7.2.1三角函数的定义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.已知a=-3rad.则a是 5.已知a=-800°. A.第一象限角 B.第二象限角 (1)把a改写成3+2kx(k∈Z,0≤3<2x)的形式，并 C.第三象限角 D.第四象限角 指出a是第几象限角； 2.将一300°化为弧度数为 (2)求X,使7与a的终边相同，且Y(一受受). 7 C.-6π D. 3角是第 象限角. 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的 B 弧长是2，则扇形的圆心角α的弧 度数为 ;弦AB的 C温馨提 长为 学习至此，请完成配套训练 0 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课程标准 素养解读 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 2.掌握三角函数在各象限的符号 象和数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] 其中r=√x2+y 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位 圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位 ?思考1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值 是什么？ 的正负就不同，你能推导出sina,cosa,tana在不同 象限内的符号吗？ 2.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？ [知识梳理] [知识点一]利用角α终边上一点的坐标定义三角 函数 如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一 点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原 [知识点二]三角函数值的符号 点的距离为r, (1)图形表示： 则sina= cos a- tan a- y + 0+ sin a cos an o 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负 (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. ·8· 第七章三角函数 (3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单 [预习自测] 位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号 决定的。 1.已知角α的终边与单位圆的交点为P( 3 2 2 (4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以 则tana= 在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的 正负， A.√3 B.-√5 c D. 3 2思考3.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 2.若sina<0且tana>0,则a在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.角a的终边经过点P(-b,4)且cosa= 则b 的值为 ( A.3 B.-3 C.±3 D.5 课堂 互动学案 题型一 用定文求三角函数值 规律方法 [例1]已知角a的终边过点P(一3a,4a)(a≠0)，求 已知角α的终边在直线（或射线）上的问题时，常 2sina十cosa的值. 用的解题方法 [思路点拨]根据点P的坐标，求出点P到原点 第一步，取点，在角a的终边上任取一点P(x,y), O的距离|OP|,再根据定义求出sina,cosa的 (P与原点不重合)， 值，计算时要注意讨论a的正负. 第二步，计算r:r=|OP|=√J+y, 第三步，求值：由sina= ,cos a= tan a=. y x (x≠0)求值， ◇[变式训练] 2.若角a的终边与直线y=3x重合且sina<0,又 P(m,n)是a终边上一点，且OP=√10，则m一n 规律方法 题型 三角函数的符号 已知角a的终边上一点P(x,y),求三角函数值 [例3]判定下列各式的符号： 时，先求r=OP|(O为原点)，再根据定义sina (1)tan191°-cos191°； =兰，cosa=子，tana=之确定三角函数值. (2)sin 2cos 3tan 4. 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论： 汇思路点拨]角的大小确定了，所在的象限就确 定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确 ◇[变式训练] 定角所在象限，即可进一步确定各式的符号. 1.已知角a的终边上一点P(m,3),且cosa=√0 则m= 题型二 三角函数概念的综合应用 [例2]已知角a的终边在直线y=2x上，求sina,cosa, tana的值. [思路点拨丁注意讨论角的终边所在象限. ·9· 必修第三册 数学B 规律方法 ◇[变式训练] 1.判断三角函数值正负的两个步骤 3.判断下列各式的符号： (1)定象限：确定角a所在的象限， (1)tan120°sin269°； (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全 正二正弦，三正切，四余弦”来判断. (2)cos4tan(-235. 4 提醒：若sina>0,则a的终边不一定落在第一象 限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半 轴上 2.正弦、余弦函数值的正负规律 终边在x轴上方的角的 终边在x轴下方的角的 正弦值为正 正弦值为负 上正) 正弦函数值 下负 左负) 余弦函数值 (右正 终边在y轴左侧的角的 终边在y轴右侧的角的 余弦值为负 余弦值为正 随堂。步步夯实 1.如果a的终边过点(2sin30°，-2cos30°)，那么sina 4.已知角a的终边经过点(3a-9,a十2)且sina>0, ( cosa≤0，则实数a的取值范围是 A号 B-号 5.已知角a的终边过点P(5,a),且tana=- 求 C D. sina十cosa的值. 2 2.若in0长0，c0s0<0,则号是 ( A.第二象限角 B.第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半 轴，若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 则 7.2.2 单位圆与三角函数线 课程标准 素养解读 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 正弦、余弦和正切 解决问题，提升直观想象与数学抽象素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 课前。预习学案 [情境引入] 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓 地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向 美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些 什么呢？ ·10·02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°≤02≤-180°， 即-720°≤108°+k1·360°≤-180°(k1∈Z) -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z) 得k1=-2或k1=-1,k2=-1. 故在[-720°，-180]内，与31终边相同的角是-612°和 一252°，与32终边相同的角是一420°. [例3][解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心 角为经，所以半径=1.2 所以这个圆心角所对的孤长1=25×2红_4 3X3=9 (2)由(1)得扇形的面积S=号×2,5×43x-4红 2 3 9 91 变式训练 3.(1)解析：周为135”--票，所以扇形的半径为 180 3π 4 4,面积为2×3xX4=6x 答案：46π (2)解：设扇形的圆心角为0，半径为r,孤长为1，面积为 S,则l+2r=40,所以l=40-2r, 所以S=71=7×40-2rr=-(-10)2+10. 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2,这时9=L=40-2X10=2rad 10 随堂步步夯实 1.C[:-<-3radK-受.-3rad是第三象限角.] 2.B[-30=-30×70--] 3.解析：2要=吾十，2要与吾终边相月， 产是第一象限角， 答案：一 4.解析：设扇形半径为r,则 2ar2=1,1a=2, (ar=2, {x=1. 六AB的长为2rsin号=2sin1. 答案：22sin1 5.解：1)：-800°=-3×360°+280°，280°=4 , a=-800°=14r+(-3)X2元. 9 “a与角终边相同e是第四象限角。 (2):与a终边相同的角可写为2kx十14红，k∈乙的形式， 9 而7与a的终边相同y=2x十号，k∈乙 又7(-晋，受，-吾<2kx+1g<受k∈z 解得=-1y-2x十号=怎 9 ·8 参考答案 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课前预习学案 情境引入 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0,tana>0;当 a在第二象限时，sina>0,cosa<0,tana<0;当a在第三 象限时，sina<0,cosa<0,tana>0;当a在第四象限时， sin a<0,cos a>0,tan a<0. 知识梳理 知识点一兰号 工卫 x 知识点二、(1)一二三四一四二三一三二四 「思考] 1.提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0, cos a=1,tan a=0; a终边在y轴非负半轴时，sina=l,cosa=0,tana不 存在； a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1，tana=0: a终边在y轴非正半轴时，sina=一l,cosa=0,tana不 存在. 2.提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位 圆上，点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数：三角函数 值只与角a的大小有关，即由角a的终边位置决定. 3.提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由 角α终边上任意一点的坐标来确定. 预习自测 1.B2. 3.A[r=√b2+16,cosa= -b -6 r√62+16 =一子所以6=3.] 课堂互动学案 [例1]解：因为点P的坐标为（一3a,4a)(a≠0），原，点 为O, 所以r=|OP|=√(-3a)2+(4a)2=5a. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina=义=如 r 5a 4 8 、—，C。sx二3区3，以2sm十osx—5 r 5a 多1 i.当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， sin a=4a=4 -5a -5a5' 所以2na十eosa=-号+号-1 综上所述，2sina十cosa=士l. 变式训练 1.解析：由题意得x=m,y=√3，∴r=OP|=√m2+3, m ∴.cosa= r √m2+3 下4，很明显m>0, 解得m=√5. 答案：√5 [例2]解析：在直线y=2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) 则r=√2+(2t)z=√5t. @若0时，则r=5,从而sina后-5， cos a= 5=5,tana=义=2. 必修第三册 ②若t<0,则r=一√5t, 从而sna子后，se t -√5t -√5t 5,tana= ￥=2 变式训练 2.解析：因为y=3.x,sina<0,所以点P(m,)位于y=3.x 在第三象限的图像上，且m<0,n<0,n=3m. 所以OP=√m2+n2=√/10m=-√10m=√10. 所以m=-1,n=一3，所以m-n=2. 答案：2 [例3][解](1)，191是第三象限角， .tan191>0,cosl91<0, .tan191°-cos191>0. (2):受<2<，号<3<<4<经， .2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角. .'sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. .∴.sin2cos3tan4<0. 变式训练 3.解析：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. 所以tan120°sin269°>0. (2)因为<4<警，所以4孤度角是第三象限角， 所以c04<0,固为-2=-6x+至 4 所以-23严是第一象限角，所以tan(-23)>0, 4 4 所以cos4an(-23)<0. 4 随堂步步夯实 1.D[依题意可知点(2sin30°，-2cos30),即(1，-√5)，则 r=+(-=2,周北na=之=-] 护 2.C[由sim0K0.cos0K0知x+2kx<0<经+2kx,k∈乙。 ÷受+x号<要+，eZ “号是第二成第四象限角门 3,解析：因为sin0=y -26 /42+y2 5 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案：-8 4.解析：因为点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina>0,cos ≤0，所以{+20，解得-2<u≤3. 13a-90, 答案：-2<a≤3 5,解析：根据三角函数的定义，tana=4= 5 一吕，所以口= 12 -12,所以P(5,-12)r=13,所以sina=一13，cosa= 7 3,从而sina十cosa=一 7.2.2单位圆与三角函数线 课前预习学案 情境引入 提示sina=MP,cosa=OM,tana=AT. ·9 数学B 知识梳理 知识点一、1.x2十y2=12.横坐标纵坐标 知识点二、1.MP OM AT2.三角函数线 [思考] 1.提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之， 为负值， 2.提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数 值的正负。 预习自测 1.B[由三角函数线的定义知①③④正确，②错误.] 2.C[依题意cosa= 3 ，sima=， 所以s一sa=] 3解析：如图所示，作出受和平的正弦线，可得n0 (9 2 M 5π/ 课堂互动学案 [例1】[解]如图，作一号的终 边与单位圆交于点P,作PM⊥ x轴，M为垂足. (1,0) 直线x=1过点A(1,0)且与 /5πA 6 晋终边所在直线交子点工 所以一警的正弦线为应，余孩 线为OM,正切线为AT 依题毫∠POM=吾 所以Mp-名OM=AT-， 3 所以点P坐标为（一E 2 2 故sin(一 =-2 cs(）9am(） 变式训练 1.解：已知角a的正弦值，可知MP y 子则P点纵坐标为子所以 6 在y轴上取点(0，宁)，过该点作 x轴的平行线，交单位圆于P1, P2两点，则OP1,OP2是角a的终边，因而角a的取值集 合为{0口=2张x+否，成a=2kx+晋keZ [例2】[解】如图，sn否-=市，cos暂=-Oi,an 誓=-img-MP产，