21.3.3 正方形 同步练习 2025—2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形 同步练习 一、选择题： 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分对角 2.在四边形ABCD中，LA=LB=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条 件可以是() A.BC=CD B.AB=CD C.∠D=90 D.AD=BC 3.要使一个平行四边形变成正方形，需要增加的条件是() A.对角线相等 B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 4.若正方形ABCD的对角线AC的长是12，则边AB的长是() A.6V2 B.2V12 C.6 D.8 5.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E,再分别以D,E为圆 心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P,则 LP=() D F E B A.90° B.45 C.309 D.22.5° 6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE,连接AE,则LDAE的度数是() B A.15 B.20° C.12.5 D.10° 第1页，共6页 7.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是() A.67.5 B.22.5 C.30° D.45° 8.如图，在正方形ABCD中，点M在边AD上，AM=7,DM=17,作BN平分∠MBC交CD于点N,则DN的 长是() M D B A.8 B.7 C.6 D.5 9.如图，在正方形ABCD中，分别以点A,B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E,连接DE, CE,则LDEC的度数为() B A.120° B.130° C.150 D.160 10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么CH的长 是() G B.5 C32 D.2 2 第2页，共6页 二、填空题： 11.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形， 现有三个条件可供选择：①AC1BD;②AC=BD;③LADC=90°.则正确的组合是_（只需填一种组 合即可) B 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD L BC于点D,E,F分别是边AB,AC的中点，则四边形AEDF 是；当△ABC满足条件（仅填写一个条件即可时，四边形AEDF是正方形 E 13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,以点A为圆心，AB的长为 半径作弧，交AC于点E,若0A=1,则0E的长为· 14.如图，F是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AF,CF,延长CF交AD于点E.若∠AFB=70°，则 ∠DEC的度数为 15.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF1BC,EG1CD,垂足分别是F,G,若CG=4, CF=3,则AE的长为 第3页，共6页 16.如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5cm和3cm,E,G分别为AB,AD边上的点，H为CF 的中点，连接HG,则HG的长为__cm. G D E B H C 三、解答题： 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE1BC于点E,DF1AC于点F. (1)求证：四边形CEDF为正方形： (2)若AC=6,BC=8,求CE的长， D B 18.如图，四边形ABCD是一个正方形，点E,F分别在AD,DC边上，且DE=CF,AF,BE相交于点O. 求证：(1)AF=BE; D (2)∠A0B=90°. B 第4页，共6页 19.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, (1)求证：矩形DEFG是正方形： (2)若AB=2,CE=V2,则CG的长度为一 E B 20.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接 B,F,D,E各点 (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若LABC=50°，则∠EBA的度数为时，四边形BFDE是正方形，请说明理由. E D 21.如图，E为正方形ABCD的边BC上一点，EP L AE,且EP=AE,连接CP. (1)求∠PCE的度数； (2)连接AP与BD交于点H. ①求证：H是AP的中点； ②直接写出BH,CP,DH之间的数量关系为 第5页，共6页 22.综合与实践 问题情境：如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的一动点，连接DE,过点E作EF L DE,交直 线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG E B B 备用图 (1)猜想证明：(1)求证：四边形DEFG是正方形. (2)解决问题： (2)求LDCG的度数. (3)若BC=4,CF=2,请直接写出CG的长， 第6页，共6页 21.3.3 正方形 同步练习 一、选择题： 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 2.在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是  (    ) A. B. C. D. 3.要使一个平行四边形变成正方形，需要增加的条件是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4.若正方形的对角线的长是，则边的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则(    ) A. B. C. D. ． 6.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，点在边上，，，作平分交于点，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在▱中，对角线与相交于点小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：则正确的组合是          只需填一种组合即可． 12.如图，在中，，于点，，分别是边，的中点，则四边形是          当满足条件          仅填写一个条件即可时，四边形是正方形． 13.如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，若，则的长为          ． 14.如图，是正方形的对角线上一点，连接，，延长交于点若，则的度数为          ． 15.如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为          ． 16.如图，正方形和正方形的边长分别为和，，分别为，边上的点，为的中点，连接，则的长为          ． 三、解答题： 17.如图，在中，，，的平分线交于点，于点，于点． 求证：四边形为正方形； 若，，求的长． 18.如图，四边形是一个正方形，点，分别在，边上，且，，相交于点 求证： ． 19.如图，四边形为正方形，为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． 求证：矩形是正方形 若，，则的长度为          ． 20.如图，菱形的对角线，相交于点，分别延长，到点，，使，依次连接，，，各点． 求证：四边形是菱形 若，则的度数为          时，四边形是正方形，请说明理由． 21.如图，为正方形的边上一点，，且，连接． 求的度数 连接与交于点． 求证：是的中点 直接写出，，之间的数量关系为          ． 22.综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以，为邻边作矩形，连接． 猜想证明：求证：四边形是正方形． 解决问题： 求的度数． 若，，请直接写出的长． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45。,等腰△CAE中 的度数，进而可由∠BCE=∠ACE-∠ACB得出∠BCE的度数. 【解答】 解：：四边形ABCD是正方形， ·∠CAB=∠BCA=45°. △ACE中，AC=AE, 则∠ACE=∠AEC=(180°-∠CAE)=67.5°： ·∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5o. 故选B. 8.【答案】C 9.【答案】C 第6页，共6页 属于基础题， 根据三角形内角和定理可求得∠ACE 【解析】如图，连接AE,BE,根据题意， 得AB=AD=BC=AE=BE,∠DAB=∠ABC=90°， :△ABE是等边三角形， ·∠EAB=∠EBA=∠AEB=60°， ·∠DAE=∠DAB-∠EAB=30°. AD AE, ·∠AED=∠ADE, ÷∠ADE=(180-∠DAE)=75 :∠ADC=90°， :∠CDE=∠ADC-∠ADE=15, 同理可得∠DCE=15, :∠DEC=180°-∠CDE-∠DCE=150°， 故选C. B 10.【答案】B 【解析】如图，：正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3, :AD=AB=BC=1,CE=EF=3,∠E=90°，延长AD交EF于M,连接AC,CF,则 AM=BC+CE=1+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,∠AMF=90°，：四边形ABCD和四边形 GCEF是正方形，：∠ACD=∠GCF=45°，∠ACF=90°，：H为AF的中点，：CH=AF.在 Rt△AMF中，由勾股定理得AF=VAM2+FM2=V42+22=2W5,:CH=5,故选B. 第6页，共6页 11.【答案】 ①②/①③ 12.【答案】菱形 ∠BAC=90°/∠B=45°/答案不唯 13.【答案】V2-1 14.【答案】65° 15.【答案】5 16.【答案】V17 17.【答案】【小题1】 解：过点D作DN⊥AB于点N.:∠C=90°，DE⊥BC于点E, DF⊥AC于点F.·四边形FCED是矩形.：∠BAC,∠ABC的平分线交于D点，·DF=DE=DN, ·矩形FCED是正方形； 【小题2】 :AC=6,BC=8,∠C=90°，·AB=10.:四边形CEDF为正方形， :DF=DE=DN,:DF,AC+DE·BC+DN·AB=AC·BC. 6x8 则EC(AC+BC+AB)=AC,BC.故EC=6+0=2. 18.【答案】【小题1】 第6页，共6页 :四边形ABCD是正方形， :AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°. :DE=CF,·AE=DF, AD-AB, 在△ADF和△BAE中， ∠D=∠BAE, DF-AE, :△ADF≌△BAE(SAS),·AF=BE 【小题2】 (1)知△ADF兰△BAB,÷∠DAF=∠ABE.:∠DAF+∠BA0=90°，·∠ABE+∠BA0=90°， ·∠A0B=90°. 19.【答案】【小题1】 证明：如图，过点E作EP⊥CD于点P, EQ⊥BC于点Q :∠EPD=∠EPC=∠EQC=90°. :四边形ABCD为正方形， :∠DCA=∠BCA=45°. :EQ=EP,∠PEC=∠QEC=45°， ∠QEF+∠FEC=45° :四边形DEFG为矩形， ·∠DEF=90° ∠PED+∠FEC=∠FED-∠PEC=45°. ·∠QEF=∠PED. 在△EQF和△EPD中， ∠QEF=∠PED, EQ=EP, ·△EQF≌△EPDASA N∠EQF=∠EPD, ·EF=ED, 第6页，共6页 :矩形DEFG是正方形. B 【小题2】 反 20.【答案】【小题1】 :四边形ABCD是菱形， ·BD⊥AC,OB=OD,OA=OC. 又：AE=CF,OE=OF, ·四边形BEDF是平行四边形 :BD⊥EF,·口BEDF是菱形 【小题2】 20°. 理由如下：：四边形ABCD是菱形， ·∠ABD=∠CBD=÷∠ABC=25. :∠EBA=20°， :∠EB0=45. 在菱形BEDF中， ∠EB0=∠FBD=45, ·∠EBF=90°， :菱形BEDF是正方形. 21.【答案】【小题1】 第6页，共6页 证明：在AB上截取BF=BE, 连接ER由正方形ABCD得∠ABC=90°，AB=BC,:BE=BF,·AF=EC, ∠BFE=∠BEF=45°，·∠AFE=135°.EP⊥AE,·∠AEP=90°=∠ABC, ·∠BAE十∠AEB=∠PEC+∠AEB,·∠BAE=∠PEC.:AE=EP,·△AEF≌△EPC, ·∠PCE=∠AFE=135 【小题2】 ①过点P作PM//BC交BD于点M. 在正方形ABCD中，∠DBC=45,÷∠DBC+∠PCB=180°，：PC//BD.:PM//BC,四边 形BMPC为平行四边形，：BM=PC,PM=BC=AD.:PM//BC,AD//BC,:PM//AD, :∠DAH=∠HPM,∠ADH=∠PMH,·△ADH≌△PMH,÷AH=PH,即H为AP的中点： ②BH=CP+DH. 由得△ADH≌△PMH,·DH=MH,:BH=BM+MH=CP+DH, 22.【答案】【小题1】 解：证明：过点E作EM⊥BC于点M,作EN⊥CD于点N. :四边形ABCD是正方形，·∠BCD=90°，∠ECN=45°. :∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且EN=CN :四边形EMCN为正方形.·EM=EN. :四边形DEFG是矩形，：∠DEN十∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°. I∠DNE=∠FME, EN=EM,·△DEN≌△FEM ASA ·∠DEN=∠MEF,在△DEN和△FEM中， ∠DEN=∠FEM, :ED=EF,:矩形DEFG是正方形. 【小题2】 (②：矩形DEFG是正方形，·DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°. :四边形ABCD是正方形，：AD=DC,∠ADE+∠EDC=90· 第6页，共6页 ·∠ADE=∠CDG.·△ADE≌△CDG(SAS. 3)CG=V2或32 第6页， .∠DCG=∠DAE=45°. 共6页