1.5.1正弦函数的图象与性质再认识 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.5.1正弦函数的图象与性质再认识 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握用”五点法”和”几何法”绘制正弦函数图象的方法。。。 返回主页 1 掌握用”五点法”和”几何法”绘制正弦函数图象的方法理解正弦函数 y=sinx 的周期性、奇偶性、单调性、最值等基本性质 能够运用正弦函数的性质解决相关问题 2 通过单位圆与正弦线的动态演示，体会数形结合思想经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程培养观察、归纳、类比、推理的数学思维能力 情 境 引 入 【情境一：生活中的周期现象】 返回主页 【情境二：数学史引入】 【情境一：生活中的周期现象】 播放视频：四季更替 播放视频：摩天轮转动 问题链： 这些现象有什么共同特征？ （重复出现、周而复始） 如何用数学模型描述这些周期性变化？ 我们已经学过哪些周期函数？ 【情境二：数学史引入】 介绍正弦函数的历史：源于古希腊天文学家托勒密对弦长的研究，后经印度数学家阿耶波多发展为”正弦”概念。 互 动 设 计 【活动1：复习回顾】 返回主页 【活动2：图象绘制探究】 【活动3：性质探究】 【活动1：复习回顾】 小组讨论： 在单位圆中，角 α 的正弦线如何作？ 2. 填写下表（特殊角的正弦值）： 0                   探究任务： 如何画出 y=sinx,x∈R 的完整图象？ 【活动2：图象绘制探究】 步骤一：几何法作图 - 利用单位圆中的正弦线，在坐标系中描点 - 动态演示：随着角 x 的变化，正弦线 的长度变化 步骤二：五点法作图 找出 上的五个关键点： 起点： 最高点： 平衡点： 最低点： 终点： 学生操作： 在练习本上先用五点法画出 [0,2π] 上的图象 【活动3：性质探究】 分组探究任务： 小组 探究内容 探究方法 第1组 周期性 观察图象重复特征，计算 第2组 奇偶性 观察图象对称性，验证 与 关系 第3组 单调性 观察图象升降趋势，结合正弦线变化 第4组 最值与值域 找出最高点、最低点，确定取值范围 探 求 新 知 【知识点1：正弦函数的图象】 返回主页 【知识点2：正弦函数的性质】 【知识点3：性质记忆技巧】 【知识点1：正弦函数的图象】 1. 正弦曲线 y=sinx, x∈R 2. 图象特征 - 形状：波浪形，像”水波” - 范围：在直线 y=1 和 y=-1 之间波动 - 周期性：每隔 2π 重复出现 3. 五点法作图口诀 : “起、高、平、低、终” , 起：原点 , 高：最高点 , 平：平衡点 , 低：最低点 , 终：周期终点 【知识点2：正弦函数的性质】 性质 内容 说明 定义域 （全体实数）   值域 即 周期性 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 图象关于原点对称， 单调性 增区间：减区间：（） 在一个周期内，先增后减 最值 最大值 ，当 最小值 ，当 （）   对称性 对称中心：对称轴：（）   【知识点3：性质记忆技巧】 1. 周期性记忆 : “转一圈，回到原处”——单位圆转 360∘（2π 弧度）回到原位 2. 单调性记忆口诀 : “一四象限增，二三象限减” : 第一、四象限（ 到 ）：函数递增 : 第二、三象限（ 到 ）：函数递减 3. 对称性记忆 > - 零点处是中心对称点（拐点） > - 最值处是轴对称轴（峰谷） 典 例 铺 路 【例题1】五点法作图 【例题2】利用性质比较大小 【例题3】求单调区间与最值 【例题4】综合应用 【例题1】五点法作图 用”五点法”画出函数 y=sinx 在 [0,2π] 上的简图，并指出在该区间内函数取得最大值、最小值的点。 解答： 步骤1：列表 0 0 1 0 -1 0 步骤2：描点 在坐标系中描出五个点：, , , , 步骤3：连线 用光滑曲线顺次连接各点 结论： - 最大值点：， - 最小值点：， 【例题2】利用性质比较大小 不计算具体值，比较下列各组数的大小： (1) 与 (2) 与 (1) - 因为 - 且 在 上单调递增 - 所以 (2) - 先利用周期性化简： - - - 因为 ，所以 - 因此 - 即 【例题3】求单调区间与最值 求函数 在区间 上的单调递增区间、单调递减区间以及最大值、最小值。 分析： 结合正弦函数图象和单调性性质 单调区间： - 递增区间：（从最小值到最大值） - 递减区间：（从最大值到最小值） 最值： - 当 时， - 当 或 时， 值域： 【例题4】综合应用 若函数 的最大值为 3，求 的值及此时的 取值集合。 解答： - 因为 - 所以 - 由最大值为 3，得 ，解得 - 当 即 （）时，取得最大值 答案： ，此时 的取值集合为 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 用五点法画出 y=sinx 在 [-π,π] 上的简图。 答案： 关键点：, , , , 【基础训练】 2. 填空： (1) 正弦函数的最小正周期是 ______； (2) sinx>0 的解集是 ______； (3) 函数 y=sinx 在 [0,2π] 上的递减区间是 ______。 答案： (1) (2) ，（或写成 ） (3) 【基础训练】 3. 比较大小： ______ （填”>“、”<“或”=“） 答案： > 解析：因为 ，所以 ，填 “=” 【基础训练】 4. 求函数 y=3-2sinx 的最大值和最小值。 答案： - 因为 sinx∈[-1,1] - 当 sinx=-1 时，y_max=3-2×(-1)=5 - 当 sinx=1 时，y_min=3-2×1=1 【能力提升】 5. 求函数 y= 的定义域。 答案： 由 ，得 ， 定义域为 ， 【能力提升】 6. 判断函数 f(x)=sinx+x 的奇偶性。 答案： - 定义域为 R，关于原点对称 - f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x) - 所以 f(x) 是奇函数 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 函数 在区间 上的值域是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 解析： 在 递增，在 递减 - - （最大值） - 所以值域为 2. 下列不等式成立的是（　） A. sin2>sin3　　　B. sin2>sin4 C. sin2<sin4　　　D. sin2=sin4 解析：注意这里的角度是弧度制 - ，， - 所以 ，， - ，， - 因此 （正数大于负数） 【填空题】（每题5分） 3. 函数 y=sinx 的图象与直线 y= 在 [0,2π] 上的交点有 ______ 解析：在 上， 的解为 或 ，共2个交点。 4. 函数 y=sinx 在区间 [a,a+2π] 上的值域为 ______。 解析：因为区间长度为 ，正好是一个周期，无论 取何值，都会包含完整的正弦曲线，所以值域始终是 。 【解答题】（10分） 5. 已知函数 ，当 时， 取得最大值 3；当 时， 取得最小值 -1。求 、 的值。 由题意： - 当 时，， …① - 当 时，， …② 联立①②： ①+②：，得 代入①： 答： ， 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 51 2. 方法小结 作图方法：五点法（快速简图）、几何法（精确理解） 研究函数性质的”三看”： 一看图象（直观形象） 二看定义（严格证明） 三看联系（数形结合） 解题策略： 比较大小：先化到同一单调区间 求最值：结合单调性和边界 解不等式：利用图象或单位圆 3. 思想方法 数形结合思想：用图象理解性质，用性质指导画图 化归转化思想：将复杂角通过周期性化到基本区间 分类讨论思想：按周期分段研究 Lavf58.76.100 Lavf58.28.102 $