专题02 随机变量的概率分布8种题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题02随机变量的概率分布8类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、随机变量分布列的性质 类型二、二项分布的均值与方差 类型三、超几何分布的均值与方差 类型四、二项分布的最大概率问题 类型五、比赛背景下的概率分布问题 类型六、二项分布的综合 类型七、超几何分布的综合 类型八、正态分布的综合 压轴专练 类型一、随机变量分布列的性质的应用 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)若X服从两点分布，则E(X)＝p； 3．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．且 (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 例1.（1）（多选）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是（　　） X 0 1 2 P m n m A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由分布列的性质有，结合基本不等式、期望公式、方差性质及与期望的关系判断各选项的正误. 【详解】由题意，且， 而，大小不确定，A错误； ，B正确； ，则，当且仅当时等号成立，C正确； 由， 所以，不一定小于1，D错误； 故选：BC （2）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 变式1-1．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 【答案】/0.28 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为： 变式1-2．已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 【答案】C 【分析】表示出期望与方差，利用基本不等式判断不等关系即可． 【详解】由题意得， 则． 因为所以，即，故A，B错误． 因为，所以，即， 因为， 所以，即，故C正确． 因为，故D错误． 故选：C． 变式1-3．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 变式1-4．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【答案】1 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 类型二、二项分布的均值与方差 若服从二项分布，则 例2．（多选）已知随机变量，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BD 【分析】利用二项分布的期望和方差公式，结合随机变量线性关系的期望和方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，所以， 又因为，所以，故A错误； 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 由于，即，故C错误； 若，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即有最大值，故D正确； 故选：BD. 变式2-1.（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望方差公式及期望方差的性质逐项计算判断. 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 变式2-2.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 变式2-3设随机变量，其中且，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望公式及期望的性质求出，再利用二项分布的方差公式及方差性质求解. 【详解】由随机变量，得，由，得， 解得，于是，解得，由， 得，则，解得， 所以. 故选：A 变式2-4.已知随机变量，，且，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用服从二项分布结合已知可得，可求得，进而利用二项分布的期望与方差公式求得期望与方差，结俣期望与方差的性质求解即可. 【详解】易得，，由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故选：C． 类型三、超几何分布的均值与方差 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 例3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号) 【答案】①②④ 【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解. 【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布． ∴E(X)＝＝，E(η)＝＝. 又X的分布列 X 0 1 2 P ∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝， D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝. η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝， D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝. ∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确． 故答案为：①②④. 变式3-1．若随机变量，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布的期望公式可得，进而得到，再根据对勾函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，，则， 因为，则， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，时，取得最小值. 故答案为：. 变式3-2．某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可. 【详解】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布， 所以，其中， 所以， 故选：A 变式3-3．设随机变量（且），当最大时， . 【答案】2 【分析】利用超几何分布的概率公式及期望公式计算即可. 【详解】由随机变量，则， 因为最大，所以有， 即 整理得， 又，所以，则， 故答案为：2 变式3-4．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2); 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率； （2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得. 【详解】（1）依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得 . 另解：因 则 类型四、二项分布的最大概率问题 （1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加；当时， ，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大. （2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，利用二次函数的性质或者可以用导数求函数最值与最值点. 分析： 当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值. 例4．（1）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【详解】（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. （2）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)时，取得最大值 【分析】(1)根据X的取值分别为2，3，4，求得X的分布列，进而求期望即可； (2)根据题意求出的表达式，再求导数，判断出单调性即可求极值得解. 【详解】（1）根据题意可知X的取值可能为2，3，4， 则，， ， 则的分布列为： 2 3 4 所以. （2）由题意可得，， ， 令，解得， 因为当时，，所以为单调增函数， 因为时，，所以为单调减函数， 所以当时，取得最大值. 变式4-1．某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、厂州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有 个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 【答案】 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故答案为：. 变式4-2．某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)取到27的可能性最大 【分析】（1）先求出甲同学家长未收到通知的概率，再利用对立事件概率公式求解； （2）确定的可能取值，分别计算各取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （3）先确定的可能取值，再根据超几何概率公式，结合作商法确定单调性，即可分析取到最大值的情况． 【详解】（1）李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为， 王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为， 因为李老师和王老师发通知是独立事件， 所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为， 所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为； （2）表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 期望； （3）表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40， 设，则， 所以， 令，解得， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 又， 则， 所以时概率最大， 则取到27的可能性最大． 变式4-3．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2025年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 变式4-4.如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案； （2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差； ②根据二项式定理即可求得最大项. 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 类型五、比赛背景下的概率分布问题 1.善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如Ai：表示“第i局比赛胜利”，则表示“第i局比赛失败”. 2.善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P（A）＝1－P（）解出所求事件的概率.在处理离散型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率 例5．某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . （2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：. 变式5-1．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得. 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 变式5-2．某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 【答案】(1)14 (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）分一轮，二轮，三轮，四轮分别计算可得总场数； （2）（i）随机变量的取值为，分别计算可得其分布列，进而可求数学期望；（ii）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场， 第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛； （2）（i）随机变量的取值为， 当，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ； （ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件，一号队获得冠军为事件， 则， 由（i）知，， 则， 即一号队在的条件下获得冠军的概率为. 变式5-3．甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，最大值为 【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； （2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. 类型六、二项分布的综合 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 例6．某中学举行有关飞鸟知识的竞答比赛，甲、乙两名同学进入了最后的决赛阶段，该阶段需要两名同学分别从6个题目中随机地抽取3个题目来作答，已知6个题目中，有3个是甲擅长的，一定能答对，另外3个是甲不擅长的，每题答对的概率只有6个题目中，乙答对每个题目的概率均为;甲乙各次答题相互独立，在决赛阶段作答的3个题目中，记甲、乙答对的题目个数分别为X和Y. (1)若求随机变量Y的数学期望和方差; (2)求随机变量X的分布列; (3)求在决赛阶段，乙至少答对一道题目的概率大于甲至少答对一道题目的概率时p的取值范围. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据二项分布的均值和方差公式计算即可； （2）首先分析得的可能取值为0，1，2，3，再分别写出其分布列即可； （3）根据正难则反的原则得到，解出即可. 【详解】（1）当时，， . （2）的可能取值为0，1，2，3且 ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）乙至少答对一道题目的概率为， 甲至少答对一道题目的概率为， 由题得：，结合解得 变式6-1．某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差. 【答案】(1)，101厘米 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解的值，从而利用平均数的概念求解平均高度； （2）根据频率分布直方图求解高度在区间内的频率，结合二项分布求解的期望和方差即可. 【详解】（1）由，得， 这1000棵成熟期作物的平均高度为 厘米. （2）高度在区间内的频率为， 由样本估计总体知，高度在区间的概率为0.3， 因为，所以. 变式6-2．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 变式6-3．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)分布列见解析，，． (3)应选择方案一的抽奖方式，理由见解析 【详解】（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为， ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． （2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为． 则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，． （3）因为，， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 类型七、超几何分布的综合 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 例7．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了200名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成6组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名顾客评分的平均值； (2)若顾客对该购物网站的评分低于50分，则称顾客对该购物网站非常不满意，从以上样本中评分低于60分的顾客中随机抽取2人，记X为对该购物网站非常不满意的顾客人数，求X的分布列与期望． 【答案】(1)，平均值； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用频率和为1来求，利用中点值和频率来计算平均数； （2）根据超几何概率分布来求概率及分布列和期望即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知:，解得， 则这200名顾客评分的平均值为：（分）； （2）由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数是，评分在内的顾客人数是， 则在2人中对购物网站非常不满意的顾客人数的所有可能取值为， ， 则的分布列为 0 1 2 故． 变式7-1．年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，1. 【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且， 由题意得，，解得，则红球有2个， 记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则， 所以该消费者获得一等奖的概率为. （2）由题意，的取值是，则，，， 的分布列为： 0 1 2 期望. 变式7-2．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)50； (2)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m， 由分层随机抽样方法得=，解得， 所以估计小池塘中有50条鱼. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， X的分布列为 0 1 2 3 . 变式7-3．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 类型八、正态分布的综合 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 例8．某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】(1)，88分 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数； （2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望； （3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解. 【详解】（1）由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. （3）由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 变式8-1．为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【答案】(1)甲有资格参加决赛 (2) 【分析】（1）根据正态分布的概率算出不低于88分的人数，从而判断； （2）根据二项分布的期望性质，方差性质进行求解. 【详解】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 所以甲有资格参加决赛； （2）设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 变式8-2．近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 变式8-3．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 压轴专练 1.已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 2.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 3.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 4.盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 5.设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】方法一：计算出，利用公式得到，得到先增大后减小， 方法二：设随机变量，得到的分布列，计算出，得到先增大后减小. 【详解】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 6.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 7.（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 8.设随机变量，其中且，若，，则 . 【答案】/ 【分析】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 故答案为： 9.已知，随机变量的分布列为 的最小值为 【答案】 【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值． 【详解】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：. 10.“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可． 【详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 11.若随机变量的数学期望和方差分别为，对于任意，不等式成立，某次数学考试满分150分，共有8600名学生参加考试，全体学生的成绩，则分数不低于115分的学生人数最多为 . 【答案】387 【分析】由已知，可取，带入题目给的不等式中，计算分数不低于115分的学生的概率，然后再乘以总人数即可完成求解. 【详解】因为，所以 取，则， 所以， 所以分数不低于115分的学生人数最多为. 故答案为：387. 12.有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或9. 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）先将所求事件分成两种互斥事件：①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回；②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，分别利用组合数公式求其概率，再运用概率加法公式即可； （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为： . （2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：； ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为： . 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为. （3）依题意，， 由，解得，即， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9. 13.从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 14.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军.  已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 【答案】(1)①；② (2)答案见解析 【分析】（1）① 甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；② 明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望； （2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利. 【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，又，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 则的分布列如下： 2 3 4 0.16 0.552 0.288 所以数学期望. （2）在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为. (ii) 在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”， 设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则； 设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”， 则； 设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”， 则； 所以 . 由，且， 当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02随机变量的概率分布8类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、随机变量分布列的性质 类型二、二项分布的均值与方差 类型三、超几何分布的均值与方差 类型四、二项分布的最大概率问题 类型五、比赛背景下的概率分布问题 类型六、二项分布的综合 类型七、超几何分布的综合 类型八、正态分布的综合 压轴专练 类型一、随机变量分布列的性质的应用 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)若X服从两点分布，则E(X)＝p； 3．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．且 (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 例1.（1）（多选）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是（　　） X 0 1 2 P m n m A． B． C． D． （2）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 变式1-1．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 变式1-2．已知随机变量的分布列如下，则下列说法中正确的是（    ）． x y P y x A．存在x， B．对任意x， C．对任意x， D．存在x， 变式1-3．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-4．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 类型二、二项分布的均值与方差 若服从二项分布，则 例2．（多选）已知随机变量，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 变式2-1.（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 变式2-2.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 变式2-3设随机变量，其中且，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 变式2-4.已知随机变量，，且，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 类型三、超几何分布的均值与方差 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 例3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号) 变式3-1．若随机变量，且，则的最小值为 ． 变式3-2．某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．设随机变量（且），当最大时， . 变式3-4．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 类型四、二项分布的最大概率问题 （1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加；当时， ，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大. （2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，利用二次函数的性质或者可以用导数求函数最值与最值点. 分析： 当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值. 例4-1．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 例4-2.为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 变式4-1．某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、厂州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有 个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 变式4-2．某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 变式4-3．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2025年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 变式4-4.如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 类型五、比赛背景下的概率分布问题 1.善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如Ai：表示“第i局比赛胜利”，则表示“第i局比赛失败”. 2.善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P（A）＝1－P（）解出所求事件的概率.在处理离散型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率 例5．某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 变式5-1．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 变式5-2．某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 变式5-3．甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 类型六、二项分布的综合 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 例6．某中学举行有关飞鸟知识的竞答比赛，甲、乙两名同学进入了最后的决赛阶段，该阶段需要两名同学分别从6个题目中随机地抽取3个题目来作答，已知6个题目中，有3个是甲擅长的，一定能答对，另外3个是甲不擅长的，每题答对的概率只有6个题目中，乙答对每个题目的概率均为;甲乙各次答题相互独立，在决赛阶段作答的3个题目中，记甲、乙答对的题目个数分别为X和Y. (1)若求随机变量Y的数学期望和方差; (2)求随机变量X的分布列; (3)求在决赛阶段，乙至少答对一道题目的概率大于甲至少答对一道题目的概率时p的取值范围. 变式6-1．某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差. 变式6-2．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 变式6-3．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 类型七、超几何分布的综合 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 例7．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了200名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成6组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名顾客评分的平均值； (2)若顾客对该购物网站的评分低于50分，则称顾客对该购物网站非常不满意，从以上样本中评分低于60分的顾客中随机抽取2人，记X为对该购物网站非常不满意的顾客人数，求X的分布列与期望． 变式7-1．年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 变式7-2．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 变式7-3．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 类型八、正态分布的综合 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 例8．某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 变式8-1．为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 变式8-2．近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 变式8-3．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 压轴专练 1.已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 2.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5.设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 6.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 7.（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 8.设随机变量，其中且，若，，则 . 9.已知，随机变量的分布列为 的最小值为 10.“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 11.若随机变量的数学期望和方差分别为，对于任意，不等式成立，某次数学考试满分150分，共有8600名学生参加考试，全体学生的成绩，则分数不低于115分的学生人数最多为 . 12.有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 13.从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 14.在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军.  已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $