7.2.1三角函数的定义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 解：(1)设扇形的半径为rcm,孤长为1cm,圆心角 (2)设扇形的半径为rcm,则孤长为1=(20一 为0，则1十2r=20,∴.l=20-2r. 2r)cm. 又：2r=9.即号(20-2r)r=9.r-10r+9 由0<1<2，得0<20-2<2，÷丹</ <10. =0, 即(r-1)(r-9)=0,∴.r1=1,r2=9. 于是扇形的面积为5=7(20-2r)r=-(,-5) 当=1时=18，则0==18>2x(含去).当7 +2510 =9时1=2，则9-号，即扇形园心角的孤度 当r=5时，l=10,a=2,S取到最大值，此时最大 值为25cm. 效为 故当扇形的圆心角α等于2孤度时，这个扇形的 面积最大，最大面积是25cm2. 7.2 任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课程标准 素养解读 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 2.掌握三角函数在各象限的符号 象和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P8 [情境引入] ?思考1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位 是什么？ 圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位 提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0, 圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值 cos a=1,tan a=0; 的正负就不同，你能推导出sina,cosa,tana在不同 a终边在y轴非负半轴时，sina=1,cosa=0, 象限内的符号吗？ tana不存在； 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0,tana> a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1， 0;当a在第二象限时，sina>0,cosa<0,tana<0;当 tan a=0; a在第三象限时，sina<0,cosa<0,tana>0;当a在 a终边在y轴非正半轴时，sina=一1，cosa=0, 第四象限时，sina<0,cosa>0,tana<0. tana不存在. [知识梳理] 2.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P [知识点一]利用角。终边上一点的坐标定义三角 在a终边上的位置的改变而改变吗？ 函数 提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量， 如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一 以单位圆上，点的坐标（坐标的比值）为函数值的函 点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原 数；三角函数值只与角a的大小有关，即由角α的 点的距离为r, 终边位置决定 F,cosa=号，tana=y 则sina= [知识点二]三角函数值的符号 护 (1)图形表示： 2 ++ 0 sin a cos a 正弦：一二象限正，三四象限负： 余弦：一四象限正，二三象限负； 其中r=√x十y 正切：一三象限正，二四象限负。 (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. ·12· 第七章三角函数 (3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单 A.3 B.-√5 位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号 D.- ③ 决定的， 3 (4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以 答案：B 2.若sina<0且tana>0,则a在 在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的 A.第一象限 B.第二象限 正负 C.第三象限 D.第四象限 纪思考3.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案：C 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的 3.角a的终边经过点P(-b,4)且cosa= 3,则b 符号由角Q终边上任意一点的坐标来确定， 的值为 ( [预习自测] A.3 B.-3 C.±3 D.5 1,已知角a的终边与单位圆的交点为P(2, 1 解析：A 2 [r=√B+16,c0sa=,0 -6 -6 √62+16 则tana= 号.所以b=3.] 课堂。互动学案 对应学生用书P9 题型一 用定义求三角函数值 ∴.c0sa= =四，很明显m>0, [例1]已知角a的终边过点P(一3a,4a)(a≠0)，求 √m+3 4 2sina十cosa的值 解得m=√5. 汇思路点拨]根据点P的坐标，求出点P到原点 答案：w5 O的距离|OP|,再根据定义求出sina,cosa的 值，计算时要注意讨论a的正负， 题型三 三角函数概念的综合应用 解析：因为，点P的坐标为（一3a,4a)(a≠0），原点 [例2]已知角a的终边在直线y=2x上，求sina,cosa, 为O, tana的值. 所以r=OP|=√/(-3a)2+(4a)=5a. 汇思路点拔了注意讨论角的终边所在象限. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina= 解析：在直线y=2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) y=4a=4 r 5a 则r=√+(2t)7=√51tl. D①若0时，则r,从而m。后号 i.当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， 4 cos a=t-V5 5t -5,tana=义=2 所以2sina十cosa=-8+3=-1. ②若t0,则r=-√5t, 5 5 从而sina=- 2t 号5cosa= t √5 综上所述，2sina十cosa=士1. -√5t -√5t 规律方法 已知角a的终边上一点P(x,y),求三角函数值 tana=义=2. 时，先求r=OP|(O为原点)，再根据定义sina 规律方法 =,0sa=子，tanQ=义确定三角函数值， r 已知角α的终边在直线（或射线）上的问题时，常 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论· 用的解题方法 ◇[变式训练] 第一步，取点，在角a的终边上任取一点P(x,y), 1.已知角a的终边上一点P(m,w3),且cosa= (P与原点不重合)， 4 第二步，计算r:r=|OP|=√x2+y, 则m= 解析：由题意得x=m,y=√3，.r=|OP 第三步，求值：由sina=兰，cosa=子，tana二 =√m+3, (x≠0)求值. ·13· 必修第三册 数学B ◇[变式训练] 规律方法 2.若角a的终边与直线y=3.x重合且sina<0,又 1.判断三角函数值正负的两个步骤 P(m,n)是a终边上一点，且OP=√10，则m一n= (1)定象限：确定角α所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全 正二正弦，三正切，四余弦”来判断 解析：因为y=3x,sina<0,所以点P(m,n)位于y 提醒：若sina>0,则a的终边不一定落在第一象 =3x在第三象限的图像上，且m<0,n<0,n=3m. 限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半 轴上 所以OP=√m+n=√10|m=-√10m=√10. 2.正弦、余弦函数值的正负规律 所以m=一1，n=-3,所以m-n=2. 终边在x轴上方的角的 终边在x轴下方的角的 答案：2 正弦值为正 正弦值为负 题型 三角函数的符亨 (上正) 正弦函数值 下负 (左负 余弦函数值 右正 [例3]判定下列各式的符号： (1)tan191°-cos191°； 终边在y轴左侧的角的 终边在y轴右侧的角的 余弦值为负 余弦值为正 (2)sin 2cos 3tan 4. ◇[变式训练] 汇思路点拔]角的大小确定了，所在的象限就确 3.判断下列各式的符号： 定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确 (1)tan120°sin269°； 定角所在象限，即可进一步确定各式的符号， (2)c0s4tan(-23).】 4 [解](1)，191°是第三象限角， 解析：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan120°<0. .tan191>0,cos191°<0， 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. ∴.tan191°-cos191>0. 所以tan120°sin269°>0. (2受<2<，受<3<<4<受 (2)因为<4<，所以4孤度角是第三象限角， 2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象 所以0s4K0,因为-2=一6x十子， 4 限角 所以一 严是第一象限角，所以tan(-23不)>0， .'sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. 4 4 ∴.sin2cos3tan4<0. 所以cos4tan(- 2)<0. 随堂。步步夯实 对应学生用书P10 -● 1.如果a的终边过点(2sin30°，-2cos30),那么sina 解析：C[由sin0<0,cos0<0知x+2k元<0<3r 2 A多 B-名 十2kπ，k∈Z. D.-3 “受十x<8<平+x,6Cz 2 解析：D[依题意可知，点(2sin30°，一2cos30°)，即 号是第二或第旧象限商.] (1,-3),则r√12+(-3)=2，因此sina= r 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半 = 轴，若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0= 2.若sin0K0,c0s0<0,则号是 25,则y A.第二象限角 _25 B.第三象限角 解析：因为sin0=义 √42+y 5 C.第二或第四象限角 所以y<0,且y=64,所以y=一8. D.第三或第四象限角 答案：一8 ·14· 第七章三角函数 4.已知角a的终边经过点(3a一9，a+2)且sina>0, 5.已知角a的终边过点P(5,a),且tana= 求 cosa≤0，则实数a的取值范围是 sina+cosa的值. 解析：因为，点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina a+2>0, 解析：根据三角函数的定义，ana一号=号，所以 5 >0,cosa≤0，所以 解得-2<a≤3. 3a-9≤0， a=-12,所以P(5,-12),r=13,所以sina= 12 7 答案：-2<a≤3 osa-高从而sme十cas。= 课后。素养提升 对应学生课时P5 基础过关 C第三或第四象限角 JI CHU GUO GUAN D.第一或第四象限角 1.已知角a的终边经过点（一4,3），则cosa=( 解析：A[要使原式有意义，必须cos atan a>0,即 A号 B号 需cosa,tana同号，所以a是第一或第二象限角.] n- 6.(多选题)若角a的终边在直线y=一2z上，则sin x等于 解析：D[直接利用任意角的三角函数的定义求 解.因为角α的终边经过点（一4,3），所以x=一4， A号 B吉 y=3,r=5,所以cosa=2=- r C.26 5 D.-2⑤ 5 2.如果角a的终边过点P(2sin30°，-2cos30),则sina 值等于 ( ) 解析：CD[在a的终边上任取一点P(一1,2)，则 A B.- 1 开，所以m。兰后5成者取 r5 C.- 2 D.-3 3 P'(1,-2),则r=+4=5,所以sina=￥ 解析：C[由题意得P(1,一√3)，它与原点的距离r 2 25.1 5 5 =√/12+(-√3)2=2，∴.sina=- 7.若角α的终边经过点P 3.已知角a的终边过点P(一4,3)，则2sina+tana (一)则in etane的 的值是 ( 值是 A. 9 8易 解析：点P(。一号)在角a的终边上ina c-号 D号 4 ，ana=一专sinatang=- 4 16 解析：B[角α的终边经过点P(一4,3)，.r= 0P=5. 答案昌 .'sin a- 5:cos a=- 5,tan a=- 2sin a+tan a 3 8.已知角a的终边经过点(2a十1，a一2)，且cosa= 3 9 故选B.] ，则实数a 2a+1 4.当a为第二象限角时，sina cosa的值是 解析：由余弦函数的定义知， /(2a+1)2+(a-2) sin a cos a ( 北简并整理，得1a+20a-4=0. A.1 B.0 2 C.2 D.-2 =一2或a= ，又因为2a+1<0,所以a=-2. 解析：C[,a为第二象限角，sina>0,cosa <0. 答案：一2 sin al 9.已知tanx>0,且sinx十cosx>0,那么角x是第 cos a sin a. c0sa=2.] sin a cos a sin a -cos a 象限角， 5.使得lg(cos atan a)有意义的角a是 解析：，tanx>0,∴.x是第一或第三象限角. A.第一或第二象限角 又：sinx十cosx>0,∴.x是第一象限角. B.第二或第三象限角 答案：一 ·15· 必修第三册 数学B 10.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴 (1)当>0时，r=√10k,a是第四象限角， 重合，角a的终边经过点P(4,一3)， -3k_ 3W√10 求sina,cosa,tana. sin a= √10k 10 解析：由x=4,y=一3，得 1 r_√10x r=OP=√4+(-3)7=5. =√/10， cos a x 故sina=_3=- 5 5.cos a-4 5,tan a=-3 4 .10sin a+3 =10× 3/10 +3√10 cos a 10 3 =-3√10+3√10=0. 11.判断下列各式的符号： (2)当k<0时，r=一√10k,a为第二象限角， (1)sin340°·cos265°. sin a=y -3k3√/10 23π -√10k 10 )sin4·tang 1 √10k 解析：(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象 =-√/10， cos a 2 限角， 所以sin340°<0，cos265°<0， 10sin a+-3 =10x3v 10 +3×(-√10) cos a 所以sin340°·cos265>0. =3√10-3√10=0. (2)因为π<4<3，所以4是第三象限角， 综上所述，l0sina十3 =0. cos a 因为-23 13.已知点M是圆x2+y=1上的点，以射线OM为 4 =一6元+ 4 所以一23π是第一象限角。 终边的角a的正孩值为一罗，求c0s。和1m。 4 的值 所以sin4<0,tan 0p0 解析：设，点M的坐标为(x1,y).由题意，可知sina= 所以sin4·tan ,即=- 2 .因为点M在圆x+y=1上 2 能力提升 所以x十y=1, NENG LI TI SHENG 12.已知角a的终边在直线y=一3x上，求10sina十 =1, c的值 解得x,= 21 解：由题意知，cosa≠0. 设角a的终边上任一点为P(k,一3k)(k≠0)，则x 所以c0sa= 或cosa 2 2 =k,y=-3k,r=√R+(-3k)=√10k1. 所以tana=-1或tana=l. 7.2.2 单位圆与三角画数线 课程标准 素养解读 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 正弦、余弦和正切 解决问题，提升直观想象与数学抽象素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 课前。预习学案 对应学生用书P10 [情境引入] 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓 地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向 美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些 什么呢？ ·16·