin a-cos ◇[变式训练] ltan a0, 4.已知函数f(a)=√sina十lg(2cosa一1)，求函数f(a) sin acos a, 的定义域 tan a0. 解：依题意sina≥0， 结合单位圆（如图所示）中三角 2cosa-1>0, 函数线及0≤α<2元. sina≥0， 1 可知子<a<或<平 cosa>2· 在直角坐标系中作单位圆，如图 题型四利用三角函数线求函数的定义域 所示， 由三角函数线可得 [例41 求函数f)=√厂2w7+nnx号)的定 ,2kπ≤a≤2kπ十π(k∈Z), 义域， 2kx-号<a<2kx十晋（∈ZD, [思路点拨]在单位圆中画出三角函数线，构造 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集 不等式组求解。 为{a2kr≤a<2x+晋，k∈Z 随堂。步步夯实 对应学生用书P13 1.已知角a的正弦线是单位的有向线段，那么角a的 解析：C 终边 ( [和的正弦线关于y轴对称，长度 A.在x轴上 相等； B.在y轴上 C.在直线y=x上 等和智两角的正切线相同： D.在直线y=x或y=一x上 解析：B[依题意sina=1或sina=-l, 子和平的余弦钱长度相年。 .角a的终边在y轴上.门 故①②③都正确，故选C.] 2.有三个命题：①否和5的正弦线长度相等；②号和 3.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 6 6 晉的正切线相同：®子和乎的余弦线长度相等其 A.【-还，] B[,] 中正确说法的个数为 A.1B.2C.3 D.0 c[] D.[0,x] ·19· 必修第三册 数学B 解析：A[如图所示，当x=子和 5.求函数y=√1一2cosx的定义域. 解：由题意知，自变量x应满足1-2cosx≥0， x三 3r时，sinx=cosx,故使 即0s≤号 sinx≤cosx成立的x的一个变 3π 则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示， 化区同是[一引门 4不等式m号6的郁华足 解析：不等式的解集如图所示（阴影部 分)， 函数的定义域为 答案：{知k-否<a<k+受，k∈Z {2x+≤≤2x+∈7 课后。素养提升 对应学生课时P7 基础过关 JI CHU GUO GUAN 4.在[0,2x]上满足cosx≥2的x的取值范围是 1.对于三角函数线，下列说法正确的是 A.对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 A,][,2x] C.任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线 不一定存在 &]u[,2] D.任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线 不一定存在 c.o] 解析：D[终边在y轴上的角的正切线不存在，故 A、C不正确；对任意角都能作出正弦线、余弦线，故 D[2] B不正确；D显然正确.] 解析：A[如图所示，在x轴正半 2.如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 轴上取OM=了，过点M作x轴的 P(xy),则 ( 垂线交单位圆于A,B两，点，由图可 知满足c05≥号的角x的范国如 图所示中阴影部分所示.因为x∈[0,2π]，所以z 的取值范国是[0，]U[肾2x]门 5.cos1,sin1,tan1的大小关系是 A.sin a=y B.cos a=-x A.sin 1<cos 1<tan 1 Can&-￥u≠0) D.sin a=-y B.tan 1<sin 1<cos 1 解析：AC C.cos 1<tan 1<sin 1 3.已知MP,OM,AT分别是60°角的正弦线、余弦线 D.cos 1<sin 1<tan 1 和正切线，则 解析：D[分析1孤度角的范围， A.MP<OM<AT B.OM<MP<AT 作出单位圆及三角函数线，如图所 C.AT<OM<MP D.OM<AT<MP 示，设1孤度角的终边与单位圆交 解析：B[当a=60°时， 于点P(x,y),x轴正半轴与单位 0 因为0°<a<90°时，sina<a<tana, 圆交于点A(1,0),过P作PM」 所以tan60>sin60. Ox,垂足为M,过A作单位圆的切线与OP的延长 又因为a>45°时，sina>cosa,所以sin60°> 线交于点T,则有OM<MP<AT,即cos1<sin1 c0s60°， <tan 1.] 所以OM<MP<AT.所以应选B.] ·20· 第七章三角函数 6.(多选题)如图，α，3的终边关于y轴对称，则下面关 系式正确的是 解析：作出受和誓的三角西致 线，如图所示.根据三角函数 线得： M'MO sin2-MP>sin 3-M'P': M 3 4 co =OM'; 2x-OMcos4 A.sin a=sin B B.sin a=-sin B -=AT<tamF=AT, tan3 C.cos a=cos B D.cos a=-cos B 答案：(1)> (2)>(3)< 解析：AD[可以从三角函数线看，a,B的正弦线分 别为M1P1,M2P2,它们是相等的：a,B的余弦线分 10.利用三角函数线比较a=sin牙，b=cos 2 7,c 别为OM1,OM2,它们是相反的.] 7.若平<<一吾则sna,c0sa,ana的大小关系 an牙的大小， 4 解：如图，在单位圆O中分别作 是 出角严的正孩线M,卫，和牙的 解析：如图所示，在单位圆中，作出一3T<a<一罗 7 4 余弦线OM,、正切线AT.由5 内的一个角及其余弦线、正弦线、正切线OM, MP,AT. =x一孚知MB=MB, 由图知，OM<MP<AT, 又至<号<受，易知AT>MP>OM, :,-MP<-OM<AT[,Ep sin a<cos a< tan a. ieos号<sn受<lan誓，故ba<c 11.求函数y=logn(2cosx十1)的定义域。 解：由题意得，要使函数有意 义，则须 sinx>0且sinx≠1，如图所 2c0sx+1>0, 答案：sina<cosa<tana 示，阴影部分（不含边界与y 轴)即为所求. 8.不等式tana十30的解集是 所以所求函数的定义域为 解析：不等式的解集如图所示（阴影部分）， {2<26x+受，或2x+晋<<2k+行，kc2 3 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合. (1)tana=-1,(2)sina<- :3)cosa>5. 1 2 解：(1)如图(1)所示，过点(1，一1)和原点作直线， 交单位圆于点P和P',则角a的终边在直线PP 上，所以满足条件的角α的集合 ∴{ax-<a<+受，k∈Z 是ae=kr-平k∈Z: 答案：{akx-否<a<kx+受，k∈Z☑ 2)如周(2)所示，过点(0，一)作x轴的行 9.(多空题)利用三角函数线比较下列各组数的大小 线，交单位圆于点P和P',连接OP,OP',则sin (用“>”或“<”连接)： (1)sin 2π 3 ∠xOP=sin∠xOP'=- ,所以∠0P-号 sin 49 2π (2)c0s ∠0p-音， cos 4 所以满足条件的角α的集合是 (3an管 tan 3π 41 l日+2a<得x+2xke7 ·21· 必修第三册 数学B 13.利用三角函数线证明：若0<a<A<乏，则B-a> sin B-sin a. 证明：如图所示，单位圆O与x轴 (3) 正半轴交于点A, (3)如图(3)所示，过点 0作x轴的垂线，与 √3 与角B,a的终边分别交于点P,Q, 过点P,Q分别作OA的垂线，垂足 单位圆交于点P和P',则∠OP= 6∠aOp'= 分别是M,N,则sina=|NQl,sin 元 B=|MP|.过点Q作QH⊥MP于H,则|HP|= 61 所以满足条件的角a的集合是 MP|-|NQ|=sinB-sina.连接PQ,由图可 a-晋+2m≤a≤晋+2，kcz 知HP<PQ=AP-AQ=B-a,即B-a>sinB 6 sin a. 7.2.3 同角三角函数的基本吴系式 课程标准 素养解读 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关 1.通过同角三角函数基本关系式的推导提升学 系式 2.理解同角三角函数的基本关系式 生数学抽象和逻辑推理素养 2.通过同角三角函数的基本关系式的应用，培 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化 养学生数学运算素养 简、求值和证明 课前。预习学案 对应学生用书P14 [情境引入] sin a tan a,a 同一个角a的正弦、 1.角的三角函数的定义是什么？ 商数关系 cos a 余弦的商等于角a 提示：sina=,cosa=号，ana= kx十于k∈Z 的正切. x 2 2.设角α的终边与单位圆位于点P(x,y),根据三角 ?思考1.“同角”一词的含义是什么？ 函数的定义知y=ina,2-c0sa, -tan a. 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是 (1)能否根据x,y的关系得到sina,cosa,tana的 “角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义 关系？ 的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无 提示：sin'a十cos'a=l,tana=sina 关，如sin23a十cos23a=1成立，但是sin2a十cos29 cos a =1就不一定成立. (2)公式sin'a十coS'a=1与tana=sng对任意角 2.两个公式成立的条件分别是什么？ cos a 提示：公式sina十cos2a=1对a∈R成立， 都成立吗？ 提示：sin2a十cos2a=1对任意角a均成立，当a≠kπ 公式ng=tana适用的条件为aa≠受十k,人 cos a 十牙，k∈Z时，tana= ina成立. ∈Z}. 2 cos a 3.对任意的角a,sin2a十cos22a=1是否成立？ [知识梳理] 提示：成立 [知识点]同角三角函数的基本关系 2.基本关系式的变形公式 1.同角三角函数的基本关系 sin'a-1-cosa, 基本关系式 语言描述 cos'a=1-sin'a, 同一个角a的正弦、 sina+cos2a=1→ sina=±√1-cosa, 平方关系 sin'a+cos2a=1 余弦的平方和等 cosa=±√1-sina, 于1. (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. ·22·