精品解析：山东省潍坊市潍坊高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025～2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三视图，画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．根据几何体左视图的概念（不可见的用虚线）求解即可． 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 故选：C． 2. 如图，在中，，于点D，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是正确利用转化的思想求解． 先由勾股定理求出，然后得到，再由正弦的定义求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ）． A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是 C. 小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，事件分类，需先明确必然事件、不可能事件、随机事件的概念，再计算各灯亮的概率，逐一判断选项． 【详解】解：∵红绿灯一个周期的总时间为 ∴遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A选项中遇到红灯是随机事件，不是必然事件，故A错误； B选项中遇到红灯的概率是≠，故B错误； C选项中遇到黄灯是随机事件，不是不可能事件，故C错误； D选项中>，即遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，故D正确． 故选：D． 4. 如图是某博物馆为游客提供的圆锥形饮水纸杯．经测量发现该圆锥体的底面半径为，母线长为，则该圆锥形纸杯侧面展开图的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，熟知圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥侧面积公式（r是底面圆半径，l是母线长）进行求解即可． 【详解】解：该圆锥形纸杯侧面展开图的面积：， 故选：D． 5. 若将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 6. 如图，在扇形中，，，点C在上，且，延长到D，使．以，为邻边作平行四边形．下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 的弧长为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，弧长公式，直角三角形的性质，勾股定理等知识点． 过A作于点，，由等腰三角形得到，根据平行四边形的性质以及三角形的外角定理得到，则，设长度为，则，在中，由勾股定理求解，则，，那么，，则，再由弧长公式求解 的弧长即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴ 过A作于点， ∵，， ， ∵， ∴， ，故C正确，符合题意； ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ，故A错误，不符合题意； 由题意得，， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴的弧长为，故D错误，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其内部的一块四边形空地上种草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，，则草坪面积最大为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，根据矩形的性质结合图形列出草坪面积的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴种草的面积， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 所以，当，有最大值，最大值为 故选：B． 8. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则选项A、B、C、D均不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则A、B、D选项都不符合题意；C选项符合题意； 故选：C． 9. 正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，要使这四个等圆能完全覆盖正方形，所作等圆的最小半径是（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及圆的覆盖问题，要确定能完全覆盖正方形的四个等圆的最小半径，需找到正方形内到四个顶点距离最大的点，该点到顶点的距离即为最小半径，此点为正方形的中心，利用勾股定理计算中心到顶点的距离即可． 【详解】解：设正方形的中心为点O， ∵正方形边长为2， ∴由勾股定理得，对角线的长度为， ∵正方形的中心O是对角线的中点， ∴， ∵要使四个等圆完全覆盖正方形，圆的半径必须大于或等于正方形内任意一点到其最近顶点距离的最大值， ∴正方形内任意一点到四个顶点的距离最大值为中心点O到顶点的距离为， ∴当等圆半径为时，四个等圆可完全覆盖正方形，且此为最小半径， 故选：B． 10. 二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，经过点，且，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，总有 D. 一元二次方程一定有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据顶点坐标可得对称轴为直线，则可求出，把点代入二次函数的解析式可得，据此可推出，由对称性可得二次函数的图象经过点，则当时，，据此可判断A；根据开口方向和对称轴可判断B；，据此可判断C；可求出只有当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此可判断D． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴函数图象开口向上， 由对称性可知，二次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴，故A结论错误，不符合题意； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B结论错误，不符合题意； ， ∵当时，， ∴当时， ∴当时，总有，故C结论正确，符合题意； 当时，， ∴， ∴只有当时，二次函数与直线有两个不相同的交点， ∴只有当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故D结论错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 13. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三个方格所涂颜色均不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求解概率，正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， ∵在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种情况共有种，三个方格所涂颜色均不相同的情况共有种， ∴三个方格所涂颜色均不相同的概率是 故答案为：． 14. 如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设的面积为S，利用反比例函数系数k的几何意义可知，，进一步求得，则，，结合，得到，解得，即可求解． 【详解】解：设的面积为S， 由题意得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 15. 在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，，若正方形与正方形的面积之比为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，勾股定理，正方形的性质，过点作于点，设，则，设正方形的面积为，则的面积为，则，可求出每个直角三角形的面积为，则可推出，进而得到，解得或（舍去），则，由勾股定理可得；由等面积法可得，则，进而可得，则． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴可设正方形的面积为，则的面积为， ∴， 又∵四个直角三角形全等， ∴每个直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ∴； 【小问2详解】 解：去括号，得， 移项并合并同类项，得，即， 这里， ， ， 即． 17. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了4门选修课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．跳绳．每名学生只参加其中的一门．为了了解学生的选课情况，学校随机抽查了部分已经选课的学生，把他们的选课结果绘制成了如下不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“A”对应圆心角的度数； （3）现有部分同学因没有倾向性未进行选课，学校为了促进学生体质健康发展要求他们全部选课，请为他们提出合理的选课建议，并给出理由． 【答案】（1）50人 （2）补全条形统计图见解析， （3）跳绳选择人数较少，剩余名额较多，可以选择D 跳绳；足球课选课人数最多，最为火爆，可以选择B 足球 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率=频数÷总数以及样本估计总体是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知，样本中，学生参加“B．足球”的有19人，占被调查人数的，由频率=频数÷总数即可求出被调查人数； （2）求出样本中学生选择“C．排球”的学生人数，即可补全条形统计图；用乘以A．篮球所占百分比即可求出“A”对应圆心角的度数； （3）根据条形统计图和扇形统计图提供的信息进行解答即可． 【小问1详解】 解：（人） 答：本次被抽样调查的学生总人数为50人． 【小问2详解】 解：C组人数：（人） 补全的条形统计图，如下图所示： 所以，扇形统计图中“A”对应圆心角的度数为 【小问3详解】 解：跳绳选择的人数较少，剩余名额较多，可以选择D 跳绳； 足球课选课人数最多，最为火爆，可以选择B 足球． 18. 如图，是的直径，弦，垂足为点，点是上的一点，延长交的延长线于点，连接，，．若，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形和垂径定理，连接，由圆内接四边形的性质得，由垂径定理得，根据可得结论． 【详解】解： ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ． 是的直径，弦， ， ． ， 即， ． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）连接，若的面积为2，求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上的点的特征，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上的点的特征即可求解； （2）由（1）可得点A的坐标，由的面积可求得点C的坐标，即可得一次函数解析式． 【小问1详解】 解：∵反比例函数经过点， ∴ 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴点， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∵面积为2， ∴， ∴①， ∵一次函数经过点， ∴②， 由①②得，， ∴一次函数的表达式为． 20. 如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为米，登山者需由山底处先步行米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点在同一平面内，于点，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平线的夹角为． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要分钟，换乘登山缆车的时间忽略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角度的直角三角形的性质，以及矩形的判定和性质． 熟悉以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）过点作交于点，根据得到的长度，通过证明四边形是矩形得到，进而得到的长度． （2）根据的长度和，得到的长度，根据步行的路程和速度得到步行用的时间，用总时间减去步行用的时间得到缆车运行的时间，进而得到缆车的速度． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵小亮步行速度为， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∵，， ∴， ∴缆车的速度约为：． 21. 某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润10元，每天能卖出50份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出70份．该店售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐的利润每降低1元，可多卖5份；每份B种快餐的利润每提高1元，就少卖6份．该店准备将每份A种快餐降低利润x元，同时将每份B种快餐利润提高x元．记调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求利润y的最大值，并求出利润最大时两种快餐的总销量． 【答案】（1） （2）利润最大值为1071元，此时两种快餐总销量为119份 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别表示调价后A、B两种快餐的单件利润与销量，根据总利润的总利润的总利润列出函数关系式，再结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将二次函数配方为顶点式，利用二次函数性质求最大值，再计算此时两种快餐的总销量，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得调价后A种快餐每份利润为元，销量为份，调价后B种快餐每份利润为元，销量为份， 则， ∴， 由实际意义得， ∴， 整理得， 【小问2详解】 解：依题意， 则 ， ， ∴开口方向向下，当时，取得最大值1071元， 此时A种快餐销量为（份）， B种快餐销量为（份）， 总销量为（份）， 答：利润最大值为1071元，此时两种快餐的总销量为119份． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O为的三等分点，且靠近点A，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点D，交于点E． （1）求证：为的切线； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、解直角三角形，扇形面积公式． （1）连接，由角平分线的定义得，再由等腰三角形性质得，得，得，由，即得结论； （2）由，，得，得，得，代入计算即得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵点为的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）将抛物线向上平移m个单位长度后与x轴交于M，N两点，若，求m的取值范围； （3）当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或0 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入得： ， 解得： 所以抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设M，N两点坐标分别为， 因抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得； 【小问3详解】 解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时，时， 所以， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时，时， 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，于点D，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ）． A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是 C. 小亮爸爸遇到黄灯不可能事件 D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 4. 如图是某博物馆为游客提供的圆锥形饮水纸杯．经测量发现该圆锥体的底面半径为，母线长为，则该圆锥形纸杯侧面展开图的面积为（ ）． A. B. C. D. 5. 若将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 如图，在扇形中，，，点C在上，且，延长到D，使．以，为邻边作平行四边形．下列说法正确的是（ ）． A B. C. D. 的弧长为 7. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其内部的一块四边形空地上种草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，，则草坪面积最大为（ ）． A B. C. D. 8. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致图象可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，要使这四个等圆能完全覆盖正方形，所作等圆的最小半径是（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 10. 二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，经过点，且，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，总有 D. 一元二次方程一定有两个不相等的实数根 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 12. 如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 13. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三个方格所涂颜色均不相同的概率是______． 14. 如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 15. 在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，，若正方形与正方形的面积之比为，则______． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了4门选修课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．跳绳．每名学生只参加其中的一门．为了了解学生的选课情况，学校随机抽查了部分已经选课的学生，把他们的选课结果绘制成了如下不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“A”对应圆心角的度数； （3）现有部分同学因没有倾向性未进行选课，学校为了促进学生体质健康发展要求他们全部选课，请为他们提出合理的选课建议，并给出理由． 18. 如图，是的直径，弦，垂足为点，点是上的一点，延长交的延长线于点，连接，，．若，求的大小． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）连接，若的面积为2，求一次函数的表达式． 20. 如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为米，登山者需由山底处先步行米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点在同一平面内，于点，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平线的夹角为． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要分钟，换乘登山缆车的时间忽略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，，） 21. 某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润10元，每天能卖出50份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出70份．该店售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐的利润每降低1元，可多卖5份；每份B种快餐的利润每提高1元，就少卖6份．该店准备将每份A种快餐降低利润x元，同时将每份B种快餐利润提高x元．记调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元． （1）求y与x之间函数关系式； （2）求利润y的最大值，并求出利润最大时两种快餐的总销量． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O为的三等分点，且靠近点A，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点D，交于点E． （1）求证：为的切线； （2）当时，求阴影部分的面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）将抛物线向上平移m个单位长度后与x轴交于M，N两点，若，求m的取值范围； （3）当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $