21.3.2 菱形 同步练习 2025—2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2菱形同步练习 一、选择题： 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等 C.邻边相等 D.对边平行 2.下列条件中，能判定四边形是菱形的是() A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线互相平分且相等 3.如图，在☐ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF.要使四边形 ECDF为菱形，则a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.在菱形ABCD中，AC=10,BD=24,则该菱形的面积等于() A.13 B.52 C.120 D.240 5.如图，在菱形ABCD中，连接AC,BD.若∠1=20°，则∠2的度数为() D A.20° B.60° C.70 D.80° 6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则 LCDF等于() A.55° B.65 C.75 D.85° 第1页，共5页 7.如图，将两张完全一样的长为√10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个 最大值是() A.4y2 B.4V10 C.1210 D.125 5 5 8.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC,BD交于点O,过点A作AE1BC,交BC于点E,若AC=4,BD= 6,则CE的长度是() B A.1213 13 B.5v3 C.8/13 13 13 D 二、填空题： 9.下列命题： ①四边都相等的四边形是菱形； ②两组邻边分别相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形： ④对角线相等的四边形是菱形： ⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 其中正确的是一.（填序号） 10.若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的边长是 11.顺次连接矩形四边的中点所得的四边形必定是 12.菱形0ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，LA0C=45°，0C=√2，则点B的坐标为 第2页，共5页 13.如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE1AD于点E,PE=2,则点P到AB的距离为一 D E B 14.如图，将一个长为10c、宽为8c的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪 下，再打开，得到菱形的面积为c2 H D C 15.如图，A(0,4),B(8,0),点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，要使以A,B,C,D为顶点的 四边形是菱形，则点D的坐标为· y A B 16.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是边AD的中点，连接MC,将菱形ABCD翻折，使点A 落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N,则线段EC的长为， A B 三、解答题： 17.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE/AC,CE/IBD. (1)求证：四边形0CED是菱形： (2)若BC=3,DC=2,求四边形0CED的面积. 第3页，共5页 18.如图，在·ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接 CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形： D (2)若CE=4,∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积. 19.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,点D关于AC所在直线对称. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段0C长， y 0 C 20.如图，四边形ABCD是平行四边形. (1)尺规作图：作菱形AECF,点E,F分别在边AD,BC上：（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形AECF是菱形； (3)若AB=2,AC=2V3,BC=4,判断AB和EF的位置关系，并说明理由. 第4页，共5页 21.在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别是边AB,BC上的点， HD B F B 图1 图2 (1)【尝试初探】如图1，若LEDF=60°，求证：DE=DF; (2)【深入探究】如图2，点G,H分别是边CD,AD上的点，连接EG与FH相交于点O且LEOF=60°，求 证：EG=FH 22.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是线段BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位 置随着点P的位置变化而变化， (1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系是什么？ (2)若AB=4,点Q为CD的中点，则线段EQ的最小值和最大值分别为多少？ (3)如图2，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE,若AB=2V3,BE=2V19,请求出四边形ADPE的 面积. E ⊙ D A E B D P C 图1 图2 第5页，共5页答案与解析 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B 【解析】【分析】 此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点. 首先根据平行四边形的性质得到CD=AB=4,然后根据菱形的性质得到EC=CD=4,然后求解即可. 【解答】 解：：四边形ABCD是平行四边形， ·CD=AB=4, :四边形ECDF为菱形， ·EC=CD=4, :BC=6, ·BE=BC-CE=2, a=2 故选B. 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】C 【解析】如图(1)，过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.:两张矩形纸条完全一样，·AB//CD: AD//BC,AE=AF,四边形ABCD是平行四边形.：S口ABD=BC·AE=CD·AF,AE=AF, :BC=CD,:四边形ABCD是菱形要使重叠部分的四边形周长最大，则边长应最大，如图(2)所示，此 第6页，共6页 时重叠部分的四边形的周长最大.：四边形ABCD是菱形，：AB=CB=DC=AD,在Rt△ABM中， BN2+AN2=AB2.:矩形纸条的长为而，宽为5（回+(0-AB)=AB2·AB=四 ,:菱形ABCD的周长的最大值为， B=4×俨-更故选c B 图(1)】 图(2) 8.【答案】C 【解析】：四边形ABCD是菱形，：AC⊥BD,OC=号AC,OB=专BD,:AC=4,BD=6, :0C=2,0B=3,·BC=V0C2+0B2=V13.:AE1BC,·菱形ABCD的面积为 BCAE=AC-BD,V3AE=×4X6.·AE=1要，÷CE=VAC2-AE-故 选C 9.【答案】①③⑤ 10.【答案】5 11.【答案】菱形 12.【答案】2+1,1 13.【答案】2 14.【答案】10 15.【答案】5,4)或(45,4) 第6页，共6页 16.【答案】2W7-2 17.【答案】【小题1】 解：证明：：DE/AC,CE//BD,·四边形OCED是平行四边形.：矩形ABCD的对角线AC,BD 相交于点0，AC=BD,OC=专AC,OD=专BD,÷OC=OD,:四边形0CED是菱形. 【小题2】 :四边形ABCD是矩形，BC=3,DC=2,÷OA=OB=OC=OD,S矩形ABCD=3X2=6, :S△OcD=年S矩形ABcD=年X6=1.5:四边形0CED是菱形，·菱形0CED的面积 =2S△0CD=2×1.5=3. 18.【答案】【小题1】 解：：BE=2DE,EF=BE,·EF=2DE :D,E分别是AB,AC的中点，÷BC=2DE且DE//BC,÷EF=BC 又：EFBC,÷四边形BCFE是平行四边形. 又：EF=BE,·四边形BCFE是菱形； 【小题2】 由(1)知四边形BCFE是菱形，：BE=BC.:∠BCF=120°，·∠EBC=60°， :△BEC是等边三角形，·BC=EC=BE=4,过点E作EM⊥BC于点M, :BM=是BC=2,EM=VBB2-BM7=23,S黄crE=BCEM=83 19.【答案】【小题1】 【解答】证明：：点B、点D关于AC所在直线对称，·BD⊥AC,B0=DO,:AB//CD, ·∠AB0=∠CDO,在△AB0和△CD0中， I∠AB0=∠CDO BO=DO ,÷·ABO≌*CDO ASA, 、∠A0B=∠C0D :AB=CD,又：AB/CD,:四边形ABCD是平行 四边形，又：BD⊥AC,·四边形ABCD是菱形； 【小题2】 第6页，共6页 解：(1)得：四边形ABCD是菱形，÷OC=OA=专AC,AD=BC=CD=5, :BE=BC十CE=5+3=8,:DE⊥BC,·∠DEB=90°，在Rt△CED中，由勾股定理得： DE=VCD2-CE2=V52-32=4,在Rt△BED中，由勾股定理得：BD=VBE2+DE2= V82+4=4V5,:S菱形ABCD=DE-BC,S菱形ABcD=支AC·BD=OC·BD, DBBG=0cBD.0C=-2器-筹=5. 20.【答案】【小题1】 解：如图，四边形AECF即为所求； D 【小题2】 由作法知，EF为AC的垂直平分线，·AE=EC,AF=FC设AC与EF交于点O.:四边形ABCD是平 行四边形，·AD//BC,OA=OC,÷∠EAC=∠ACF.:∠A0E=∠COF,·△AOE兰△C0F ,·AE=FC,·AE=EC=AF=FC,·四边形AECF为菱形： 【小题3】 结论：AB//EF理由如下：：AB=2,AC=2W3,BC=4,÷AB2+AC2=BC2,·∠BAC=90°， :AB⊥AC.:四边形AECF是菱形，：EF⊥AC,·AB//EF. 21.【答案】【小题1】 证明：连接BD. :在菱形ABCD中，∠A=60°， :AB=AD=CB=CD,∠C=60°，AD//BC,AB//CD, :△ABD和△BCD都是等边三角形， AD=BD,∠ADB=60°，∠DBF=60°， :∠EDF=60°， 第6页，共6页 ·∠ADE=∠BDF, ·△ADE≌△BDFASA, ·DE=DF 【小题2】 连接BD,过点D作DP//EG交AB于点P,作DQ//FH交BC于点Q, B FQ 则∠PDQ=∠E0F=60°， 四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形， :DP=EG,DQ=FH, 由(1)可知，DP=DQ, EG=FH. 22.【答案】【小题1】 【解答】解：BP=CE 如图，连接AC,交BD于点O, :四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，÷AB=BC=CD=AD,∠ABD=30°， ∠ADC=∠ABC=60·,:△ABC和△ADC为等边三角形，·∠BAC=60°，∠CAD=60°， AB=AC,:△APE为等边三角形，·AP=AE,∠PAE=60°，∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC, 即∠BAP=∠CAE,··ABP≌·ACE(SAS),·BP=CE; 【小题2】 由(1)知&ABP兰△ACE,:∠ACE=∠ABP=30°，·∠CAD=60°， ÷∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+30°=90o,÷CE⊥BC;:四边形ABCD为菱形， 第6页，共6页 :BC//AD,·CE⊥AD,:AB=CD=4,点Q为CD的中点，·CQ=2,:CE⊥AD,·点B轨 迹为射线CH, :当QE⊥CH时，EQ最小，：CE⊥AD,△ADC是等边三角形，·∠ECQ=30°， :EQ=专CQ=1,即EQ的最小值为1，当点P运动当点D时，此时QE最大，过Q作QG⊥CE, DP) :△APE为等边三角形，此时AP=AD,·AE=ED=DC=CA,:四边形AEDC是菱形， EH=HC,由此可知GQ=1,:CG=V4-1=5,在Rt△CHD中，CH=V42-22=23, :EG=V3+25=33,在Rt△QCE中，EQ=VQG2+GB=V1+27=2W7,EQ的最大值 为2万，：EQ最小值为1，最大值为2W万： 【小题3】 如图，连接AC,CE,设AD与CE交于点M,AC与BD交于点O, D P C (②)可得BP=CE,CE⊥AD,∠ACE=∠ABP=30°，：△ABC为等边三角形，·∠ACB=60°， c8=BE2-8c=网-25 =8,·BP=8,:△ADC为等边三角形， CM=VAC-AMF-125)-V3) =3,·EM=CE-CM=5,÷AE=VAM2+EM2= 第6页，共6页 52+(5=25,:△AEP为等边三角形，“AP=支AE=V万，：AP的高为 2万列-（5可=2i,54e=主×2F×21=75,AB=25,A0=F, 0B=A2-A02=25-(5°=3，BD=20B=6,DP=BP-BD=8-6=2, S4ADP=DP·A0=克×2×5=V5,S国边形ADPE=SAEP+SADP=7N5+V5=83,:四 边形ADPE的面积为8V3. 第6页，共6页 21.3.2 菱形 同步练习 一、选择题： 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行 2.下列条件中，能判定四边形是菱形的是(    ) A. 两条对角线相等 B. 两条对角线互相垂直 C. 两条对角线互相垂直平分 D. 两条对角线互相平分且相等 3.如图，在中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段要使四边形为菱形，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.在菱形中，，，则该菱形的面积等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则等于(    ) A. B. C. D. 7.如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.下列命题： 四边都相等的四边形是菱形 两组邻边分别相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线相等的四边形是菱形 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中正确的是          __填序号 10.若菱形的两条对角线的长分别是和，则这个菱形的边长是          ． 11.顺次连接矩形四边的中点所得的四边形必定是          ． 12.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为          ． 13.如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为          ． 14.如图，将一个长为、宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下，再打开，得到菱形的面积为          ． 15.如图，，，点是轴正半轴上一点，是平面内任意一点，要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为          ． 16.如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于点，则线段的长为          ． 三、解答题： 17.如图，矩形的对角线，相交于点，，． 求证：四边形是菱形； 若，，求四边形的面积． 18.如图，在中，，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． 求证：四边形是菱形； 若，，求菱形的面积． 19.如图，在四边形中，，对角线与相交于点点，点关于所在直线对称． 求证：四边形是菱形； 过点作的垂线交延长线于点若，，求线段长． 20.如图，四边形是平行四边形． 尺规作图：作菱形，点，分别在边，上；保留作图痕迹，不写作法 求证：四边形是菱形； 若，，，判断和的位置关系，并说明理由． 21.在菱形中，，点，分别是边，上的点． 【尝试初探】如图，若，求证： 【深入探究】如图，点，分别是边，上的点，连接与相交于点且，求证：． 22.在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化． 如图，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是什么？ 若，点为的中点，则线段的最小值和最大值分别为多少？ 如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，请求出四边形的面积． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $