第二十一章 四边形单元测试卷 2025—2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的 1.下列说法不正确的是() A.矩形的对角线相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一组邻边相等的四边形是菱形 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A.当LBAC=90时，平行四边形ABCD是菱形 B.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形 B C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形 D.当AB=BC且AC=BD时，平行四边形ABCD是正方形 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点，若OE=3,则菱形ABCD的周长 为() A.6 B.12 C.24 D.48 A 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，∠ABD=60°，AB=2,则AC的长为() A.6 B.5 C.4 D.3 B 5.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小丰家有一个菱形中国 结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC=16cm,BD=10cm,则菱形ABCD的面积为() A.40cm2 B.80cm2 C.96cm2 D.160cm2 第1页，共8页 图1 图2 6.如图，以∠MAN的顶点A为圆心，a的长为半径画弧，两弧分别交AM,AN于点B,C,再分别以点B,C 为圆心，a的长为半径画弧，两弧交于点D,连接BD,CD,BC,AD.若BC=2,AD=4,则四边形ABDC 的周长是() A.8 B.12 C.4v3 D.4v5 M B D N 7.如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=6,点E在AD上，DE=2.若EC平分∠BED,则BC的长为() A.9 B.12 C.3v10 D.10 B 8.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中 点四边形EFGH若要使四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD必须满足条件() A.AC =BD B.AB⊥AD C.AB=AD D.AC⊥BD H D A G E B F C 第2页，共8页 9.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，若AB=3,∠ACB=30°，则AF=() A.V6 B.6W2 C.3W2 D.6 G F A D B C E 10.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点，连结BE,以B为旋转中心，将BE顺时针旋转90°后，点E 与点F对应，连结FE,FC,若AB=2,则。ECF面积的最大值为() A.V2 B.1 C.2 D D E B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为AB,AD的中点，若AC=10,则EF的长度为一一 E B 12.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形 ABCD还应满足的一个条件是， G D A B E 第3页，共8页 13.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD边上的点，AF与DE交于点M,N为AE的中点，连接 MW,若AB=8,CE=DF,CF=3DF,则MN的长度为一· D 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3,连接DE,点 M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为 A D M N C E 15.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P从B点沿BD向D点移动，若过点P作BC的垂线交BC于E 点，过点P作CD的垂线交CD于F点，则EF的长度最小为一· A D F 16.如图，在正方形ABCD中，AB=2N5,O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线 段DE绕点D逆时针旋转90得DF,连接AE,CF. D (1)点E到AD距离的最小值为 (2)线段0F长的最小值为一· 第4页，共8页 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，己知：AB/CD,AD/BC, (1)求证：AB=CD: (2)若BC=5,CD=3,点E是LBAD的平分线和BC的交点，则CE= B 18.(本小题10分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点 F,且BE=DF (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=BO,当LABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ D E C B 19.(本小题10分) 如图，在△ABC中，尺规作图步骤如下：①作LBAC的平分线，交BC于点D;②作AD的垂直平分线，分别 交AB,AC于点E,F. (1)步骤①中作角平分线AD的作图依据是一： B A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS (2)请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）： (3)连接DE,DF,求证：四边形AEDF为菱形. 第5页，共8页 20.(本小题10分) 如图，等边△ABC的边长是6，D,E分别为AB,AC的中点，延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和 EF. (1)求证：DE=CF: (2)求EF的长： D (3)求四边形DEFC的面积 21.(本小题10分) 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG/EF. (1)求证：四边形0EFG是矩形： (2)若AD=10,EF=4,求0E和BG的长. D B 22.(本小题10分) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形： (2)若AB=6,∠FBD=120°，求CF的长. B D 第6页，共8页 23.(本小题10分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F在对角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连 接AE、CE、CF、AF, (1)求证：四边形AECF是正方形： (2)若AB=V13,0B=3,求AE的长. 24.(本小题13分) 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分LDAM. (1)求证：AM=AD+MC. D D M 图1 图2 【探究展示】 (2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若 成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)若(2)中矩形ABCD两边AB=6,BC=9,求AM的长. 第7页，共8页 25.(本小题13分) (1)【探索发现】 A D B B 图3 C 图1 图2 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长 相等，边A1O与边AB相交于点E,边C1O与边CB相交于点F,连接EF.在实验与探究中，小新发现无论正方 形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE,CF,EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△ BOF即可推导出来， ①请你猜想AE,CF,EF之间的数量关系是 ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G,通过证明△AOE兰△C0G也可推导出AE, CF,EF之间的数量关系，请你证明△AOE兰△COG (2)【类比迁移】如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E,C1O与 边CB相交于点F,连接EF,矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE,CF,EF之间的数量关系并进行证 明； (3)【拓展应用】如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,点D是边AB的中点， LEDF=90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F,LEDF可绕着点D旋转，当AE= 4cm时，请直接写出线段CF的长度， 第8页，共8页答案与解析 1.【答案】D 【解析】解：A、矩形的对角线相等， 说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分， 说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形， 说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 原说法错误，符合题意； 故选：D 利用矩形和平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理逐一分析即可 本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，熟知矩形和平行四 边形的性质，正方形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键， 2.【答案】A 【解析】A.当∠BAC=90°时，无法确定平行四边形ABCD是菱形， :A结论不正确， 故该选项符合题意； B.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， :B结论正确， 故该选项不符合题意； C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ·C结论正确， 故该选项不符合题意； D.当AB=BC且AC=BD时，平行四边形ABCD是正方形， D结论正确， 故该选项不符合题意 故选：A 根据有一个角等于90·的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对 第15页，共21页 角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定. 本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱 形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是求出CD=6, 由菱形的性质可得出AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论. 【解答】 解：：四边形ABCD为菱形， ·AC⊥BD,AB=BC=CD=DA, ·△COD为直角三角形 :OE=3,点E为线段CD的中点， ·CD=20E=6, :C菱形ABCD=4CD=4×6=24, 故选C. 4.【答案】C 【解析】解：：四边形ABCD为矩形，对角线AC,BD相交于点O,AB=2, :0A=0B=0C=0D, :∠ABD=60°， ·△OAB为等边三角形， .0A=OB=AB=2, ·0C=0A=2, ·AC=0A+0C=4, 故选：C 根据矩形的性质得0A=OB=OC=OD,再根据∠ABD=60°得△OAB为等边三角形，则 OA=OB=AB=2,由此可得AC的长， 此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质 是解决问题的关键。 第15页，共21页 5.【答案】B 【解析】解：：四边形ABCD是菱形，AC=16cm,BD=10cm, ÷菱形ABCD的面积=专AC·BD=克×16×10=80(c) 故选：B 由菱形的面积公式，即可计算. 本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积=ba、b是两条对角线的长度). 6.【答案】D 【解析】解：由题意得到：AB=AC=CD=BD, M B D :四边形ACDB是菱形， ·AD⊥BC 0 OB=专BC,OA=专AD N :BC=2,AD=4, ·0B=1,0A=2, ·AB=V0A2+0B2=5, :四边形ABDC的周长=4AB=4V5, 故选：D 判定四边形ACDB是菱形，推出AD⊥BCOB=专BC=1'OA=专AD=2由勾股定理求出 AB=5, 即可得到四边形ABDC的周长， 本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AD⊥BC,OB=专BC'OA=专AD 7.【答案】D 【解析】解：：EC平分∠BED, ·∠BEC=∠CED, :四边形ABCD是矩形， ÷AD//BC,AD=BC, ·∠DEC=∠BCE, ·∠BEC=∠BCE, ÷BE=BC, 第15页，共21页 在直角三角形ABE中，AB=6,DE=2, 由勾股定理得：BE2=AB2+AE2, ÷8c2=36+(8C-2)2, ÷BC=10, 故选：D· 由矩形的性质可得AD//BC,AD=BC,由角平分线和平行线的性质可证BE=BC,由勾股定理可求解. 本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键。 8.【答案】A 【解析】解：：点E、F、G、H分别是边AB、BCCD、DA的中点， EF=专AC,GH=克AC, ·EF=GH=专AC, 同理EH=FG=专BD' :四边形EFGH是平行四边形， 当对角线AC=BD时，EF=EH, H ÷四边形EFGH是菱形， 故选：A 首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，再由AC=BD得EF=EH,然后由邻边 相等的平行四边形是菱形判定即可。 本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理， 平行四边形的判定及菱形的判定是解决此题的关键， 9.【答案】B 【解析】解：：四边形ABCD和四边形CEFG是两个完全相同的矩形， ·AB=CE,BC=EF,∠B=∠E=90o, ·△ABC和△CEF都是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB=3,∠ACB=30°， 第15页，共21页 :AC=6,∠BAC=90°-∠ACB=60°， 在△ABC和△CEF中， (AB=CE ∠B=∠E=90° 、BC=EF ·△ABC≌△CEF(SAS, ·AC=FC=6,∠BAC=∠ECF=60°， :∠ACF=180°-（∠ACB+∠ECF=90°， :△ACF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AF=AC2+FC=62+6=62. 故选：B 依题意得AB=CE,BC=EF,∠B=∠E=90°，在Rt△ABC中，根据AB=3,∠ACB=30°得 AC=6,∠BAC=60°，证明△ABC和△CEF全等得AC=FC=6,∠BAC=∠ECF=60°，由此 得∠ACF=90°，据此得△ACF是等腰直角三角形，然后再由勾股定理即可求出A的长. 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和 性质，灵活利用含有30·角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键 10.【答案】D 【解析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作FG⊥AB于G,并反向延 长交DC于H,证明四边形BGHC是矩形，得出∠H=90。,GH=BC=2,证明aBCE兰△BGF,得出 CE=GF,设CE=GF=x,则FH=2-X,根据三角形的面积公式求出SgCR=-专(x-1)2+专，然 后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：过F作FG⊥AB于G,并反向延长交DC于H, D --H --G B :正方形ABCD中，AB=2, ·∠ABC=90,BC=AB=2,AB//CD, ·CB⊥BG, 又FG⊥AB, 第15页，共21页 :BC/GH, ·四边形BGHC是平行四边形， 又FG⊥AB, :四边形BGHC是矩形， ∠H=90。,GH=BC=2, :旋转， BE=BF,∠EBF=90, 又∠CBG=90, ·∠EBC+∠CBF=∠FBG+∠CBF, ·∠EBC=∠FBG, 又∠BCF=∠G=90, △BCE≌△BGF, ·CE=GF, 设CE=GF=x,则FH=2-x, SEcF=x(2-x)=-克(x-1)2+2, ·当x=1时，SEcF有最大值为， 故选：D 11.【答案】5 【解析】解：连接BD, :E,F分别为AB,AD的中点， :.EF=BD :四边形ABCD是矩形， ·BD=AC, :AC=10, :EF=克AC=支X10=5 故答案为：5 第15页，共21页 连接BD,利用三角形的中位线定理求得EF=专BD,然后利用另一条对角线等于10求得答案即可. 考查了矩形的性质及三角形的中位线的知识，解题的关键是构造三角形，难度不大， 12.【答案】AD=BC 【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等； ③对角线互相垂直平分.据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC等.答案不唯一. 【详解】解：条件是AD=BC :EH,GF分别是&ABC、·BCD的中位线， .EH//BC.EH=BC.GF BC,GF=BC. EH//GF,EH GF, :四边形EFGH是平行四边形. :HG是·ACD的中位线， HG=克AD, AD =BC, ·EH=HG, :四边形EFGH是菱形. 故答案为：AD=BC 13.【答案】5 【解析】解：：正方形ABCD, ·AD=CD=AB=BC=8,∠ADF=∠DCE=90°， CF=3DF, .DF=CD=2,CF=6, CE=DF, ·CE=DF=2, ·BE=BC-CE=8-2=6, ÷AE=VAB2+BE2=82+62=10, :EC=DF,∠ADF=∠DCE=90°，CD=AD, :△DCE≌△ADF(SAS, ÷∠DAF=∠CDE, 第15页，共21页 :∠ADE+∠CDE=90°， ·∠ADE+∠DAF=90o, ·∠DMA=∠AME=90°， :N为AE的中点， ：MN=AE=5, 故答案为：5. 由己知及正方形的性质可求AE=10,证明△DCE≌△ADF后可得∠AME=90°，利用直角三角形斜 边中线等于斜边一半可得结果， 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键. 14.【答案】 【解析】解：连接CD,设CD的中点为F,连接FN,FM,如图所示： D E 在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3, ·AD⊥CE, :点M、N分别是AC、DE的中点， :FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线， FN//CE,FN=CE=号，FM/AD,FM=支AD=2' ·FM⊥FN, :△FMN是直角三角形， 在Rt△FMN中，由勾股定理得： MN-VFN+FM-(+2 AMN的长度为， 故答案为：· 第15页，共21页 连接CD,设CD的中点为F,连接FN,FM,依题意得FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线， 进而得FN/CEFN=专CE=,FM/AD:FM=AD=2则△FMN是直角三角形，再由 勾股定理即可得出MN的长。 此题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，正确地 添加辅助线下，构造三角形的中位线是解决问题的难点. 15.【答案】等 【解析】解：连接CP,EF, D :四边形ABCD是矩形， CD=AB=6,BC=AD=8,∠A=∠BCD=90o, .BD=VAB2+AD2=10' :PF⊥CD,PE⊥BC, ·∠PFC=∠PEC=∠BCD=90o, ·四边形PECF是矩形， :PC=EF. ·要求EF的最小值就是要求CP的最小值. :点P从B点沿着BD往D点移动， :当CP⊥BD时，CP取最小值 :S△cBD=壹CB.CD=克CP.BD, ÷CP=8=0=等 BD :EF的长度最小为24， 故答案为：等 连接CP、EF,依据PE⊥CB,PF⊥CD,∠BCD=90,可得四边形CEPF为矩形，借助矩形的对角 线相等，将求EF的最小值转化成CP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BCD斜边上的 高，利用面积法即可得解。 本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用. 16.【答案】2√5-2 5V2-2 第15页，共21页 【解析】解：()取AD的中点H,连接OH,EH,如图所示： H D E B C :四边形ABCD是正方形， :AD//BC,AD=BC,∠ABC=90°， :O是BC的中点，H是AD的中点， ·B0=AH, :四边形ABOH是平行四边形， :∠ABC=90°， ÷四边形ABOH是矩形， :OH⊥AD, AB=0H=2V5, :0E+EH≥OH,0E=2, ·EH≥0H-0E, ÷EH≥25-2' 当且仅当E,H,O三点共线时，等号成立，此时EH⊥AD,EH为点E到AD距离， ·点E到AD距离的最小值为25-2： (②)如图，连接D0,将线段D0绕点D逆时针旋转g0得DM,连接0F,FM,OM, 第15页，共21页 第二十一章 四边形单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列说法不正确的是(    ) A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 2.如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    ) A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 3.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，若，，则四边形的周长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知四边形是矩形，，点在上，若平分，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形若要使四边形是菱形，则原四边形必须满足条件(    ) A. B. C. D. 9.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“”形图案，若，，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，在矩形中，，分别为，的中点，若，则的长度为______． 12.如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是          ． 13.如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为        ． 14.如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为             ． 15.如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为        ． 16.如图，在正方形中，，是中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． 点到距离的最小值为          ． 线段长的最小值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知：，． 求证：； 若，，点是的平分线和的交点，则 ______． 18.本小题分 如图，在四边形中，对角线与相交于点，，于点，于点，且． 求证：四边形是平行四边形； 若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 19.本小题分 如图，在中，尺规作图步骤如下：作的平分线，交于点；作的垂直平分线，分别交，于点，． 步骤中作角平分线的作图依据是______； A. B. C. D. 请将步骤中的图形补充完整保留作图痕迹； 连接，，求证：四边形为菱形． 20.本小题分 如图，等边的边长是，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． 求证：； 求的长； 求四边形的面积 21.本小题分 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求和的长． 22.本小题分 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 23.本小题分 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． 求证：四边形是正方形； 若，，求的长． 24.本小题分 【问题情境】 如图，四边形是正方形，是边上的一点，是边的中点，平分． 求证：． 【探究展示】 若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图，试判断是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 若中矩形两边，，求的长． 25.本小题分 【探索发现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． 请你猜想，，之间的数量关系是______． 小新对图的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $