条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 考点一 条件概率 例1．（2026·重庆·一模）从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】：第一次抽到奇数的概率，总共有7个数字，奇数4个，故. :第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，分步计算：第一次抽奇数有4种选择，第二次抽偶数有3种选择，总情况数为，故. 根据条件概率公式代入得：. 故选：A. 例2．（2026·海南海口·一模）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件概率公式得， 因此， 将 代入得， 解得. 故选：D 例3．（25-26高三上·山东济南·期末·多选）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 【答案】AD 【详解】因， ， 由题意得，化简得， 即，即， 即事件相互独立，故AD符合题意， 和不一定成立，故BC不合题意. 故选：AD. 例4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为 . 【答案】 【详解】记事件：喜欢麻辣口味的食客；记事件：喜欢蒜蓉口味的食客， 则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为， 由题意可知， 则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为：， 由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为：， 则， 所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人， 则此人喜欢麻辣口味的概率为：， 故答案为：. 例5．（25-26高三上·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有 ①甲以3：0获胜，概率为； ②甲以3：1获胜，概率为； ③甲以3：2获胜，概率为. 所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为. 甲获胜的总概率为. 所以条件概率为. 故答案为：. 例6．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）某公司招聘面试环节共设置了4道题目，应聘者需依次作答且回答各题是相互独立的，第1至4题分值依次为10，20，30，40分，各题答对得满分，答错得0分.累计得分不低于40分即可结束面试并入围下一环节，否则继续作答直至答完4道题目.已知应聘者甲能够答对各道题的概率分别是0.8，0.6，0.5，0.2. (1)求甲答完第3题就入围下一环节的概率； (2)求甲没有入围下一环节的概率. 【答案】(1)0.46 (2) 【详解】（1）记“甲答对第道题”为事件，，，，， “甲答完第3题就入围”为事件A， 则 所以甲答完第3题就入围的概率为0.46. （2）记“甲没入围”为事件B， 例7．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】(1)576； (2). 【详解】（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. （2）记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法， 十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法， 则事件包含的基本事件数为种. 百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法， 十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法， 则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种. 因此，. 故选：A. 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 变式3．（25-26高二上·浙江宁波·期末·多选）镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误； 表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为， 故，B正确； ，有两种情况， 第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为， 第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为， 故，，C选项正确； ，D选项正确. 故选：BCD 变式4．（25-26高二上·江苏常州·期末）某校高二年级举行米接力赛，共有7条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”．赛制规定：由1到7班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回．在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”， 由题意知，， 所以. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·天津南开·期末）甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则 ； ． 【答案】 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观， 每人只去一个大学，共有种不同情况； 事件为“4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 事件为“只有甲去了大学”，共有种不同情况， 事件为“甲去了大学且4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 所以，，， 所以. 故答案为：； 变式6．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 【答案】(1)0.3 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）解：设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”， 则，， 因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件， 所以.   根据概率的加法公式，，解得， 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得，且.   因为， 所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：， 根据条件概率公式，可得， 故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为. 变式7．（25-26高二上·湖北·月考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求： (1)“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率； (2)“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设分别表示“甲，乙两轮猜对个成语”的事件，其中． 根据独立性假定，得， ， 记“两轮活动中”星队”共猜对2个成语“， 则，且互斥，与与与相互独立， 所以 ． 因此，“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率为. （2）记“两轮活动中‘星队’至少猜对3个成语”，则． 所以，． 因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为． 考点二 全概率公式 例1．（2025·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 例2．（2025·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 例3．（2025·河南安阳·模拟预测）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ． 【答案】 【详解】甲袋任取两个球的可能性有三种： 甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：， 故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：. 故答案为： . 例4．（25-26高三上·天津南开·月考）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 【答案】 【详解】第一局乙同学获胜的概率为，则第一局甲同学获胜的概率为 对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为， 若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为. 故甲同学第二局比赛获胜的概率. 比赛三局即结束，则甲连胜三局或乙连胜三局， 设事件为“比赛进行三局即结束”，事件为“乙取得比赛最终胜利” 则，， 故. 故答案为：；. 例5．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 例6．（25-26高三上·福建厦门·月考）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 变式1．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 变式2．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）甲乙两地毗邻而居，据统计，甲地下雨时，乙地也下雨的概率为80%，甲地不下雨时，乙地下雨的概率为20%，若气象台预计某天甲地下雨的概率为60%，则当天乙地下雨的概率是（   ） A．44% B．48% C．52% D．56% 【答案】D 【详解】设事件表示甲地下雨，事件表示乙地下雨， 所以， 所以. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·天津·期末）盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为 ． 【答案】 ； 【详解】根据题意记“第一次取出红球”为事件，“第二次取出黑球”为事件， 易知， 再由放球规则可知，第二次取球时袋中共有10个球，所以可得； 由全概率公式可得第二次取出的球是黑球的概率为； 在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为. 故答案为： 变式4．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 【答案】 ； 【详解】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 变式5．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 考点三 贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 例2．（24-25高二下·山东青岛·月考）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 例3．（24-25高二下·广东广州·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 例4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为 . 【答案】 【详解】记“李同学第二天去了乙食堂就餐”， 由全概率公式，得， 因事件与事件是对立事件，则，， 由贝叶斯公式，得. 故答案为：. 变式1．（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：B． 变式3．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【答案】 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 变式4．（24-25高二下·福建泉州·月考）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过．从数学的角度解释这一现象，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是 ． 【答案】 【详解】设事件A为“小孩诚实”，事件B为“小孩第一次说谎”， 则，，，． 由全概率公式得． 由贝叶斯公式得， 所以第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 考点一 条件概率 例1．（2026·重庆·一模）从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （    ） A． B． C． D． 例2．（2026·海南海口·一模）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·山东济南·期末·多选）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 例4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为 . 例5．（25-26高三上·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 例6．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）某公司招聘面试环节共设置了4道题目，应聘者需依次作答且回答各题是相互独立的，第1至4题分值依次为10，20，30，40分，各题答对得满分，答错得0分.累计得分不低于40分即可结束面试并入围下一环节，否则继续作答直至答完4道题目.已知应聘者甲能够答对各道题的概率分别是0.8，0.6，0.5，0.2. (1)求甲答完第3题就入围下一环节的概率； (2)求甲没有入围下一环节的概率. 例7．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·浙江宁波·期末·多选）镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·江苏常州·期末）某校高二年级举行米接力赛，共有7条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”．赛制规定：由1到7班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回．在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率为 ． 变式5．（25-26高三上·天津南开·期末）甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则 ； ． 变式6．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 变式7．（25-26高二上·湖北·月考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求： (1)“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率； (2)“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率． 考点二 全概率公式 例1．（2025·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河南安阳·模拟预测）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ． 例4．（25-26高三上·天津南开·月考）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 例5．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 例6．（25-26高三上·福建厦门·月考）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 变式1．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）甲乙两地毗邻而居，据统计，甲地下雨时，乙地也下雨的概率为80%，甲地不下雨时，乙地下雨的概率为20%，若气象台预计某天甲地下雨的概率为60%，则当天乙地下雨的概率是（   ） A．44% B．48% C．52% D．56% 变式3．（25-26高三上·天津·期末）盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为 ． 变式4．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 变式5．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 考点三 贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·山东青岛·月考）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·广东广州·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 例4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为 . 变式1．（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 变式3．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 变式4．（24-25高二下·福建泉州·月考）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过．从数学的角度解释这一现象，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $