7.3.2 离散型随机变量的方差（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第七章随机变量及其分布 7.3.2 离散型 课程标准 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.掌握方差的性质以及两点分布的方差 3.会用方差解决一些实际问题 课前。 [情境引入] 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然 环境，且野生动物的种类和数量也大致相等， 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例 的事件次数的分布列分别为 X 0 2 3 0.3 0.3 0.2 0.3 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ [知识梳理] [知识点一]离散型随机变量的方差与标准差 1.定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表 所示. P 五维课堂型 随机变量的方差 素养解读 1.通过学习离散型随机变量的方差、标准 差，体会数学抽象的素养 2.借助方差的性质及两点分布的方差解 题，提高数学运算的素养 预习学案 则D(X)= 称为离散型随机变量X的方差，有时也记作 V(X); 称为离散型随机变量X 的标准差，记作σ(X). 2.意义：随机变量的方差和标准差都反映了随 机变量取值的离散程度，方差和标准差越 小，随机变量的取值越 ;方差与标 准差越大，随机变量的取值越 3.性质：若X与Y都是随机变量，且Y=aX十 b(a≠0)，则D(Y)= ?思考离散型随机变量的方差和样本方差 之间有何关系？ [知识点二]两点分布的方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布， 则D(X)= 9 世五维课堂 [预习自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”). (1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了 X取值的概率的平均值， (2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了 X取值的平均水平. () (3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了 X取值的波动水平， () (4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了 X取值的波动水平。 ( 课堂。 题型一 求离散型随机变量的方差、标准差】 [例1]已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 1 1 7 7 7 7 L7 17 求E(X)、D(X)与o(X) 思路点拨了充分利用离散型随机变量的均 值和方差的定义及性质求解，在应用方差的 定义求解时，特别注意，(x:一E(X)2p:中 的平方 ·60 数学·选择性必修第三册 2.设随机变量ξ的方差D()=1,则D(2ξ+1) 的值为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 3.若某事件在一次试验中发生次数的方差等 于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率 为 4.已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 p 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为 互动学案 规律方法 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤 理解X的意义，写出X可能取的全部值 写出X取每个值的概率 写出X的分布列 由均值的定义求出E(X) 利用公式D(X)= (x,-E(X)p:求值 2.若两变量间存在关系，则在求解方差时， 应注意方差性质的应用，如D(a+b)= aD(),这样处理既避免了求随机变量7 =aξ十b的分布列，又避免了繁杂的计 算，简化了计算过程 ◇[变式训练] 1.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号 的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3, 4).现从袋中任取一球，X表示所取球的 标号. 第七章随机变量及其分布 (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y=aX+b,E(Y)=1,DY)=11,试求a, b的值. 题型二 两点分布 [例2]某运动员投篮命中率p=0.6,求投篮 一次时命中次数X的均值与方差； 汇思路点拨]根据两点分布的均值和方差 公式直接计算 规律方法 如果随机变量X服从两点分布，那么其 方差D(X)=p(1一p)(p为成功概率). ·61 五维课堂到 ⊙[变式训练] 2.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A) 1,A发生， =m,令随机变量= 则￡的 0,A不发生， 方差D()等于 A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 题型三 离散型随机变量方差的应用 [例3]膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种 精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底 片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片 多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下 表1，表2. 表1 玻璃底片测量结果 测量结 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 果X 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2 软片底片测量结果 测量结 13.313.413.513.613.713.813.9 果Y 概率P0.050.050.150.500.150.050.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一 种测量结果较好？ 汇思路点拨]在解决此类问题时，首先应 列出分布列，使条件明朗化，然后计算数学 期望进行比较，若期望相等，还需计算方 差，看谁的稳定性强，一般地，方差越小，其 稳定性越强。 世五维课堂 规律方法 利用均值和方差的意义分析解决实际问题 的步骤 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了 离散型随机变量取值的平均水平，因此， 在实际决策问题中，需先计算均值，看一 下谁的平均水平高， 2.在均值相等的情况下计算方差.方差反映 了离散型随机变量取值的稳定与波动、集 中与离散的程度.通过计算方差，分析一 下谁的水平发挥相对稳定 3.下结论.依据方差的几何意义做出结论. ⊙[变式训练] 3.有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一 份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、 100分的概率分布大致如下表所示： 分数X 80 90 100 甲 概率P 0.2 0.6 0.2 分数Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平 ·6 数学·选择性必修第三册 题型四“分布列、均值、方差综合题 [例4]从4名男生和2名女生中任选3人观 看第十四届国际泳联世界锦标赛，设随机变 量X表示所选3人中女生的人数 (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. 汇思路点拨了根据概率定义求出分布列， 然后利用分布列与均值、方差等的关系 求解. …规律方法 1.均值仅体现了随机变量取值的平均大小， 如果两个随机变量的均值相等，还要看随 机变量的方差，方差大说明随机变量取值 较分散，方差小，说明取值比较集中.因 此，在利用均值和方差的意义去分析解决 问题时，两者都要分析 2.理解和处理数据，获得和解释结论，形成 通过数据认识事物的思维品质，提升数据 分析的数学核心素养。 ◇[变式训练] 4.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个 相互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射 手在每次射击中的环数均大于6环，且甲射 中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a, 0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3， 0.3,0.2. 第七章随机变量及其分布 (1)求，n的分布列； (2)求，？的均值与方差，并以此比较甲、乙 的射击技术 [当堂达标] 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分 蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)=11， D(Xz)=3.4.由此可以估计 () A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2.设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 1 1 1 1 P 3 6 4 则D(X)等于 ( ) A器 B别 C.179 144 n光 3.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标 有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡 片上的数字和为X,则D(X)= 4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= 日k=3,6,9则D(X)等于 5.为了解某地区初中学生的体质健康情况，统 计了该地区8所学校学生的体质健康数据， 按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及 格.良好及以上的比例之和超过40%的学 校为先进校.各等级学生人数占该校学生总 人数的比例如下表： ·6 五维课堂型 等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22%30% 33%26% 22%17% 23% 38% 不及格33%17%42%35%32%15% 38%24% (1)从8所学校中随机选出一所学校，求该 校为先进校的概率； (2)从8所学校中随机选出2所学校，记这2 所学校中学生不及格的比例低于30%的学 校个数为X,求X的分布列； (3)设8所学校的学生中优秀比例的方差为 ,良好及以下比例之和的方差为s,比较 子与s的大小 C温馨提店 学习至此，请完成配套训练世五维课堂 4解析：BX0=1x号+2x号+3×日=号 因为Y=aX+3,所以E0m=aB(X)+3=号a+3=-2. 解得a=-3. 答案：号-3 5.解：X可取的值为1,2,3， PX=1D=号PX=2)=号×-8 4=0 P(X=)=号×子×1=0 1 抽取次数X的分布列为 X 2 3 P 3 1 10 10 13 E(X0=1×3+2X0十3X027 7.3.2离散型随机变量的方差 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.[x1-E(X)]p1+[x2-E(X)]p2+…+[xm E(X)[z:-E(X)p:D(X) 2.集中分散3.a2D(X) [思考] 提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是 一个常数，不随样本的变化而变化； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的 知识点二 (1-p) 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[因为D(2E+1)=4D()=4×1=4,故选C.] 3.解析：事件在一次试验中发生次数记为X,X服从两点分 布，则D(X)=(1一p),所以(1-p)=0.25,解得p= 0.5 答案：0.5 ·1 数学·选择性必修第三册 4.解析：.E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2, .D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3. 2)2×0.5=3.56. X的标准差为VD(X)-√3.56=89 5 答案：V89 5 课堂互动学案 [例1解：X)=1×号+2×号+3×号+4×号+5× 7+6×号+7x号 =(1+2+…+7)×号=4. D(X)=1-402X号+(2-42×号+(3-4)2×7+(4 -402×号+(5-402×号+(6-402×7+(7-402×7 =(32+22+12+0+12+22+32)×7=4. o(X)=√D(X)=2. 变式训练 1.解：(1)X的分布列为 X 0 9 3 4 3 1 2 20 10 20 5 1 .1 3+4× E(X)=0×2+1×20+2×10+3×2 ,1=1.5. D0=(0-1.52×7+1-1.52×0+2-152×0 +(8-1.5)2×品+4-1.52×号-2.75. (2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时，由1=2×1.5十b, 得b=-2;当a=一2时，由1=-2×1.5+b,得b=4, 1a=2, 或 a=-2, 即为所求。 b=一2，b=4, [例2]解：投篮一次命中次数X的分布列为 X01 P0.40.6 此为两点分布，其中p=0.6. .E(X)=p=0.6,D(X)=(1-p)=0.6X0.4=0.24. 36 参考答案 变式训练 2.D[随机变量的分布列为 0 1 1-m m .∴.E()=0×(1-m)+1×m=m. .D()=(0-m)2X(1-m)+(1-m)2×m= m(1-m).] [例3]解：玻璃底片测量结果的均值与方差为： E(X)=13.4×0.05+13.5×0.15+13.6×0.60+13.7× 0.15+13.8×0.05=13.6, D(X)=(13.4-13.6)2×0.05+(13.5-13.6)2×0.15+ (13.6一13.6)2×0.60+(13.7-13.6)2×0.15+(13.8 13.6)2×0.05=0.07. 软片底片测量结果的均值和方差为： E(Y)=13.3×0.05+13.4×0.05+13.5×0.15+13.6× 0.50+13.7×0.15+13.8×0.05+13.9×0.05=13.6, D(Y)=(13.3-13.6)2×0.05+(13.4-13.6)2×0.05+ (13.5一13.6)2×0.15+(13.6-13.6)2×0.50+(13.7 13.6)2×0.15+(13.8-13.6)2×0.05+(13.9-13.6)2 ×0.05=0.016. 玻璃底片E(X)=软片底片E(Y),软片底片D(Y)<玻 璃底片D(X),∴软片底片测量的结果比较好. 变式训练 3.解：甲同学成绩的均值与方差为： E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90, D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2 X0.2=40. 乙同学成绩的均值与方差为： E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90, D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2 ×0.4=80. .D(X)<D(Y), 甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大 [例4]解：(1)X可能的取值为0,1,2. P(X=k)= CC C,k=0,1,2. X分布列 X 0 1 2 3 P 5 5 5 五维课堂兰 (2)X的均值与方差为： B(X)=0号+1×号+2号=1， D(x)=0-1D2×号+1-1)2×号+(2-1)2×号 (3)由(1)知“所求3人中女生人数X≤1”的概率为 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1D=4 5 变式训练 4.解：(1)依据题意0.5十3a十a十0.1=1， 解得a=0.1, 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以 乙射中7环的概率为1一(0.3十0.3十0.2)=0.2.所以5， ?的分布列分别为 10 9 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合(1)中5,7的分布列可得 E()=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环)， E(=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环)， D()=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2 ×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96. D(7)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2 ×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E()>E(),说明甲平均射中的环数比乙高； 又D()<D(),说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以甲的技术比乙好. 当堂达标 1.B[D(X甲)>D(Xz),.乙种水稻比甲种水稻分蘖 整齐.] 2.C[B(x0=1x+2x号+3x日+4×号-， xw=-器)°×+(-)°×号+(-器)× 专+(4}×器] 世五维课堂 3.解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12. 0-6P(X=9)-CxC-2 P(X=6)=C%=Z Cio -15 rx-12-C-00-6x+9x是e ×b-7.8,D0-是×6-.82+品×9-.82+ ×12-7.802=3.36, 答案：3.36 4.解折：B(X)=3×号+6X3+9×号-=6， DX0)=(3-6)2×号+(6-62×3+(9-62×号=6. 答案：6 5.解：(1)8所学校中有4所学校的学生的健康测试成绩达 到良好及以上的比例之和超过40%， 所以从8所学校中随机选出一所学校，该校为先进校的 概率为2 (2)8所学校中，学生不及格比例低于30%的学校有学校 B,F,H,所以X的取值为0,1,2. P(X=0)= C号_5 C14' P(X=1)= CC15 C8281 P(X=2) C号_3 C8281 所以X的分布列为 中 0 1 2 15 3 28 28 (3)设优秀的比例为随机变量Y,则良好及以下的比例之 和Z=1-Y,则D(Y)=D(Z),所以s子=s. 7.4二项分布与超儿何分布 7.4.1二项分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.可能结果2.相互独立 [思考] 1.提示：(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率 不变； 18 数学·选择性必修第三册 (2)各次试验结果互不影响； (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的 知识点二 1.(1)Cp(1-p)-t(3)2Cp(1-p)-t=[p+(1-p)]n =1 [思考] 提示：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于 它是否同时满足以下三个条件. (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一. (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件 A发生的概率都是同一常数p. (3)X的取值从0到n,中间不间断 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即= 1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一 般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 知识点三 np np(I-p) 预习自测 1.提示：(1)×因为骰子的质地不同，点数1出现的概率 不同，因此不是4重伯努利试验 (2)×X=0,1,2,…,n. (3)×P(X=)=C%(1-)n-,k=0,1,2,…,n. 2.C[米次抽奖活动中，参与者每次抽中关的概率均为号， 现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为P= c×(号)()-器」 3.c[PX=3)=()×, 课堂互动学案 [例1]解：记一个读者借一本数学书为事件A,借技术书 为事件A,因此一个读者借一本书可看作是独立重复试 验，其中P(A)=0.8,P(A)=0.2,故所求概率为P Cg×0.80×0.25+Cg×0.81×0.24+C号×0.82×0.23≈ 0.0579.即至多有2人借数学书的概率约为0.0579. 变式训练 1.解：1D甲拾好击中日标2次的概率为C心（合）°-号 (2)乙至少击中目标2次的概率为 c()‘(传)'+c()-器 58