猜想03 条件概率、独立事件及三个分布高频题型归类（考题猜想，12大题型）高二数学下学期人教B版

猜想03 条件概率、独立事件及三个分布高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件概率 · 题型二 独立事件 · 题型三 全概率公式与贝叶斯公式 · 题型四 二项分布 · 题型五 超几何分布 · 题型六 正态分布 · 题型七 分布列的性质 · 题型八 分布列的均值与方差 · 题型九 递推概率问题 · 题型十 概率综合问题 题型一 条件概率 1．（2023·24高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与不互斥 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，因为事件与事件可能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张，每种卡片至少有一人选择的选法共有种， 其中甲选择卡片A选法有种，故， 乙选择卡片选法有种，故， 甲选择卡片A且乙选择卡片选法有种，故, 所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 2．（2023·24高二下·云南玉溪·期中）（多选）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月是暑期旅游高峰期.甲､乙､丙､丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京､上海､广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C． D． 【答案】CD 【详解】依题意基本事件总数为种， 其中满足事件的有种；满足事件的有种； 满足事件的有种； 对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个， 故，， 则，，即，故D正确， 故选：CD 3．（2023·24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 4．（2024·25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 5．（2024·25高三上·广东广州·期中）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是 . 【答案】 【详解】在A先胜一局的条件下，A再胜第二局，即前两局A胜的概率为， A第一局和第三局胜，第二局输的概率为， 所以在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是. 故答案为： 6．（2023·24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 【答案】 【详解】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”， 则，，， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：． 题型二 独立事件 7．（2023·24高二下·安徽合肥·期中）甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】只有1人答对的概率. 故选：B 8．（2024·25高二上·四川泸州·期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若发生时一定发生，则 【答案】B 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A正确； 对于B，若A与B互斥，则，故B错误； 对于C，因为，则， 因为，所以事件A与相互独立， 故C正确； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确． 故选：B. 9．（2024·25高二上·广东韶关·期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，甲没有通过面试的概率， 乙没有通过面试的概率， 所以甲、乙都没有通过面试的概率为， 所以甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是. 故答案为： 10．（2023·24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)的分布列见解析，期望为 【详解】（1）先从3个同学中选出2个同学，有, 从4个社团中选2个，有种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法， 因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 （2）同学甲选报足球社的概率为， （3）甲报足球的概率为，不报的概率为， 乙丙报足球的概率均为，不报的概率为， 故可取， , 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 11．（2023·24高二下·天津滨海新·期中）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【详解】（1）的所以可能取值有， , , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 故 （2）表示第一辆车遇到的红灯个数，表示第二辆车遇到的红灯个数， 则 12．（2024·25高三上·河南周口·期中）假期某家长带着甲、乙两个小孩参与户外活动体验，锻炼小孩的适应能力与创新能力，其中在参与“过独木桥”活动的过程中，每参与一次称为一次实险（不管是否通过），甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和．若一次性通过得分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立．已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为分的概率为． (1)求的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列，并通过数据证明． 【答案】(1)或 (2)分布列答案见解析，证明见解析 【详解】（1）由题意知，甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为分， 则甲通过乙不通过，或者乙通过甲不通过， 所以，其概率为，整理可得， 解得或，经检验，都合乎题意. 因为或. （2）由题意，解得，故， 所以，甲、乙两人能一次性通过的概率分别为、， 由题意可知，随机变量的可能取值为、、、、， ， ， ， ， ， 所以，的分布列如下表所示： 则. 13．（2024·25高二上·四川南充·期中）甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为. (1)求，的值； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知由， 解得,所以. （2）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有 “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ， 所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. 题型三 全概率公式与贝叶斯公式 14．（2024·25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 15．（2024·25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 16．（2023·24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 【答案】(1)0.7 (2)0.4 【详解】（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”， “月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， “用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， “用户对S型新能源汽车满意”， 则，，两两互斥，且，，， ，，， 由全概率公式得 ． （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率， 17．（2023·24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 题型四 二项分布 18．（2023·24高二下·广东·期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 而，所以的可能取值为， 所以 . 故选：D． 19．（2023·24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 20．（2023·24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 【答案】2025 【详解】由题意可得， ， 因为， 所以， 所以使成立的的分别为，共2025个， 故答案为：2025. 21．（2023·24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)0.992 【详解】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 22．（2023·24高二上·全国·课后作业）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【详解】（1）记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用，则 D=A+BC, = = . （2）由题意，，且 分布列如下： 23．（2023·24高二下·贵州遵义·期中）第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”； (2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得，成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”， 则“普法王者”的频率为， 则该校参赛人数达20000人中“普法王者”人数为. （2）随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为， 则的取值为0，1，2，3， 由（1）知，从中任取一人是“普法王者”的概率为，不是“普法王者”的概率为， 则，， ，； 故的分布列为： 0 1 2 3 题型五 超几何分布 24．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 【答案】BC 【详解】由题意知随机变量服从超几何分布； 的取值分别为0，1，2，3，4， 则，， ，，， 故选：BC． 25．（2023·24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】解：记该同学会做的题目数为X，由题意，，2，3， ，，， 所以该同学会做的题目数的分布列为： X 1 2 3 P 26．（2023·24高二下·北京朝阳·期中）今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 (1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列； (2)若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【详解】（1）由题意易知的可能取值为：0，1，2，3， 则，，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 （2）由题意易知的可能取值为：0，1，2，3，4， 则，，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 27．（2023·24高二下·河南洛阳·期中）袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球， (1)求取出的红球数的概率分布列； (2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 （2）设“取出4个球得分不超过5分”的事件记为， 则事件表示取出的球中有1个红球和3个黑球的情况或4个黑球的情况，则. 28．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，组委会需要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作（其中有3人两项工作都能胜任），现从中选3人做翻译工作．试求： (1)在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率； (2)在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【详解】（1）依题意可知：有人只胜任英语翻译，有人只胜任法语翻译，有人两项工作都能胜任， 所以从中选3人做翻译工作，在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率为. （2）的可能取值为， ， ， 分布列如下： 数学期望为. 题型六 正态分布 29．（2024·25高三上·河南许昌·期中）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【详解】由随机变量，且，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 30．（2024·25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察曲线知，. 故选：D 31．（2024·25高三上·湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【答案】A 【详解】因为，所以，， ， 根据正态曲线的对称性可得， . 故选：A. 32．（2024·25高三上·湖北·开学考试）已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 33．（2024·25高三上·河北沧州·期中）（多选）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（    ） A． B．越小，越大 C． D． 【答案】ABC 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： ，，， 越小，说明数据越集中，故越大， 故选：ABC 34．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． 题型七 分布列的性质 35．（2023·24高二下·云南迪庆·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据概率和为1， 得， 解得， 故选：A． 36．（2023·24高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以.   故选：A. 37．（2023·24高二下·全国·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （    ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【答案】B 【详解】由题意得，解得， ，解得， 故. 故选：B 38．（2023·24高二下·广东东莞·期中）已知随机变量的概率分布为，则 . 【答案】 【详解】由概率之和为可得， 即，解得. 故答案为：. 39．（2023·24高二下·北京·期中）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 【答案】①②③． 【详解】对于①，， ， ，故①正确； 对于②，当时，，故②正确； 对于③，若为等差数列，则，，故③正确； 对于④，当的通项公式为时， ，故④错误． 故答案为：①②③． 题型八 分布列的均值与方差 40．（2023·24高二下·广东清远·阶段练习）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【详解】根据题意可得，解得或（舍）， 所以， . 故答案为：. 41．（2024·25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 42．（2023·24高二下·山东济宁·期中）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】(1) 0 1 2 (2)120元 【详解】（1）的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 （2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 43．（2024·25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 44．（2023·24高二下·山东聊城·期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） (1)若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? (2)从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； (3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 【答案】(1)； (2)，. (3)期望是，方差是. 【详解】（1）设“这位大学生选择球类运动”为事件A，则， “这位大学生选择羽毛球”为事件B， 则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则， 故所求的概率为：， 所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是； （2）因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人， 男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， ； （3）由已知可得：， 则：， ， 所以选择羽毛球的人数的期望是，方差是. 45．（2023·24高二下·福建泉州·阶段练习）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. (1)求选手乙正确作答2个题目的概率； (2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； (3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； (3)答案见解析 【详解】（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率． （2）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3． 所以，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望． （3）设选手乙正确作答的题目个数为，则， 数学期望， 由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大． 46．（2023·24高三下·江西·阶段练习）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：    减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②乙型号 【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为， 按等级用分层抽样的方法抽取10件， 则抽取一级品为（件）， 记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则． （2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为， 二级品的概率为，三级品的概率为， 由题意，的所有可能的取值为， 所以， ， ， ， 分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以； ②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值： ； 乙型号减排器的利润率的平均值： ； ，又， 则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大． 题型九 递推概率问题 47．（2023·24高二下·山东青岛·期中）（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】BCD 【详解】由题可知，质点运动到的概率， 则，故A错误； 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，故B正确； 上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 所以是首先为，公比为的等比数列，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD． 48．（2023·24高二下·河南·期中）（多选）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”， 则，， 又因为，， 所以， 即，故A错误； 对于B，表示第1次回答问题结束后甲的得分为0， 则，故B正确； 对于C，第次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，且甲在第次回答问题时回答正确， ②第次答题者是乙，且乙在第次回答问题时回答错误， 由全概率公式可得，，故C正确； 对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为，则第1次答题者是甲， 且甲在次回答问题时都回答正确， 所以，故D正确． 故选：BCD． 49．（2023·24高二下·福建厦门·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为 . 【答案】/0.3125 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以， 所以5次传球后球在甲手中的概率为． 故答案为：. 50．（2023·全国·模拟预测）在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立． (1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率； (2)求第n次射击的人是乙的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种： 第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率； 第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶， 其概率． 所以3次射击后甲得20分的概率． （2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件， 则， 所以，又由，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 故第n次射击的人是乙的概率为． 题型十 概率综合问题 51．（2023·24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 52．（2023·24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】由题意，a， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确． 故选：C. 53．（2023·24高二下·河北邢台·期中）（多选）某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为，且每次投篮互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．当时，该同学共进行3次投篮，恰好命中2次的概率为0.144 B．当时，该同学共进行10次投篮，表示命中的次数，则 C．当时，该同学共进行10次投篮，恰好命中次的概率为时，最大 D．若该同学共进行次投篮，其中投中次的概率为，则 【答案】BCD 【详解】对于选项，所求概率为. 对于选项，. 对于选项，，当最大时，，即 所以即 解得，又，所以.故为6时，最大. 对于D选项，. 因为， ， 两式相加得，所以， 所以. 故选：BCD. 54．（2023·24高二下·山西临汾·期中）（多选）单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（    ）. A．若，则的最大值为3 B．若，当取最大值时， C．当，n为偶数时， D．若 ，，则n的最小值为6 【答案】AC 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知. 对于 A，， 当且仅当时，取得最大值3，故A正确. 对于 B，，当取最大值时，， 即，解得，即或9，故B错误. 对于 C，，故C正确. 对于 D，，因为，所以， 所以，化简得， 令， 因为，所以单调递减， 又，，所以n的最小值为5，故D错误. 故选：AC. 55．（2023·24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 【答案】(1)平均成绩，标准差为 (2)17 (3)分布列见解析；期望为 【详解】（1）由题意得：平均成绩， 标准差为 （2）因为，， 所以 所以超过141的人数为：人 （3）设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”． 由题知，可取6，4，2，0． 因为，， ， 所以随机变量的分布列为： 6 4 2 0 P 于是， 56．（2023·24高二下·山东临沂·期中）强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 【详解】（1）的所有可能取值是1，2，3，4． ，， ，， 所以的分布列是 1 2 3 4 P 数学期望是． （2）设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，则 ， 由，得． 令，因为，，所以， 所以，设，则， 因为，当时，取得最大值． 所以，当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 57．（2023·24高三上·湖北黄冈·期中）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； (2)若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； (3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，， 【答案】(1) (2)1587 (3)或 【详解】（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为； （2）因为，所以， 故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为； （3）以随机变量表示甲答对的题数， 则且， 记甲答完题所加的分数为随机变量， 则，所以， 依题意为了获取答道题的资格， 甲需要的分数为：， 设甲答完题后的最终得分为， 则 . 由于，所以当或时，取最大值. 即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多. 【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力. $$猜想03 条件概率、独立事件及三个分布高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件概率 · 题型二 独立事件 · 题型三 全概率公式与贝叶斯公式 · 题型四 二项分布 · 题型五 超几何分布 · 题型六 正态分布 · 题型七 分布列的性质 · 题型八 分布列的均值与方差 · 题型九 递推概率问题 · 题型十 概率综合问题 题型一 条件概率 1．（2023·24高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与不互斥 B． C． D． 2．（2023·24高二下·云南玉溪·期中）（多选）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月是暑期旅游高峰期.甲､乙､丙､丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京､上海､广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C． D． 3．（2023·24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 4．（2024·25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 5．（2024·25高三上·广东广州·期中）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是 . 6．（2023·24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 题型二 独立事件 7．（2023·24高二下·安徽合肥·期中）甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·25高二上·四川泸州·期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若发生时一定发生，则 9．（2024·25高二上·广东韶关·期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 10．（2023·24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 11．（2023·24高二下·天津滨海新·期中）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 12．（2024·25高三上·河南周口·期中）假期某家长带着甲、乙两个小孩参与户外活动体验，锻炼小孩的适应能力与创新能力，其中在参与“过独木桥”活动的过程中，每参与一次称为一次实险（不管是否通过），甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和．若一次性通过得分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立．已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为分的概率为． (1)求的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列，并通过数据证明． 13．（2024·25高二上·四川南充·期中）甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为. (1)求，的值； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 题型三 全概率公式与贝叶斯公式 14．（2024·25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 16．（2023·24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 17．（2023·24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 题型四 二项分布 18．（2023·24高二下·广东·期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 19．（2023·24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 20．（2023·24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 21．（2023·24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 22．（2023·24高二上·全国·课后作业）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列． 23．（2023·24高二下·贵州遵义·期中）第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”； (2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列. 题型五 超几何分布 24．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 25．（2023·24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 26．（2023·24高二下·北京朝阳·期中）今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 (1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列； (2)若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列. 27．（2023·24高二下·河南洛阳·期中）袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球， (1)求取出的红球数的概率分布列； (2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率． 28．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，组委会需要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作（其中有3人两项工作都能胜任），现从中选3人做翻译工作．试求： (1)在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率； (2)在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数的分布列和数学期望． 题型六 正态分布 29．（2024·25高三上·河南许昌·期中）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C． D． 30．（2024·25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024·25高三上·湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 32．（2024·25高三上·湖北·开学考试）已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 33．（2024·25高三上·河北沧州·期中）（多选）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（    ） A． B．越小，越大 C． D． 34．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 题型七 分布列的性质 35．（2023·24高二下·云南迪庆·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 3 4 5 A． B． C． D． 36．（2023·24高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 37．（2023·24高二下·全国·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （    ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 38．（2023·24高二下·广东东莞·期中）已知随机变量的概率分布为，则 . 39．（2023·24高二下·北京·期中）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 题型八 分布列的均值与方差 40．（2023·24高二下·广东清远·阶段练习）已知随机变量，若，则 . 41．（2024·25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 42．（2023·24高二下·山东济宁·期中）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 43．（2024·25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 44．（2023·24高二下·山东聊城·期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） (1)若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? (2)从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； (3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 45．（2023·24高二下·福建泉州·阶段练习）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. (1)求选手乙正确作答2个题目的概率； (2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； (3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由. 46．（2023·24高三下·江西·阶段练习）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：    减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 题型九 递推概率问题 47．（2023·24高二下·山东青岛·期中）（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 48．（2023·24高二下·河南·期中）（多选）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 49．（2023·24高二下·福建厦门·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为 . 50．（2023·全国·模拟预测）在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立． (1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率； (2)求第n次射击的人是乙的概率． 题型十 概率综合问题 51．（2023·24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（2023·24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 53．（2023·24高二下·河北邢台·期中）（多选）某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为，且每次投篮互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．当时，该同学共进行3次投篮，恰好命中2次的概率为0.144 B．当时，该同学共进行10次投篮，表示命中的次数，则 C．当时，该同学共进行10次投篮，恰好命中次的概率为时，最大 D．若该同学共进行次投篮，其中投中次的概率为，则 54．（2023·24高二下·山西临汾·期中）（多选）单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（    ）. A．若，则的最大值为3 B．若，当取最大值时， C．当，n为偶数时， D．若 ，，则n的最小值为6 55．（2023·24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 56．（2023·24高二下·山东临沂·期中）强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 57．（2023·24高三上·湖北黄冈·期中）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； (2)若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； (3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，， $$