精品解析：江苏省淮安市淮安区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 2026.02 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 10. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 以为直径的圆过原点 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若为增函数，则 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 当时，函数恰有1个极值点 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 13. 已知数列各项均为正数，且首项为1，，则______________． 14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求的周长. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 2026.02 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】因为集合， 则. 故选：B. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 4. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 5. 过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，当时，弦的长度取得最小值，故先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值. 【详解】圆，即， 则圆心，半径为， 因为，所以点在圆内， 由圆的性质可知，当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为. 故选：B 6. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可. 【详解】由于， 而， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解. 7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D. 【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 故选：BCD 10. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 以为直径的圆过原点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出;对于B利用弦长公式再结合二次函数求最值即可;，对于C，以为直径的圆过原点，则.结合韦达定理判断数量积是否为0判断即可;对于D，利用即可验证. 【详解】对于A,设直线的方程为， 则由，消去整理，得， 因为直线交抛物线与两点，设，，则 所以，，故A正确. 对于B, ，m=0时等号成立，故B正确. 对于C,如果以为直径的圆过原点，则. 由于，， 结合A选项，， 故不垂直.故C不正确. 对于D, . ,即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若为增函数，则 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 当时，函数恰有1个极值点 【答案】AB 【解析】 【分析】A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断. 【详解】且定义域为，即为奇函数，A正确； 若为增函数，恒成立， 令，则，即递增； 又，故上，上，即在上递减，在上递增， 所以恒成立，可得，B正确； 由B知：时为增函数，不可能存在两个零点，C错误； 时，由B分析知：，，，故在、上各有一个异号零点，则有2个极值点，D错误； 故选：AB 【点睛】关键点点睛：构造中间函数研究恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断的零点个数. 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】令可得，即. 故答案为： 13. 已知数列各项均为正数，且首项为1，，则______________． 【答案】210 【解析】 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，则转化为对任意恒成立，而，然后转化为，求出的范围，再检验即可. 【详解】令，，则， 由题意可知对任意恒成立，且， 若，令， 则， 所以在上递增， 所以， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得 若，则，故存在，使得任意, 总有，故在上为减函数，故任意，总有, 这与题设矛盾， 综上，当符合题意， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，然后检验即可，考查数学转化思想，属于较难题. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到； （2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长. 【小问1详解】 由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； 【小问2详解】 ，由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算可得当时，利用累乘法可得，进而，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算即可求解. 【小问1详解】 由，得， 令，则，解得； 当时，， 所以，所以， 所以当时，， 有， 又满足上式， 所以，得， 所以数列是等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 故， 两式相减，得 ， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据离心率公式及关系式即可求解； （2）设直线，，，联立方程，则，由韦达定理结合可得，可得，解得，由面积公式可得，令，利用换元法可得，由对勾函数的性质即可求解. （3）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在来讨论，结合题意可得斜率一定存在，斜率存在时，设直线，，，由，可求得，设以MN为直径的圆过定点，则，可得，由即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 若，可知直线l的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得，， 因为，则，， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线过定点， 则面积 ， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 所以当，时，面积取到最大值. 【小问3详解】 若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线过定点问题处理方法： （1）参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. （3）关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线）,然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明：令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $