精品解析：湖北孝感市孝南区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度八年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于秒．将用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 5. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米， 米，那么A，B间的距离可以是（ ）     A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. ．且 C. D. 且 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点，在上，，，要使，还需要添加一个条件是______． 12. 计算的结果为___________． 13. 已知，，则的值为_________________． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论是___________．（填正确结论的序号） 15. 如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，当的周长最小时，的度数为__________． 三、解答题（本大题共9题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. （1）分解因式：； （2）解方程：； 18. 先化简：，再从中选一个你认为合适的a值代入求值． 19. 某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A、B的距离 方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1．过池塘外点B作，在上取两点C，D，使； 2．过点D作，使E与A，C在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取点C，连接，并延长至点D、E，使； 2．连接； 3．测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．点A，B离池塘边有一定距离； 请你从以上两个方案中任选一个方案，求出A、B间的距离． 20. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 21. 某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等． （1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？ 22. 阅读与思考 为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 理解应用 （1）根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式． ①请你直接写出这个公式______； ②上面分析过程主要运用的数学思想是______． A．转化思想 B．分类讨论 C．统计思想 D．数形结合 （2）小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子______． （3）若，，求的值． 23. 已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中． （1）如图2，当时，连接，求证：； （2）在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分； （3）在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解． 【详解】解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解； ∵B选项，符合平方差公式，可因式分解； ∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解； ∵D选项，提公因式x即可因式分解； 故选：C． 4. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于秒．将用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：B． 5. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米， 米，那么A，B间的距离可以是（ ）     A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 连接，根据三角形的三边关系求出的范围，即可求解． 【详解】解：连接， 米， 米， ，即， 选项不符合题目要求，选项C符合题目要求． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方．熟练掌握合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂相乘的运算法则计算并判定B；根据积的乘方法则计算并判定C；根据幂的乘方运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识点是解题的关键．根据分子与分母是否存在非零公因式，判断是否可约分，即可求解． 【详解】解：A、的分子9与分母无公因式，是最简分式，故选项A符合题目要求； B、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项B不符合题目要求； C、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项C不符合题目要求； D、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 8. 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：左边长方形的面积为：， 右边的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：， 则表示的运算为：， 故选B． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何运用，能够熟练运用面积表示平方差公式是解题关键． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. ．且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，点，在上，，，要使，还需要添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 全等三角形的判定定理有，，，，根据以上定理即可求解． 【详解】解：需要添加一个条件是，理由如下： 在和中， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算的结果为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据指数的运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解： 故答案为：100． 13. 已知，，则的值为_________________． 【答案】3 【解析】 【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得 ， 代入已知和， 得， 解得， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论是___________．（填正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、线段垂直平分线的判定、含角的直角三角形的性质以及三角形面积的计算． 由作图过程可知，平分，结合角平分线的性质、线段垂直平分线的判定以及三角形面积的计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 由作图过程可知，平分， 故①正确； ， ， 点在线段的垂直平分线上， 故②正确； ， 故③正确； ， ， ， ， 故④错误； 故答案为：①②③． 15. 如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于，的对称点，，延长到点， ∴，， ∴，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和整式的除法运算，解题的关键在于准确运用运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则，先乘方、再乘除、最后加减即可解答； （2）根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，转化为单项式的除法，再运用同底数幂除法法则即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）分解因式：； （2）解方程：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的方法、分式方程的解法，熟练掌握因式分解的步骤和分式方程的求解及验根方法是解题的关键． （1）先提取公因式2，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解． （2）先确定最简公分母，将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得的根是否为增根． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 先化简：，再从中选一个你认为合适的a值代入求值． 【答案】；当 时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先利用分式的混合运算法则进行化简，再根据题意将代入，即可求解． 【详解】解： ， 根据题意，可知a的值不可以为和， 将代入，原式． 19. 某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A、B的距离 方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1．过池塘外点B作，在上取两点C，D，使； 2．过点D作，使E与A，C在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取点C，连接，并延长至点D、E，使； 2．连接； 3．测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．点A，B离池塘边有一定距离； 请你从以上两个方案中任选一个方案，求出A、B间的距离． 【答案】A、B间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，证，即可求解． 【详解】解：方案一：，， ， 根据图形可知， ， ， ； 方案二：根据图形可知， ， ， ． 答：A、B间的距离为． 20. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1）平方米 （2）绿化面积是平方米． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； 【小问2详解】 解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． 21. 某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等． （1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？ 【答案】（1）购买一个商品需要15元，一个商品5元． （2）该学校最多可购买35个种商品． 【解析】 【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费600元购买商品和花费200元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，根据总价单价数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个商品需要15元，一个商品5元． 【小问2详解】 解：设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品， 依题意，得：， 解得：． 答：该学校最多可购买35个种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 阅读与思考 为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 理解应用 （1）根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式． ①请你直接写出这个公式______； ②上面分析过程主要运用的数学思想是______． A．转化思想 B．分类讨论 C．统计思想 D．数形结合 （2）小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子______． （3）若，，求的值． 【答案】（1）①，②D （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）①由同一个图形面积的不同表示方法即可得乘法公式；②根据题意即可得用到的数学思想； （2）边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形的面积为，还可表示为，即可得到答案； （3）由（1）知，即可得到，代入数值即可求得答案． 【小问1详解】 解：①由图形面积可表示为或，即可得到， 故答案为： ②上面分析过程主要运用的数学思想是数形结合， 故选：D 【小问2详解】 解：由图形可知，， 故答案为： 【小问3详解】 解：由（1）知，则， 即的值为20． 【点睛】此题考查了乘法公式和因式分解，数形结合是解题的关键． 23. 已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中． （1）如图2，当时，连接，求证：； （2）在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分； （3）在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：过点作于，过点作于，如图所示： ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，，， ， ， ，， 平分； （3） ， 理由如下：在上截取，连接，如图所示： ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到，利用全等性质即可得到答案； （2）过点作于，过点作于，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到，利用全等性质即可得到，，，利用等面积得到，再根据角平分线的判定定理即可得到答案； （3）在上截取，连接，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到，利用全等的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ，；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）①； ②，理由： 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $