统计与概率：独立事件的乘法公式、条件概率 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

统计与概率：独立事件的乘法公式、条件概率专项训练 统计与概率：独立事件的乘法公式、条件概率专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 条件概率 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二上·山东聊城·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建泉州·期末·多选）已知随机事件与相互独立.若，且，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·四川达州·月考·多选）已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 例5．（25-26高二上·云南楚雄·期末）甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为 . 例6．（25-26高二上·福建宁德·期末）甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； (2)若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 例7．（25-26高二上·福建泉州·期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 变式1．（25-26高二上·辽宁·月考）已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·四川巴中·一模·多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 变式4．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三上·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 变式6．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 变式7．（25-26高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． (1)若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 变式8．（25-26高二上·四川泸州·期中）某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． (1)若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． (2)记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 考点二 条件概率 例1．（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河南三门峡·期末）一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 例4．（2026·四川雅安·一模）甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为 . 例5．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为 ． 例6．（2026·江西·一模）在某次数学测试中. (1)甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； (2)若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 例7．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 变式1．（2026·山东泰安·一模）在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广西·模拟预测）将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津北辰·月考）甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 变式4．（25-26高二上·陕西汉中·期末）一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 ． 变式5．（25-26高二上·广东佛山·期末）甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. (1)甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； (2)为使总得分不低于分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 变式6．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：独立事件的乘法公式、条件概率专项训练 统计与概率：独立事件的乘法公式、条件概率专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 条件概率 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二上·山东聊城·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为， 所以甲乙都没有成功破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 例2．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 例3．（25-26高二上·福建泉州·期末·多选）已知随机事件与相互独立.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为随机事件与相互独立， 所以，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 例4．（25-26高二上·四川达州·月考·多选）已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ABD 【详解】选项A：若发生则必然发生，说明，故， 因此，A正确. 选项B：若与互斥，则，B正确. 选项C：若与相互独立，则， 故，C错误. 选项D：若A与B相互独立，则， 故，D正确. 故选：ABD 例5．（25-26高二上·云南楚雄·期末）甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为 . 【答案】 【详解】因为乙队每场比赛获胜的概率为， 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 故答案为：. 例6．（25-26高二上·福建宁德·期末）甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； (2)若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设一轮比赛中，“甲投中”，“乙投中”，“闪电队”投中篮球至少有1次， 由于两人投篮的结果互不影响，所以相互独立，由已知可得，， “至少投中1次”的对立事件是“甲、乙都没投中”， . 因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是. （2）设分别表示甲两轮投篮投中1次，2次的事件，分别表示乙两轮投篮投中1次，2次的事件， 根据事件独立性，得 ， ， 设表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3次， 且两两互斥，与，与，与分别相互独立， ， 因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是. 例7．（25-26高二上·福建泉州·期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令“甲答对”为事件，“乙答对”为事件， 则， 则， （2）满足甲答对的次数多于乙的情况如下：①甲答对1次，乙答对0次，②甲答对2次，乙答对0或1次， . 所以甲答对的次数多于乙的概率为 变式1．（25-26高二上·辽宁·月考）已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 事件相互独立， ， ∵事件与也相互独立， ， 两式相除可得， 解得. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两人向同一目标各射击1次，设甲命中目标为事件，则， 设乙命中目标为事件，则， 两人的射击相互独立， 则目标没被命中的概率为， 则目标至少被命中1次的概率为， 已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为. 故选：B. 变式3．（2026·四川巴中·一模·多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【答案】BD 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 变式4．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 变式5．（25-26高三上·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有 ①甲以3：0获胜，概率为； ②甲以3：1获胜，概率为； ③甲以3：2获胜，概率为. 所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为. 甲获胜的总概率为. 所以条件概率为. 故答案为：. 变式6．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 【答案】 【详解】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为， 则至少有一人投中的概率； 故答案为：. 变式7．（25-26高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． (1)若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲连续投篮次，“至少投中次”的对立事件是“两次均未投中”， 甲投不中的概率为，连续两次未投中的概率为， 故至少投中次的概率为. （2）甲投中的次数比乙投中的次数恰好多包含两种互斥情况， 第一种：甲投中次，乙两次未投中， 甲投中次可能为第一次命中或第二次投中，故其概率为， 乙两次未投中的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 第二种：甲投中次，乙投中次， 甲连续投中次的概率为， 乙投中次的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 甲乙相互独立，故甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率为. 变式8．（25-26高二上·四川泸州·期中）某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． (1)若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． (2)记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以 ， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． （2）若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 考点二 条件概率 例1．（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则， 所以， 故选：A． 例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件选取的两球有一个球的编号为，事件选取的两个球中另一个球的编号也为， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：C. 例3．（25-26高三上·河南三门峡·期末）一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 【答案】 【详解】数字中有2个偶数，3个奇数， 记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数， 则事件B就是积事件，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶: 当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有种取法； 当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有种选法， 这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种取法. 方法一：所以. 所以, 故答案为：. 方法二：所以， 由条件概率公式知， 故答案为：. 例4．（2026·四川雅安·一模）甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为 . 【答案】 【详解】记事件为“甲乙两人中至少有一人选择景点A”，事件为“甲乙两人选择的景点不相同”， 甲乙两人从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，共有种不同的选法， 甲乙两人都不选择景点A的方法有种， 因此甲乙两人中至少有一人选择景点A的方法共有 种， 甲乙两人中至少有一人选择景点A的概率， 表示甲乙两人中至少有一人选择景点A，且甲乙两人选择的景点不同， 即一人选择景点A，另一人选择其它景点，共有 种选法，则， 所以. 故答案为： 例5．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   例6．（2026·江西·一模）在某次数学测试中. (1)甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； (2)若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， ； （2）记，将该班学生的成绩从小到大排列，若为整数， 则应取第个与第个数据的平均值作为第90百分位数， 而题干中说明该班每位同学的分数不同，所以上述平均值不在原始成绩中， 这与第90百分位数为第五名的成绩不符.故不为整数， 所以应选取第个数据作为第90百分位数 因此，即， 解得 例7．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场､第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负. ∴. （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知， . 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为. 变式1．（2026·山东泰安·一模）在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 变式2．（2026·广西·模拟预测）将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件A: 抽到的两个字母相同，事件B: 抽到的字母均为e， 注意到重复情况仅可能为两个e或两个s， 故，， 于是. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·天津北辰·月考）甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 【答案】 【详解】第3次投壶的人是乙的有四种情况： ①第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ②第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； ③第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ④第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； 综上，第3次投壶的人是乙的概率； 设第2次投壶的人是甲为事件A，第1次投壶的人是乙为事件B， 则，， 则， 所以在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为. 故答案为： ； 变式4．（25-26高二上·陕西汉中·期末）一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 ． 【答案】 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·广东佛山·期末）甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. (1)甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； (2)为使总得分不低于分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【详解】（1）总得分为分的条件是： 甲第一阶段答对（从而进入第二阶段），且乙在第二阶段两题全部答对， 甲第一阶段答对的概率为；乙第二阶段两题全对的概率为； 由于事件独立，总概率为. （2）总得分不低于分等价于：第一阶段答对，且第二阶段答对至少题（得分或分），分两种情况计算： 情况一：甲参加第一阶段，乙参加第二阶段 甲第一阶段答对的概率：； 乙第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 情况二：乙参加第一阶段，甲参加第二阶段 乙第一阶段答对的概率：； 甲第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 因为，故应选甲参加第一阶段. 变式6．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $