7.3.2 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A.　 　B.　 C.　 　D. 解析：B　[由分布列的性质得x＋y＝0.5， 又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.] 2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 解析：D　[E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.] 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的方差为(　　) A．D(X)＝1 B．D(X)＝ C．E(X)＝ D．E(X)＝1 解析：A　[抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列为 X 1 －1 P 0.5 0.5 所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.] 4．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0<p1<p2<，则(　　) A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 解析：A　[根据已知得ξi(i＝1,2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，因为0<p1<p2<，所以E(ξ1)＝p1<p2＝E(ξ2)，D(ξ1)－D(ξ2)＝p1－p－(p2－p)＝(p1－p2)[1－(p1＋p2)]，已知p1<p2，p1＋p2<1，所以D(ξ1)－D(ξ2)<0，即D(ξ1)<D(ξ2)．] 5．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表，则(　　) X －1 0 1 P A.P(X＝0)＝　　 B．E(X)＝－ C．D(X)＝ D．D(X2)＝ 解析：ABD　[由X的分布列可知P(X＝0)＝，所以A正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， 所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝，所以B正确，C不正确； 因为P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝， 所以E(X2)＝，所以D(X2)＝2×＋2×＝，所以D正确．故选ABD.] 6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是(　　) X x Y P y X A.存在x，y∈(0,1)，E(X)> B．对任意x，y∈(0,1)，E(X)≤ C．对任意x，y∈(0,1)，D(X)≤E(X) D．存在x，y∈(0,1)，D(X)> 解析：BC　[依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy， 又2xy≤＝，所以E(X)≤， 当且仅当x＝y＝时取等号，∴A错误，B正确； D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx， ∵0<x<1，∴－1<2x－1<1，∴0<(2x－1)2<1， ∴D(X)<yx，即D(X)<E(X)，∴C正确； ∵D(X)＝(1－2x)2yx<xy≤＝， 当且仅当x＝y＝时取等号．∴D错误． 故选BC.] 7．阿尔法围棋(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款D级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为X千元，则D(X)＝　______　. 解析：依题意可知，X的可能取值为0,2,5,10，则P(X＝0)＝C3＝，P(X＝2)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝10)＝C3＝，所以E(X)＝0×＋2×＋5×＋10×＝，又E(X2)＝02×＋22×＋52×＋102×＝，所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. 答案： 8．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝　________　，b＝　________　. X －1 0 1 2 P a b C 解析：由题意知解得 答案：　 9．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为　________　，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为　________　. 解析：“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为P＝＝. 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为2××＝.“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 答案：　 10．已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384. (2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536. 11．已知X的分布列如下. X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1， 故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. (3)E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2， D(Y)＝16D(X)＝11. [能力提升] 12．有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y. 求：(1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的数学期望与方差． 解：(1)X的取值为0,1,2,4. P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝； P(X＝4)＝＝. (2)X的分布列如下： X 0 1 2 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. 13．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差． 解析：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数n＝C＝20，这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数，”A1表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名数学老师”，A1，A2互斥，且A＝A1∪A2，P(A1)＝＝＝，P(A2)＝＝，∴选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为P＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝； (2)由于从6名老师中任选3名的结果为C，从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为CC(m＝0,1,2)，那么6名中任选3人，恰有m名数学老师的概率为P(X＝m)＝，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案：(1) (2)E(X)＝1，D(X)＝ [素养培优] 14．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D＋D＝2·D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3×(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)． 所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3. 学科网（北京）股份有限公司 $