第8章 成对数据的统计分析 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第八章成对数据的统计分析 五维课堂坐 章未归纳提升 [知识整合·思维导图] 散点图 (x-(- :1 xy-y 样本相关系数 正相关负相关 (y:-y)2 -m -1 数值 变量 相关性 (x: -x)(y-y) xiyi-nry y=bx+a ,a=y- 一元线性 (x-x)2 回归模型 残差分析 误差分析 非线性回 2(%-) 归模型 决定系数R2=1 成对 t-1 数据 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 分类 变量 2X2列联表 独立性检验 判定依据：零假设 等高堆积条形图 [题型梳理·素养聚焦] [考点一] 回归分析 (1)在图中画出表中的数据散点图； 高考对回归分析的命题常以实际生活为背 (2)根据(1)中的散点图看出，可以用线性回 景，考查经验回归方程的求法和应用经验回 归方程进行预测， 归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加 [例1]某公司为了准确把握市场，做好产品生 以说明； 产计划，对过去四年的数据进行整理得到了 (3)建立y关于x的经验回归方程，并预测 第x年与年销量y(单位：万件)之间的关系 如下表所示. 第5年的销售量， 2 参考数据： 2y-≈32.6， y 12 28 42 56 万件 60 5≈2.24,2xy:=418. i=1 501 参考公式：相关系数 30 20 10 2(x:-x)(y,-y） i=1 01234x/年 2x-2g- ·105· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 经验回归方程y=a+x中斜率和截距的最 ⊙[变式训练] 小二乘估计公式分别为： 1.为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的 影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的 2(x,-x)(y:-y) 2xy:-nay 肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单 z- 2x- 位：mmol/L),空腹血糖CLU指标值（单位： mmol/L)如表所示： a=y-bx. 人员 2 3 4 5 6 编号 BMI 25 27 30 32 33 35 40 值x 42 TC指标 5.35.45.55.65.76.56.97.1 值y CLU指 6.77.27.38.08.18.69.09.1 标值之 用变量y与x,之与x的相关系数，分别说明 TC指标值与BMI值、CLU指标值与BMI 值的相关程度， 参考公式： 规律方法 1.相关系数的关注点 相关系数r (1)相关系数可以反映两个变量之间的线性 (x-02- 相关程度，即散点集中于一条直线的程 参考数据：x=33,y=6,2=8,含(x,-0)9 度，其符号反映了相关关系的正负性. =244, (2)变量间是否具有线性相关关系，可通过 含y-≈36，--54， 散点图或相关系数做出判断，散点图只 (x,-x)(y:-)=28.3, :=1 有粗略做出判断，用相关系数能够较准 含x-)(%-)=35.424≈15.6 确的判断相关的程度. √3.6≈1.9，√5.4≈2.3. 2.求经验回归方程的步骤 (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来 判断两个量是否具有线性相关关系. (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求 回归系数 (3)写方程：写出经验回归方程，并利用经验 回归方程进行预测说明. ·106· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂兰 [考点二]独立性检验 附： 独立性检验问题具有较强的现实背景和较 a 0.05 0.01 0.001 强的实践性，与它有关的试题一般贴近生 3.841 6.635 10.828 活，能激发学生对生活、对数学的热爱，因此 成为近几年高考的一大热点.试题往往涉及 n(ad-bc)2 其中xX=(a+bd十0ac)(b+d,n= 收集数据填2X2列联表，并按照公式处理 a+b+c+d. 数值得到x的值并进行比较，以考查学生 的统计思想和基本的数据处理能力为主，难 度不大 [例2]2024年世界乒乓球团体锦标赛 (2024World Team Table Tennis Champi- onships)于2024年2月16日至25日在韩 国釜山举行，吸引了广大乒乓球爱好者的目 光.某市媒体为了了解本市市民对乒乓球的 爱好情况，进行了一次调查问卷，随机抽取 男性、女性市民各100人调查.在这抽取的 200人中，根据年龄分为“少年”“青年”“中 年”“老年”四组，其中爱好乒乓球运动的人 群统计结果如下表： 人群 少年 青年 中年 老年 频数 42 38 25 15 (1)根据所提供的数据，完成下面的2×2列 联表，依据a=0.01的独立性检验，能否认 为市民对乒乓球的喜爱情况与性别有关： 喜爱 不喜爱 合计 男性 70 女性 50 合计 (2)从喜爱乒乓球和不喜爱乒乓球的人中按 分层抽样抽取10人，从这10人中选出3人 进行专访，记这3人中喜爱乒乓球的人数为 X,求X的分布列和期望。 ·107· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 是否获奖 性别 合计 独立性检验的关注点 获奖 不获奖 1.步骤：列表，计算，判断； 男生 2.注意； 女生 合计 100 (1)x的计算公式较复杂，一是公式要清 楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同 是计算时要细心； 组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)判断时把计算结果与临界值比较，其值 n(ad-bc)2 附：X=(a+b)(c+dD(a+c)(b+d0' 越大，有关的可信度越高， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 ◇[变式训练] 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2.为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养 青少年的创新精神和实践能力，某市开展 “青少年科技创新大赛”活动.已知参加该活 动的学生有1000人，其中男生600人，女 生400人，为了解学生在该活动中的获奖情 况是否与性别有关，现采用分层抽样的方 法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩 (百分制)，其频率分布直方图如图(1)(2) 所示. 颜率 频 组距 组距 0.0150 0.0150 0.0125 0.0125 0.0100 0.0075 0.0075 0.0050 0.0025 020406080100男生参赛成绩/分020406080100女生参赛成绩/分 (1) (2) (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学 生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖， 请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下 面的列联表，并依据小概率值α=0.1的独 立性检验判断是否可以认为“参赛学生是否 获奖与性别有关”. ·108· 第八章成对数据的统计分析 五维课堂到 [考点三]数学直观、逻辑推理一统计模型 参考公式及数据：样本相关系数 [例3]某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻 2(x,-x)(y:-y 习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思 想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地 -- 区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当 =250,2（0y-02=320. 地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根 n(ad-bc)2 据市场前景重点考察了A,B两种景观树 X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进 其中n=a+b+c+d. 行了引种试验，分别引种树苗A,B各50 附表： 株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 树苗A,B株数之比为1：3. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成下面的2×2列联表，依据α=0.01 的独立性检验，分析树苗A,B的成活率是 否有差异； 树苗类别 成活率 合计 树苗A 树苗B 成活株数 未成活株数 合计 50 50 100 (2)已知树苗A引种成活后再经过1年的 生长即可作为景观树A在市场上出售，但 每株售价y(单位：百元)受其树干的直径x (单位：cm)影响，扶贫工作小组对一批已出 售的景观树A的相关数据进行统计，得到 结果如下表： 直径x 10 15 20 25 30 单株售价y 8 10 16 27 根据上述数据，判断是否可以用线性回归模 型拟合y与x的关系，并用样本相关系数r 加以说明.（一般认为r>0.75为高度线 性相关) ·109· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 主学习与成绩进步”是否有关 1.利用相关系数r较准确的刻画了两个变 没有进步 有进步 合计 量间的相关程度，为建立线性回归模型， 参与周末在校 35 130 165 对实际问题做出预测奠定了基础、 自主学习 未参与周末在 2.根据随机变量X的含义，借助P(x> 25 30 55 校自主学习 x。)=a这个可信度，较客观地分析两个 合计 60 160 220 变量的相关性. 附：方差-2 ◇[变式训练] 相关系数： 3.为了了解高中学生课后自主学习数学时间 (c,-x)(y.-y） (x分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的 关系，某实验小组做了调查，得到一些数据 含-- 回归方程y=bx十a中斜率和截距的最小二 (表一). (x,-t)(y:-) =1 编号 1 2 3 4 5 乘估计公式分别为= 学习时间x 30 40 50 60 70 x,-2 a=y-bx, 数学成绩y 65 78 85 99 108 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数 0.10 0.05 0.0100.0050.001 (精确到0.001)； 2.7063.841 6.6357.87910.828 (2)请用相关系数说明该组数据中y与x之 间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 出y关于x的回归直线方程，并由此预测每 天课后自主学习数学时间为100分钟时的 数学成绩（参考数据：盒，=2820，y =435,23=38999,107.4≈1540,2的 方差为200)； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校 自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查 了220位学生.按照是否参与周末在校自主 学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值α =0.001的独立性检验，分析“周末在校自 ·110·世五维课堂 [例3]解：(1)列联表如下： 打篮球 性别 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)零假设H。,假设是否喜爱打篮球与性别无关 t-×8226064.286 因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关. (3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.其概 率分别为P(X=0)= -最Prx=n-g-品 C319' P(X=2)= C0=9 C3381 故X的分布列为 0 9 10 38 19 38 X的均值为E(X0=0+8+0-1 变式训练 3.解：(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分 别为PP,则A=8-0,75,P,-器-06i (2)零假设H0,假设甲机床的产品质量与乙机床的产品 质量无差异.根据列联表中数据，可得X的值为 X-400X050X8027120X50)2_-40≈10.256. 200×200×270×130 39 10.256>6.635,.有99%的把握认为甲机床的产品质 量与乙机床的产品质量有差异」 当堂达标 1.A[用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系时， 算出的随机变量X2的值越大，说明“A与B有关系”成立 的可能性越大，由此可知A正确.故选A.门] ·15 数学·选择性必修第三册 2.D[独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问 题中的确定性是存在差异的.] 3解析：设男生有x人，由题意可得2X2列联表如下， 喜欢 不喜欢合计 4 男生 女生 -0 x 合计 5 若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概 率超过0.01但不超过0.05，则3.841<x2<6.635. /4 2.x .21312 2 7 212, 3.841<号<6.635，解得40.3<<69.7， 又x为5的整数倍，.被调查的学生中男生可能人数为 45,50,55,60,65. 答案：45,50,55,60,65. 4.解析：因为x2=8.013>7.879=x0.005,查阅X2表知有 99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系. 答案：是 5.解：(1)列表如下： 休闲方式 性别 合计 看电视 运动 女 43 27 70 男 21 33 54 合计 64 60 124 (2)x2=124X(43×33-27×21)2 ≈6.201， 70×54×64×60 x2>3.841且X2<6.635, .有95%的把握认为性别与休闲方式有关. 章来归抽提升 [例1解：(1)画出散点图如图所示. (2)由(1)中的散点图可知，各点大 ↑y万件 60 致分布在一条直线附近，且由题中 50 所给表格及参考数据得： 40 30 y=9,多4=418， 25 20 10 01234x/年 参考答案 √②(y:-)≈32.66,2x=30, 含，--)=名w:-4=18-4×号×盟 =73, √②,-√-30-4×（）-52.24， 2(x-0- 73 r 2(x,-)22(y-y2 2.24X32.66≈0.998. N =1 因为y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线 性相关程度相当高， 所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系. (3)由(2)知，b= -,-智号 x-42 =1 区5=-2，所以y关于x的经验回归方程为二3) -2. 当2=5时-得X5一2=71，故预测第5年的镜售量 为71万件. 变式训练 28.3 1.解：变量y与工的相关系数r≈15.6x1.9≈0.95， 35.4 变量之与x的相关系数是r≈15.6x2.3≈0.99，可以看 出TC指标值与BMI值，CLU指标值与BMI值都是高度 正相关. [例2]解：(1)2×2列联表如下： 喜爱 不喜爱 合计 男性 70 30 100 女性 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为H0:市民对乒乓球的喜爱情况与性别无关 计算得 20(70×50-50×30)2=25=8.333>6.635 120×80×100×100 3 =x0.01· 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断零假设H。 不成立，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该 市市民对乒乓球的喜爱与性别有关. ·15 五维课堂马 (2)在抽样的200人中，喜爱乒乓球的有120人，不太喜 爱乒乓球的人有80人，比例是3：2，从而分层抽样抽取 10人中，6人喜爱乒乓球，4人不喜爱乒兵球，则X的可 能取值为0,1,2,3，从而P(X=0)=C=0,P(X D-S-PX=)-e-2P0x=3-器 Cio 6 则X的分布列为 0 1 2 3 3 30 10 2 所以E(X)=0X 1 19 2+130+2X2+3以60 30 变式训练 2解，(1由题老可知，抽取的10名学生中男主有80 100=60(人)，女生有100一60=40（人），所以男生中获奖 的人数为2×0.0125×20×60=30，不获奖的人数为 60一30=30；女生中获奖的人数为(0.0125+0.0075)× 20×40=16,不获奖的人数为40一16=24.所以补全2×2 列联表如下. 是否获奖 性别 合计 获奖 不获奖 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计 46 54 100 零假设为H;参赛学生是否获奖与性别无关. 根据列联表中的数据，计算得到 X=10X30X430X16》2≈0.966<2.706=a1 46×54×40×60 所以依据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据 世五维课堂 推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为“参赛学 生是否获奖与性别无关” (2)男生参赛成绩的总分约为(10×0.0025十30×0.0075 +50×0.0150+70×0.0125+90×0.0125)×20×60 =3600(分). 女生参赛成绩的总分约为(10×0.0050十30×0.0100十 50×0.0150+70×0.0125+90×0.0075)×20×40 =2120(分). 所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为 3600+2120=57.2. 100 [例3]解：试验发现有80%的树苗成活，故未成活的树苗 有20株，未成活的树苗A,B株数之比为1：3，所以树 苗A未成活5株，成活45株，树苗B未成活15株，成活 35株. (1)补充列联表如下： 树苗类别 成活率 合计 树苗A 树苗B 成活株数 45 35 80 未成活株数 5 15 20 合计 50 50 100 由表中数据计算可得72=100X45×15一35X52 80×20×50×50 =6.25<6.635=x0.01, 故没有99%的把握认为二者有差异. (2)可以用线性回归模型拟合y与x的关系.由题表中 数据易得x=20,y=13， 所以r=-10)×(-9)+(-5)X(-5)+0X(-3)+5X3+10X14 √/250X√J320 ≈0.95>0.75.故可以用线性回归模型拟合y与x的 关系. ·156 数学·选择性必修第三册 变式训练 3.解析：(1)元=30+40+50+60+70=50，)= 5 65+78+85+99+108_-435=87,又x,(i=1,2,3,…, 5 5 5)的方差为号含(-2=20，含.(，-)2=(65 87)2+(78-87)2+(85-87)2+(99-87)2+(108 87)2=484+81+4+144+441=1154, 2x-)- 2x9-24-2x+ √含(z-22y:-y)2 含x:-5dy 22820-5×50×87 √/1000×∑(y:-y)2 10√/11540 ≈1879≈.96， (2)由(1)知r≈0.996接近1，故与之间具有极强的线性 相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合， _x-0x- (x:-x)2 1 24·522820-5x50×87-1.07 5X200 1000 a=y-7x=87-1.07×50=33.5,故y=1.07x+33.5 当x=100时，y=140.5,故预测每天课后自主学习数学 时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. (3)零假设H。:周末在校自主学习与成绩进步无关，根 据数据，计算得到： n(ad-bc)2 X2=(a+b)(c+d)(a+c)6+d 220X(C25X130-35×30)-=10≈12.2，因为12.22 165×55×60×160 >10.828,所以依据α=0.001的独立性检验，可以认为 “周末自主学习与成绩进步”有关，