精品解析：广东茂名市信宜市2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学 一，选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 6 D. 2. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是 （ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某校开展植树造林活动，如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴于点，点为的中点，连接，若的面积为2，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二，填空题（共5小题，每小题3分共15分） 11. 若菱形的一条边长为，则这个菱形的周长为__________． 12. 方程的根是___________． 13. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 14. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 15. 如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为__________． 16. 阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 17. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 18. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 四，解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 20. 如图，把边长为的等边绕边的中点O旋转，得到． （1）四边形是什么样的四边形？试说明理由． （2）求四边形的面积． 21. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 五，解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 23. 问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学 一，选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数． 根据一元二次方程的项与系数的定义即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故选：D． 2. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案． 【详解】解：奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是， 故选：． 3. 一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是 （ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可． 【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0， ∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根． 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得，． 故选：D． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ． 故选：A． 6. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 7. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某校开展植树造林活动，如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：A． 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 10. 如图，点是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴于点，点为的中点，连接，若的面积为2，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及其几何意义，过双曲线上任意一点向轴、轴作垂线，所围成的矩形的面积等于．过点作轴的垂线，垂足为，求出矩形的面积等于，根据图象所在象限即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图， 则矩形的面积等于图中的面积的倍， ∵的面积为2，点为的中点， ∴的面积为 矩形的面积等于， ， 双曲线位于一、三象限， ， 的值为． 故选：D 二，填空题（共5小题，每小题3分共15分） 11. 若菱形的一条边长为，则这个菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的四条边相等结合菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的一条边长为， ∴这个菱形的周长为， 故答案为：． 12. 方程的根是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，可令每个一次因式的值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解． 13. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 14. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 【答案】8 【解析】 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 15. 如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据正方形的性质求出，再证明与是等腰直角三角形，得，从而得正方形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴与是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 16. 阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）； （2） 解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 17. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 18. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 四，解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 20. 如图，把边长为的等边绕边的中点O旋转，得到． （1）四边形是什么样的四边形？试说明理由． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形． 理由是：∵是等边三角形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理． （1）由旋转知，，从而，从而可证明四边形ABCD是菱形； （2）先求出菱形对角线的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵O是边长为的等边的边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴． 21. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 五，解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像略 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 23. 问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 【答案】（1）；（2）线段与的数量关系为，位置关系为；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）延长交于．证明，可得，即可求解； （3）连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点．证明，可得，，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图②，延长交于． 由折叠得，点与点关于对称， ，即． ． 在和中， ， ， ， ， ． 四边形为矩形， ，，． ， ． 综上所述，线段与的数量关系为，位置关系为． （3）如图③，连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点． 由旋转的性质得，，，， ． ． ，． 在和中， ， ． ， ． ，， ，． ，， ，． ， ． ，． ． ， ． ， ． ， ． ，即， ． ． ． 即幼苗种植区四边形的面积为． 【点睛】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $