第8章 成对数据的统计分析 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第八章成对数据的统计分析 8君· 5 所以6≥3841，解得≥138.276，又m∈N,且号∈ (2)由列联表中数据，得X 2m.3n.2m.3n N,所以n≥140，即本次被调查的人数至少 5 5 是140. 品要使在犯错误的概率不大于0.05的前提 (3)由(2)可知，140× 5 =56(人)，即本次被调查 下，认为“性别与休闲方式有关”，则X≥3.841， 的人中，至少有56人的休闲方式是运动， 章未归纳提升 对应学生课时P05 [知识整合·思维导图] 散点图 ∑x,y,-my 样本相关系数 正相关负相关 y-ny 数值 变量 相关性 x)(y-y) ∑y- y=bx +a =1 ,a=y-bz ∑(-x)2 ∑-2 一元线性 回归模型 残差分析 误差分析 非线性回 归模型 决定系数R2=1 41 (y-)2 成对 数据 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 分类 变量 2×2列联表 独立性检验 判定依据：零假设 等高堆积条形图 [题型梳理·素养聚焦] [考点一] 回归分析 (1)在图中画出表中的数据散点图； 高考对回归分析的命题常以实际生活为背景，考查 (2)根据(1)中的散点图看出，可以用线性回归模型 经验回归方程的求法和应用经验回归方程进行 拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； 预测. (3)建立y关于x的经验回归方程，并预测第5年 [例1]某公司为了准确把握市场，做好产品生产计 划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年 的销售量， 销量y(单位：万件)之间的关系如下表所示. 参考数据 ∑(y:-y)2≈32.66， 3 4 12284256 5≈2.24，之xy,=418. 万件 参考公式：相关系数 60 50 40 2(-)y- 30 含x-)20,- 10 经验回归方程y=a十bx中斜率和截距的最小二乘 01234x/年 估计公式分别为： ·145· 数学·选择性必修第三册 2红-0y-0 2.求经验回归方程的步骤 2(x,-x) 2x-nr (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断 = 两个量是否具有线性相关关系. a=y-bx. (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归 解：(1)画出散点图如图所示 系数. (2)由(1)中的散点图可知，各点 1y万件 (3)写方程：写出经验回归方程，并利用经验回归 60 大致分布在一条直线附近，且由 50 方程进行预测说明， 题中所给表格及参考数据得： 30 ◇[变式训练] =5,=9,xy,=418, 2,y= 20 10 1.为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在 2=1 01234x1年 肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI /(y-)≈32.66,2x2= 值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L),空腹血 =1 立y,-4=418-4X 糖CLU指标值（单位：mmol/L)如表所示： 30,∑(x-x)(y-y)= =1 人员 =73, 2 5 6 7 8 编号 BMI 25 27 30 32 33 35 40 42 值x ∑(x,-x)(y:-y） 73 2.24,r= TC指标 2.24×32.66 5.35.45.55.65.76.56.97.1 值y ≈0.998.因为y与x的相关系数近似为0.998，说 CLU指 明y与x的线性相关程度相当高， 6.77.27.38.08.18.69.09.1 标值之 所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系 用变量y与x,之与x的相关系数，分别说明TC指 标值与BMI值、CLU指标值与BMI值的相关程 (3)由(2)知， a-y-b-5 73 度.参考公式： 73×5 (x,-x)(y.-y) 2 =一2，所以y关于x的经验回归方程为 相关系数r 23 0-2.当=5时，0=73×5-2=71，故预测 =1 参考数据：7=33，y=6,2=8,立(x,-x)2=244, 第5年的销售量为71万件. 规律方法 2586-=5 1.相关系数的关注点 x-x)(-)=28.3. 1 (1)相关系数可以反映两个变量之间的线性相关 程度，即散点集中于一条直线的程度，其符号 ,-)(g-)=35.4w24≈15.6W8.6≈ 反映了相关关系的正负性 1.9W5.4≈2.3. (2)变量间是否具有线性相关关系，可通过散点 解：变量y与的相关系致心服。0.95 图或相关系数做出判断，散点图只有粗略做 35.4 出判断，用相关系数能够较准确的判断相关 变量之与x的相关系数是r' 15.6×2.3≈0.99， 的程度. 可以看出TC指标值与BMI值，CLU指标值与 BMI值都是高度正相关. ·146· 第八章成对数据的统计分析 [考点二]独立性检验 解：(1)2×2列联表如下： 独立性检验问题具有较强的现实背景和较强的实 喜爱 不喜爱 合计 践性，与它有关的试题一般贴近生活，能激发学生 男性 70 30 100 对生活、对数学的热爱，因此成为近几年高考的一 大热点.试题往往涉及收集数据填2×2列联表，并 女性 50 50 100 按照公式处理数值得到x2的值并进行比较，以考 合计 120 80 200 查学生的统计思想和基本的数据处理能力为主，难 度不大 零假设为H。:市民对乒乓球的喜爱情况与性别 无关 [例2]2024年世界乒乓球团体锦标赛(2024 World Team Table Tennis Championships)于2o24年2 计算得x= 200(70×50-50×30)2 120×80×100×100 25=8.333 月16日至25日在韩国釜山举行，吸引了广大乒乓 >6.635=x0.01.根据小概率值a=0.01的独立性 球爱好者的目光.某市媒体为了了解本市市民对乒 检验，推断零假设H。不成立，在犯错误的概率不 乓球的爱好情况，进行了一次调查问卷，随机抽取 超过0.01的前提下认为该市市民对乒乓球的喜爱 男性、女性市民各100人调查.在这抽取的200人 与性别有关. 中，根据年龄分为“少年”“青年”“中年”“老年”四 (2)在抽样的200人中，喜爱乒兵球的有120人，不 组，其中爱好乒乓球运动的人群统计结果如下表： 太喜爱乒兵球的人有80人，比例是3：2，从而分层 人群 少年 青年 中年 老年 抽样抽取10人中，6人喜爱乒乓球，4人不喜爱乒 频数 42 38 25 15 兵球，则X的可能取值为0,1,2,3，从而P(X=0) (1)根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表， C8CP(X=1)=C=0,PX=2)= 依据α=0.01的独立性检验，能否认为市民对乒乓 (-3)- 8C_1 球的喜爱情况与性别有关： C10 。 6 喜爱 不喜爱 合计 则X的分布列为 男性 70 X 0 1 2 3 女性 50 P 3 1 30 10 6 合计 所以E(X)=0X 1 +1× 9 30 10 2+3%6= (2)从喜爱乒乓球和不喜爱乒乓球的人中按分层抽 样抽取10人，从这10人中选出3人进行专访，记 规律方法 这3人中喜爱乒乓球的人数为X,求X的分布列 独立性检验的关注点 和期望. 1.步骤：列表，计算，判断； 附： 2.注意： 0.05 0.01 0.001 (1)x的计算公式较复杂，一是公式要清楚；二 3.841 6.635 10.828 是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要 细心； 其中X一 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+e)(b+d)n=a+b+c (2)判断时把计算结果与临界值比较，其值越大， +d. 有关的可信度越高. ·147· 数学·选择性必修第三册 ◇[变式训练] 是否获奖 2.为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年 性别 合计 的创新精神和实践能力，某市开展“青少年科技创 获奖 不获奖 新大赛”活动.已知参加该活动的学生有1000人， 男生 30 30 其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活 60 动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样 女生 16 24 40 的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩 (百分制)，其频率分布直方图如图(1)(2)所示， 合计 46 54 100 颏率 频率 组距 组距 零假设为H。;参赛学生是否获奖与性别无关。 0.0150 0.0150 0.0125 0.0125 根据列联表中的数据，计算得到 0.0100 0.0075 0.0075 0.0050 0.0025 100×(30×24-30×16)≈0.966<2.706= 020406080100男生参赛成绩/分020406080100女生参赛成绩/分 46×54×40×60 (1) (2) x。,1,所以依据小概率值a=0.1的独立性检验，没 (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获 有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成 奖，低于60分的参赛学生不能获奖.请将参赛学生 立，即认为“参赛学生是否获奖与性别无关” 获奖和不获奖的人数填人下面的列联表，并依据小 (2)男生参赛成绩的总分约为(10×0.0025+30× 概率值a=0.1的独立性检验判断是否可以认为 0.0075+50×0.0150+70×0.0125+90×0.012 “参赛学生是否获奖与性别有关” 5)×20×60=3600(分). 是否获奖 性别 合计 女生参赛成绩的总分约为(10×0.0050+30×0.0100 获奖 不获奖 +50×0.0150+70×0.0125+90×0.0075)×20 男生 ×40=2120(分). 女生 所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值 合计 100 为3600+2120=57.2. 100 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中 [考点三]数学直观、逻辑推理一统计模型 的数据用该组区间的中点值作代表). n(ad-bc)? [例3]某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平 附：X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植. 工作小组根据市场前景重点考察了A,B两种景观 解：(1)由题意可知，抽取的100名学生中男生有 树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了 600 1000 ×100=60（人），女生有100-60=40（人），所 引种试验，分别引种树苗A,B各50株，试验发现 以男生中获奖的人数为2X0.0125×20×60=30, 有80%的树苗成活，未成活的树苗A,B株数之比 不获奖的人数为60一30=30：女生中获奖的人数为 为1：3. (0.0125十0.0075)×20×40=16，不获奖的人数 (1)完成下面的2×2列联表，依据a=0.01的独立 为40-16=24.所以补全2×2列联表如下. 性检验，分析树苗A,B的成活率是否有差异： ·148· 第八章成对数据的统计分析 树苗类别 树苗类别 成活率 合计 成活率 合计 树苗A 树苗B 树苗A 树苗B 成活株数 成活株数 45 35 80 未成活株数 未成活株数 5 15 20 合计 50 50 100 合计 (2)已知树苗A引种成活后再经过1年的生长即可 50 50 100 作为景观树A在市场上出售，但每株售价y(单位： 由表中数据计算可得X 100×(45×15-35×5)2 百元)受其树干的直径x(单位：cm)影响，扶贫工作 80×20×50×50 小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统 =6.25<6.635=x.1, 计，得到结果如下表： 故没有99%的把握认为二者有差异. (2)可以用线性回归模型拟合y与x的关系.由题 直径x 10 15 20 25 2% 表中数据易得x=20,y=13,所以r= 单株售价y 8 10 16 27 (-10)×(-9)+(-5)×(-5)+0×(-3)+5×3+10×14 √250X√/320 根据上述数据，判断是否可以用线性回归模型拟合 ≈0.95>0.75.故可以用线性回归模型拟合y与2 y与x的关系，并用样本相关系数r加以说明.（一 的关系 般认为r>0.75为高度线性相关) 参考公式及数据：样本相关系数 规律方法 1.利用相关系数r较准确的刻画了两个变量间 (x,-x)(y:-) (x:-x)2=250, 的相关程度，为建立线性回归模型，对实际问 (y-y) 题做出预测奠定了基础， -0=320. 2.根据随机变量X的含义，借助P(x>x。)=a 这个可信度，较客观地分析两个变量的相关 n(ad-bc)2 X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 性. 其中n=a+b+c+d. ◇[变式训练] 附表： 3.为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟 /每天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实验小 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 组做了调查，得到一些数据（表一）. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 编号 1 2 3 解：试验发现有80%的树苗成活，故未成活的树苗 学习时间x 30 40 50 60 70 有20株，未成活的树苗A,B株数之比为1：3，所 数学成绩y 65 以树苗A未成活5株，成活45株，树苗B未成活 78 85 99 108 15株，成活35株。 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确 (1)补充列联表如下： 到0.001)： ·149· 数学·选择性必修第三册 (2)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关 解析：(1)x= 30+40+50+60+70=50,y 系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的 回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学 65+78+85+99+108_435=87,又x,(i=1,2,3, 5 时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：∑xy …,5)的方差为5含（x--20,0y-= =22820,24=435,2号=3899,107.4≈115 (65-87)2+(78-87)2+(85-87)2+(99-87)2+ 40,x的方差为200)： (108-87)2=484+81+4+144+441=1154, (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学 1 习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生， 按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有 进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据 及小概率值a=0.001的独立性检验，分析“周末在 √2-)2(y-y =1 校自主学习与成绩进步”是否有关， ∑xy:-5xy 22820-5×50×87 没有进步 有进步 合计 √1000×2(y,-2 10/11540 参与周末在校 35 130 165 ≈1070 0.996. 自主学习 1074 (2)由(1)知r≈0.996接近1，故与之间具有极强的 未参与周末在 25 30 55 线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟 校自主学习 2(x.-)0y.- 合计 60 160 220 合，b= 含u- 附：方差：=12(x,-) n=1 x·y一5 22820-5×50×87=1.07, 相关系数： 5×200 1000 (x,-x)(y:-) a=y-ba=87-1.07×50=33.5,故y=1.07x+ =1 33.5当x=100时，y=140.5,故预测每天课后自 Vx,-√含y-1 主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为 回归方程y=bx十a中斜率和截距的最小二乘估计 140.5分. (x,-x)(y,-y) (3)零假设H。:周末在校自主学习与成绩进步无 公式分别为方=日 ,a=y-bz, (,-x)2 关，根据数据，计算得到： =1 n(ad-bc)? n(ad-bc)? X- (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 220×(25×130-35×30)=110≈12.22，因为 165×55×60×160 9 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 12.22>10.828,所以依据a=0.001的独立性检 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 ·150