精品解析：江苏常州市第三中学2025-2026学年高二第一学期数学期末试题

常州市第三中学高二年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用可以排成数字不重复的三位数的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数列式即可. 【详解】用可以排成数字不重复的三位数即从6个不同的数字中选择3个不同的数字进行排列， 则三位数的个数是. 故选：A. 2. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 3. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，由点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出点的横坐标，进而得到它到轴的距离. 【详解】由抛物线的方程，可得，焦点的坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义可知点到的距离为，根据定义，点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，则点到准线的距离为， 则点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即. 故选：C 4. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式写出数列的一些项，找出数列的周期，即可求解. 【详解】由， 可得，即， 可知数列是最小正周期为3的数列， 所以，故A正确． 故选：A． 5. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A. 7 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法和分布乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种， 故选：C． 6. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比, 所以成等比数列 所以，所以，解得. 故选：C. 7. 已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可. 【详解】由题可知，双曲线渐近线为， 则右焦点到渐近线距离为， 所以， 故选：A． 8. 从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 72种 C. 108种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，利用排列知识可求得答案. 【详解】用两种颜色时，涂法有种； 用三种颜色时，涂法有种； 用四种颜色时，涂法有种； 所以不同的涂色方法共有种. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则正整数的值是 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以或， 即或，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由组合数公式可知，故C正确； 对于D，，， ， ，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据和的关系判断A；根据的正负性判断B；根据等差数列的求和公式以及下标和性质判断C；根据的正负性以及等差数列的求和公式求出判断D. 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：当时；；时，， 故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 13. 已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 14. 设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出值，再根据的展开式通项列方程求解即可． 【详解】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式. （2）由（1）可得，结合裂项法求和，求得，结合，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：数列的通项公式为，可得， 则， 因为，可得，所以， 即. 16. 已知圆C过三点． （1）求圆C的一般式方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，分别代入求得圆C的一般式方程. （2）利用垂径定理和点到直线距离可求得斜率，从而求得直线l的方程 【小问1详解】 设圆的一般方程，因为圆C过三点， 所以解得, 故圆C的一般式方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线为，圆C截得的弦长为，故直线l为. 设直线l的斜率为，又过点，所以直线l的方程为， 由（1）可知圆心为，半径，又因为圆C截得的弦长为， 所以由垂径定理可得圆心到直线的距离， 由点到直线的距离可得解得. 所以直线l的方程为： 或. 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2）-280 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． 【小问2详解】 二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项系数为． 【小问3详解】 根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 18. 数列的前项和为，．正项等比数列的首项为1，为其前项和，且． （1）求数列，的通项公式； （2）若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由，当时，， 又，满足上式，所以 因为正项等比数列的首项为1，，设其公比为， 当时，，，不满足； 当时，且，，化简整理得， 解得，则， 所以，. 【小问2详解】 由，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 所以当时，取得最小值， 又，所以， 所以实数的最大值为. 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． （1）求椭圆C的面积； （2）若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在定点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出的值，进而结合题意求解即可； （2）（ⅰ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，结合韦达定理及基本不等式求解即可； （ⅱ）由题意可得，进而得到，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，结合（ⅰ）可得直线l恒过点，进而结合题意确定点D在以A，M为直径的圆上，取的中点，即可求解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为. 【小问2详解】 （ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且）， 则， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的面积的最大值为1； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，， 联立，得， 则， ， 则 ， 又点到直线l的距离为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的面积的最大值为1. 综上所述，的面积的最大值为1. （ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以， 因为，， 所以， 则， 当直线l的斜率存在时，由（i）知， ， 所以， 整理得，， 即，即或， 当时，直线l的方程为，过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为，恒过点. 当直线l的斜率不存在时，，，， 由（i）知，，则， 由，得，解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，过点. 综上所述，直线l恒过点. 因为，D为垂足，为定值， 所以点D在以A，M为直径的圆上， 取的中点，则， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）（ii）关键在于根据得到直线l恒过点，进而确定定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第三中学高二年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用可以排成数字不重复的三位数的个数是（    ） A. B. C. D. 2. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点到焦点距离为5，那么点到轴的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 5. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A. 7 B. 10 C. 14 D. 16 6. 记等比数列前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 7. 已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 72种 C. 108种 D. 120种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确是（    ） A. 若，则正整数的值是 B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 13. 已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 14. 设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16. 已知圆C过三点． （1）求圆C一般式方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程； 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 18. 数列的前项和为，．正项等比数列的首项为1，为其前项和，且． （1）求数列，的通项公式； （2）若对任意的恒成立，求实数的最大值． 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． （1）求椭圆C的面积； （2）若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $